板式换热器的设计

I 板式换热器设计与分析 摘 要 板式换热器的传热性能与版面的波纹形状、尺寸及版面组合方式都有密切关系。对于任何一种新型结构尺寸板片的传热及阻力特性，都只有通过实验计算测定。对于无相变传热，多数制造商都能提供关联式：对于相变传热，绝大多数的产品，尚不能提供相关的关联式。 板式换热器是一种高效紧凑的换热设备，它的应用几乎涉及到所有的工业领域，而且其类型、结构和使用范围还在不断发展近年来，焊接型板式换热器的紧凑性，重量轻、换热性能好、初始成本低等优越性已越来越被人们所认识，因此人们纷纷对板式换热器内流动状态和换热 机理展开研究。随着 术发展日趋成熟，使对流体内部温度场、压力场以及速度场的分布研究变得可行，鉴于此，本文应用 此基础上又进行了实验研究及实验数据与数值模 拟的对比分析。 基于简化模型的计算结果难以准确描述换热器内完整的流体流动和换热特性。为此，本文建立与人字形波纹板片完全相同的，含分配区和传热区冷热双流道换热的计算模型，用计算流体力学软件 3，数值模拟 4 组不同名义 波纹高度 下流体的流动和 换热情况。分析流道内速度场和温度场发现，进口分配区对流体流动分布和换热都有显著影响，还将流体在流道内的流动情况详细描述。两侧流体的压降和进出口温差的计算值与实验值的误差小于 6，较准确地反映了换热器内整体的流动和换热特性，可直接用于研究板式换热器的性能，具有一定的工程实际意义。 关键词： 板式换热器；热力计算；分析；数值模拟；传热性能；流道状态 of of A of by of is a of of In in in of in of In FD to on to of a of of is in FD 3， at By of of of on f in in of a of is of is of 录 摘要 1 绪论 1 究课题的学术背景及意义 1 式换热器的基本结构 2 式换热器国内外研究进展 3 式换热器国外研究进展 3 式换热器的国内研究进展 4 式换热器的传热原理 6 式换热器的特点 8 2 板式换热器的设计计算 10 计工艺条件 10 力计算 10 热器的初选及其型号参数 12 热系数的计算 13 际换热面积计算 14 降计算 15 3 其他部件的设计准则 16 号 16 片 18 紧板 18 片 18 紧螺柱 19 式换热器上宜设起吊机构 20 4 根据以上设计原则进行设计计算 21 5 基于 板式换热器三维数值模拟 24 课题的研究内容 24 余 25 值计算方法 26 究对象 26 学模型 26 何模型和边界条件 28 网格的划分 29 究对象及网格划分 32 究对象 32 纹深度 h 对温度场、压力场以及速度场的影响 32 6 总结 38 7 致谢 39 参考文献 40 附录 41 板式换热器设计与分析 1 1 绪论 究课题的学术背景及意义 1878 年德国人发明了板片式换热器，现都通常称之为板式换热器，它经过了 50 余年的发展，至 20 世纪 30 年代，由薄金属板片压制的板片组装而成的板式换热器问世，并将该 换热器应用于工业中，显示出了优异的性能，从此就迅速地得到了广泛的推广应用，成为紧凑、高效的换热设备之一，与螺旋板式和板翅式共称为紧凑式换热器（ 板式换热器是以波纹板的新型高效换热器。国外早在 20世纪 20年代就作为工艺设备引入食品工业， 40十年来，板式换热器发展很迅速，现已广泛用于食品、制药、合成纤维、石油化工、动力机械、船舶、动力、供热等各行业。目前我国的板式换热器工厂，课制造单板传热面积从 波纹形式为水平平 直波纹、人字形波纹、球形波纹、锯齿形波纹、竖直形波纹的板式换热器。 板式换热器用于处理从水到高粘度的液体，用于加热、冷却、冷凝、蒸发等过程。它在食品工业中应用最广泛、最早，入牛奶、果汁、葡萄糖、啤酒、植物油等的加热杀菌和冷却。在化学工业中用作冷却氨水。凝缩甲醇蒸汽。冷却合成树脂，且广泛用于制碱、制酸、燃料工业。在钢铁和机械制造工业中，用于冷却淬火油、水和润滑油。在电力工业中，用于冷却变压器油、冷却双水内冷发电机组的冷却水。其他如在造船、石油钻探、造纸、制药、纺织工业，大楼供热、采暖系统中也开始广泛地采用板式 换热器。 板式换热器今后的发展趋势是：提高操作温度和操作压力，加大处理量，扩大使用范围，研制采用新的结构材料的制造工业，而研制新的垫片材料易提高其使用温度和使用压力，将是其中的重点。 虽然板式换热器有很多优点，而其现在发展很快，但它们在结构与制造上尚存在问题。随着科学技术的飞速发展，板式换热器正不断完善，应用也日趋广泛。 21世纪我国的能源形势是紧张的，我国和世界的能源消耗随着人口的增长和工业化的进展将会快速增长；现在我们利用的主要一次能源（煤炭、石油、天然气和核能）之中，除煤炭之外，其余三项已逐渐枯竭，其 价格不可避免将持续增长；目前尚没有发现能替代石油、天然气、核能的一次能源，作为有效替补的能源有太阳能和热核反应，但前者成本费高，后者尚有许多实质的问题没有解决，尚不能达到实用阶段；为了控制地球温室效应，化石燃料的使用受到了各国舆论的强烈反对。综上所述，在 21世纪的上半个世纪之间，作为解决我国能源和环境问题的重要措施之一是如何有效地利用好一次能源，其中主要研究的内容是从一次能源转移至二次能源、三次能源的高效率化；各阶段利用技术的先进性和效率的提高；需求的平衡和能源的供给、消耗系统的改善等。上述所说内容的实质是 热技术，当分析各项技术时，我们将发现，换热技术是关键工艺之一。 陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 2 式换热器的基本结构 板式换热器的基本结构如图（ 1）所示 1 图 1 板式换热器的基本构造 板片是传热元件，一般由 金属板压制成波纹状，波纹板片上贴有密封垫圈。板片按设计的数量和顺序安放在固定压紧板和活动压紧板之间，然后用压紧螺柱和螺母压紧，上、下导杆起着定位和导向作用。固定压紧板、活动压紧板、导杆、螺柱、螺母、前支杆可统称为板式换热器的框架；众多的板片、垫片可称为板束。 分析以上的结构和零部件的组成，可 见其零部件品种少，且通用性极强，这十分有利于成批生产及使用维修。 板式换热器设计与分析 3 式换热器国内外研究进展 1 3 1板式换热器国外研究进展 板式换热器的发展已经有 100多年的历史早在 1878年德国就发明了板式换热器并获得了专利至 1886年法国 M 用于葡萄酒的灭菌。 1923年 功的设计了可以成批生产的板式换热器，开始时使用很多铸造的青铜版片组合在一起。 1930年以后才有用不锈钢或铜薄板压制的波纹板片板式换热器，板片的周围用垫 圈密封，从此板式换热器的板片从沟道板的形式跨入了现代用薄板压制的波纹板 式，为板式换热器的发展奠定了基础。早期的板式换热器大多应用在牛奶灭菌或是啤酒的加工中， 923年就开始生产用于牛奶的高温短时灭菌器。英国、丹麦、瑞典等国家，在上世纪 30年代后，对板式换热器的发展都起了重要的作用 1928年 1932年 过应用实践，人们加深了对板式换热器优越性的认识，随着应用领域的扩大和制造技术的进步，板式 换热器的发展加快，目前已经成为重要的换热设备近几十年来，板式换热器多数用人字形板片，所以大多数研究也是针对人字形波纹。 w W 最具有权威性他采用有限扩散电流技术 (并通过类比关系来估计传热速率，实验发现：(1)在波纹倾角达到 60 以前，摩擦因数和传热的科尔本 =60 80 时， 仍然呈上升趋势，但速度减缓。倾角在 70 一 80 时，摩擦因数和传热同时具有极大值 (2)主要流动形式有两种，如图 1 3所示在倾斜角未达到 60 时流动状态为两组十字交叉流，即流体先在一侧板上沿沟槽流动，当达到板的边缘处时，像被反射似的折转到通道另一个板片的沟槽中流向另一边缘。于 是，每股流体在沟槽中流动时均受到相对板片上流体作用的切向力当 为 45 时，该切向力与流动方向垂直正是这个力导致了流体沿沟槽的二次涡旋运动，这一运动形态是板式换热器强化传热的基本驱动因素。应注意到： 大于 45 时，切向力的一 个分量与主流是反向的可以认为，这是传热和阻力均随倾角增长的内在原因之一当波纹倾斜角达到 80 附近时，流体仍主要沿沟槽流动，但折返点不再出现于板片左右两侧，而是发生在波纹的触点。流动呈连续的并行小波纹状，文献中称这种流动形态为曲折流 (一般认为两股交叉流动在相反方向上的互相拖曳作用最终导致了在倾角 80 附近流动形态的根本改变。 阻力较大一直是限制板式换热器使用范围的一个主要因素，因此对板式换热器进行压力分布和阻力特性研究有着重要意义。 出变负荷和波纹板的几何参数是影响板式换热器性能的基本原因，以及在狭窄波纹板间绝热两相系统中湍流环境下存在陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 4 剪切控制流。 w 过提供流道数目，板两侧流动状态，流动区域和流动的类型等条件，可以计算得到在整个流道中的温度分布，换热系数和压力降。 在进行板式换热器的设计时，通常假设流体在板式换热器中是均匀分布的。但实际上，板式换热器中的流体并不是均匀分布的，流 体的分布不均也是影响板式换热器的一个重要因素。 B P 板式换热器中假设各流道中流率相等和实际实验所得结果相比有很大的误差，并在此基础上考虑流体的非均匀分布提出新的计算模型，新模型的计算结果和实验结果较吻合 从所得结论中揭示板式换热器中的非均匀流动对其换热性能有较大影响。 速度场可视化技术是观察复 杂几何形状通道内流体流动的一种有效方法 20世纪 80年代初， E M 由于萘升华技术中萘蒸气压对可视化及传热结果的影响难以修正，目前已经较少采用 P 现不同速度下的气水混合物的传热系数比相同情况下液体流过时的传热系数高的多，特别当冷介质中的水流速低于 0 025m 体流动覆盖了整个流道，而受气体剪切的液体水则在流道的低层做溪状流动， 这时的换热效 果最好。 试不同流道高度对换热 现 同时压力梯度降低，摩擦系数增大，总体换热效果并不好，得出低流道高度换热效果更好。 我国板式换热器的研究，设计，制造始于 20世纪 60年代。 1965年，兰州石油化工机械厂设计、制造了单板换热面积为 0 52也是我国生产的第一台板式换热器，供造纸厂、维尼纶厂使用。 80年代初期， 该厂又引进W 加了产品的品种 1967年，兰州石油机械研究所不同波纹板片做了对比实验，肯定了人字形波纹的优点，并在 1971年制造了我国第一台人字形波纹板片的板式换热器，单片换热面积为 对我国板式换热器采用波纹形式的决策起了重要作用。 国内许多学者对板式换热器也进行了一系列的研究如赵镇南对板式换热器速度场进行了研究，他发现了板式换热器速度场的流动情况与 w W 他的文献中，赵镇南还结合实验数据阐明了板式换热器人字形波纹板间的流动 方式以及波纹倾角对换热器性能的重要影响，并得到以下结论： 板式换热器设计与分析 5 (1)人字波纹的倾斜角是影响板式换热器性能最重要的一个几何参数，它通过改变流动状态来影响板片通道的传热和阻力特性； (2)在相同雷诺数和波纹参数下，大倾角板片的传热和阻力降均高于小倾角板片，但在相同的通道阻力降下则无论大、小倾角，传热速率都基本相等； (3)对板式换热器的具体工程应用 要力争达到换热、流量和阻力降三者之间的良好匹配。许淑惠、周明连 等对板式换热器进行压力分布和阻力特性进行了研究，他们通过两种形式板片的实验给出不同雷诺数下两种板型的进 I： 1段流型分布；不同雷诺数下的压差分布及各种通道中的流阻与比数的关系式，同时运用流型显示的方法揭示影响板式换热器入口流体分布和压力损失的原因。此外，周明连通过比较两种板式换热器发现：具有相同波纹槽道的板式换热器在流阻和传热方面有较大差距，通过流型观测发现板式热交换器的流量分布不均，偏流的存在降低了板式热交换器的性能，增大了流阻；同时在测试压力降的基础上提出单元流路分析的原理和方法，该方法能定量计算板武热交挟器内的流量分布天津大学赵镇南 1根据联箱和分流联葙流量分布解，对流量非均匀分布导致板式换热器单相液一寝换 热和冷凝换热时的传热性能变化作了模拟计算和深八分析，指出单相换热时，若冷、热流体进出口位于同一测，各分支通道的传热量搏严重不均匀，但整机总传热量变化不大；当进出口分别位于换热器两侧时，传热分布的非均匀性会明显改善，但总传热量会比流量均匀分布时明显降低；作为冷凝器使用时，流量的非均匀分布同样导致其传热性能的变化，这时热负荷的分布状况将王要受允许压降分配规律的制约 此外，国内一些学者采用染色示踪往对人字形波纹槽道和斜波纹槽道进行 7流型观察，得到一些有益结论对传热单元的传热实验 E M 温加热法，但国内的实验技术较难实现，一般呆用大电流恒热流法在湍流换热状态下，两者区别不大，后者更接近宴际。采用局部组合通道内的可视化及传热机理研究方法来推算整个板片的传热及流阻特性对开发板片有一定的指导意义 陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 6 传热，即热量传递，是自然界中最普遍存在的物理现象，凡是有温度差存在的物系之间 ，会导致热量从高温处向低温处的传递的传热过程，解决传热问题，都需要从总的传热速率方程出发，即： 式中： Q 冷流体吸收或热流 体放出的热流量， W： K 传热系数， W/ 2 A 传热面积， 2m ； 。 传热基本方式 根据热量传递机理的不同，传热基本方式有三种，即传热导、对流和辐射。 （ 1）热传导 ： 传热导又称导热。是指热量从物体的高温 部分向同一物体的低温部分、或者从一个与它直接接触的低温物体传热的过程。 （ 2）对流传热： 对 流传热是依靠流体的宏观位移，将热量由处带到别一处的传热现象。在化工生产中的对流传热，往往是指流体与固体壁面直接接触的热量传递。 （ 3）辐射传热： 又称为热辐射，是指因热的原因而产生的电磁波在空间的传递。物体将热能变为辐射能，以电磁波的形式在空中传播，当遇到另一物体时，又被全部或部分吸收而变成热能。作为换热设备，我们主要关系的热传导和对流传热。 对流传热 大多是指流体与固体壁面之间的传热，其传热速率与流体性质及边界层的状况密切相关。如图在靠近壁面处引起温度的变化形成温度边界层。温度差主要集中在层流底层中。假设流体与壁面的温度差全部集中在厚度为 1的有效膜内，该膜既不是热边界层，也非流动边界层，而是一集中了全部传热温差并以导热方式传热的虚拟膜。对流传热速率方程可用牛顿冷却定律来描述，该定律是一个实验定律： 板式换热器设计与分析 7 对两侧流体，均可使用牛顿冷却定律，即： 式中： W； ， T K； 为表面传热系数， W/（ m 对流传热过程的计算，归结为如何获取 。 一般由实验 测定，采用科学的试验方法。 对流传热的分类： 无相变化传热 : 强制对流 自然对流 有相变传热 : 蒸汽冷凝 液体沸腾 无相变化时对流传热过程的因次分析 利用因次分析的方法可获得描述对流传热的几个重要的特征数： (努塞尔数 ) (雷诺数 ) (普朗特数 ) (格拉晓夫数 ) 陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 8 式换热器的特点 （ 1） 传热系数 K 值在 30008000 W/()范围，高于其它换热器型式 ， 由于不同的波纹板相互倒置，构成复杂的流道，使流体在波纹板间流道内呈旋转三维流动，能在较低的雷诺数（一般 0200）下产生紊流 ，所以传热系数高，一般认为是管壳式的 35 倍。 （ 2） 端温差小 在管壳式换热器中，两种流体分别在管程和壳程内流动，总体上是错流流动，对数平均温差修正系数小，而板式换热器多是并流或逆流流动方式，其修正系数也通常在 右，此外 ，冷、热流体在板式换热器内的流动平行于换热面、无旁流，因此使得板式换热器的末端温差小，对水换热可低于 1 ，而管壳式换热器一般为 5 . （ 3） 板式换热器结构紧凑，单位体积内的换热面积为管壳式的 25倍，也不像管壳式那样要预留抽出管束的检修场所， 因此实现同样的换热量，板式换热器占地面积约为管壳式换热器的 1/51/8。 （ 4） 要增加或减少几张板，即可达到增加或减少换热面积的目的；改变板片排列或更换几张板片，即可达到所要求的流程组合，适应新的换热工况，而管壳式换热器的传热面积几乎不可能增加。 （ 5） 板式换热器的板片厚度仅为 管壳式换热器的换热管的厚度为 壳式的壳体比板式换热器的框架重得多，板式换热器一般只有管壳式重量的 1/5 左右。 （ 6） . 价格低 采用相同 材料，在相同换热面积下，板式换热器价格比管壳式约低 40%60%。 （ 7） . 制作方便 板式换热器的传热板是采用冲压加工，标准化程度高，并可大批生产，管壳式换热器一般采用手工制作。 （ 8） . 容易清洗 框架式板式换热器只要松动压紧螺栓，即可松开板束，卸下板片进行机械清洗，这对需要经常清洗设备的换热过程十分方便。 （ 9） . 热损失小 板式换热器只有传热板的外壳板暴露在大气中，因此散热损失可以忽略不计，也不需要保温措施。而管壳式换热器热损失大，需要隔热层。 （ 10） . 容量较小 是管壳式换热器的 10%20%。 （ 11） . 单位长度的压力损失大 由于传热面之间的间隙较小，传热面上有凹凸，因此比传统的光滑管的压力损失大。 （ 12） . 不易结垢 由于内部充分湍动，所以不易结垢，其结垢系数仅为管壳式换热器的 1/31/10. （ 13） . 工作压力不宜过大，介质温度不宜过高，有可能泄露 板式换热器采用密封垫密封，工作压力一般不宜超过 质温度应在低于 250 以下，否则有板式换热器设计与分析 9 可能泄露。 （ 14） . 易堵塞 由于板片间通道很窄，一般只有 25换热介质含有较大颗粒或纤维物质时，容易 堵塞板间通道。 陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 10 2 板式换热器的设计计算 计工艺条件 热水锅炉的进出口温度为 95 /70；生活热水配水温度为 50，若市政上的水温为 30，生活热水量为 5 吨 /小时。要求高温水和被加热水经过板式换热器的压降均不大于 计压力 计温度为 150。 力计算 （ 1） 热侧 95 70 冷侧 30 50 流量 h/ （ 2） 热侧在平均温度 095t 1 下取值 密度 31 m/ 比热容 热导 率 km/ 流体运动粘度 s/61 1 冷侧在平均温度 402/5030t 2 下取值 32 m/ p km/ s/62 2 板式换热器设计与分析 11 （ 3） 与加热水量 1 3600/2112 3600/ 11111 h/ （ 4） 流程 B 流程 11 . （ 5） s/ s/ （ 6） 111111 9800 被加热水的流通段面积 122212 0000 陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 12 热器的初选及其型号参数 （ 1） 如图 3选永大捷盟公司产品 板式换热器 板片宽度 板片平均间隙 板片当量直径 e 单片换热面积 20 单通道流道面积 24S （ 2）加热水流道数 1n 1 1 被加热水流道数 2n 5 7 0 0 8 0 60 6 6 61 取 451 （ 3）加热水的实际流速 1v 11 9800 s/ 被加热水的实际流速 2v 板式换热器设计与分析 13 22 0000 s/ （ 4）换热面积 1A 2221101 热系数的计算 （ 1）加热侧 普朗特数 导热系数 km/ 运动粘度 s/61 雷诺数 1 努西尔特数 . 3 310 . 6 4 111 对流换热系数 Cm/2e 111 （ 2）被加热侧 普朗特数 222 导热系数 km/ 运动粘度 s/62 雷诺数 2 努西尔特数 . 3 对流换热系数 Cm/2e 222 （ 3）选取两侧污垢系数 加热侧 （城市硬水） 被加热侧 （蒸馏水） （ 4）板片导热热阻 a、选用材料： 镍铬钢 （ 1 陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 14 b、板片厚度 ： 查表 c、板片导热系数 ： p 查表 km/ d、板片导热热阻 p （ 5）总传热系数 K 122 111435 km/ 际换热面积计算 （ 1）、对数平均温差 a xm a （ 2）转热温差 图 2联时，板式换热器的温差修正系数 图 2中 查 图 2 092 板式换热器设计与分析 15 m （ 3）传热面积 A 2m A （ 4）校核 5 . 01 . 89 . 0 78 . 9 0 7A 满足 降计算 （ 1）、加热侧欧拉数 18 6 511 加热侧压降 1p 21111 （ 2）、被加热侧欧拉数 2 177 被加热侧压价 22222 1p 、 2p 皆小于 西科技大学毕业论文（设计说明书） 16 3 其他部件的设计准则 号 预紧状态下，需要的最小夹紧螺柱总截面积，以螺纹小径计算或以无螺纹部分的最小直径计算，取较小值， 实际使用的夹紧螺柱总截面积，以螺纹小径计算或以无螺纹部分的最小直径计算，取较小值， 需要的夹紧螺柱总截面积， 工作状态下，需要的最小夹紧螺柱总截面积，以螺纹小径计算或以无螺纹部分的最小直径计算，取较小值， 被垫片槽中心线包容的板片投影面积， B 垫片有效密封宽度， b 板间距， 固定压紧板内侧至中间隔板自重作用点的距离， 固定压紧板内侧之活动压紧板自重作用点的距离， 中间隔板自重作用点至支柱内侧间的距离， 活动压紧板自重作用点至支柱内侧间的距离， d 夹紧螺柱小径或无螺纹部分的最小直径，取较小值， E 设计温度下，上导杆材料的弹性模量， 材 料 在下列温 度下的弹性模量， 103 0 100 150 200 250 板式换热器设计与分析 17 碳素钢（ c 194 192 191 189 186 183 碳素钢（ c、碳锰钢 208 206 203 200 196 190 高铬钢（ 203 201 198 195 191 187 作用于 的流体静压力， N; 工作状态下，需要的最小垫片压紧力， N； 中间隔板自重， N; 活动压紧板自重， N； f 上导杆受载所引起跨度中点的挠度， 上导杆自重所引起跨度中点的挠度， 板片及所充介质（水或其它流体取密度大者）重力所引起的上导杆跨度中点的挠度， 中间隔板自重所引起的跨度中点的挠度， 活动压紧板自重所引起的上导杆跨度中点的挠度， H 上下导杆内侧间的距离， J 上导杆惯性矩， L 夹紧尺寸，固定压紧板内侧至活动压紧板内侧间的距离， L=（ b） n1 导杆长度（固定压紧板内侧至支柱内侧间的距离）， 夹紧螺柱长度， l 垫片中心线的展开长度， 板片长度， m 垫片系数，橡胶： m=1，石棉： m=2； 板片总数； n 夹紧螺柱数量； 中间隔板数量； p 设计压力， 上导杆自重均布载荷， N 板片及所充介质（水或其它流体取密度大者）所引起的均布载荷， N 板片厚度， 压紧板厚度， 中间隔板厚度， 垫片名义厚度， 预紧状态下，需要的最小夹紧螺柱载荷（即预紧状态下，需要的最小垫片压紧力）， N； 陕西科技大学毕业论文（设计说明书） 18 工作状态下，需要的最小夹紧螺柱载荷， N； y 垫片比压力，橡胶： y=石棉： y=11 b 常温下夹紧螺柱材料的许用应力， 设计温度下夹紧螺柱材料的许用应力， 夹紧螺柱上的螺 母与垫圈之和， 板片 板片厚度应不小于 板片两端应有对称的悬挂定位结构 。 压紧板 压紧板要有足够的刚性，压紧板厚度的选取见表。 单板公称换热面积 上的板式换热器，在活动压紧板和中间隔板上宜设有滚动机构。 垫片 在垫片角孔一道密封与二道密封之间应设有 10、深 2 通向大气 的泄漏信号槽。 垫片应有保证密封的压缩量。 导杆 导杆长度 下式计算： n1 （ 221 +p 上导杆挠度 工作状态下，上导杆跨度中点的挠度 f 不得超过导杆长度 2 1000，且不大于5 f 由以下公式求得。 f= 其中： 板式换热器设计与分析 19 下式计算： 11 下式计算：当 L 21L 时： )23(48 22122 当 L21L 时： )1624922(48 41312121342 下式计算：当 ： )43(48 212111 当 ： )43(48 212111 下式计算：当 ： )43(