结构力学第三章静定结构的受力分析.ppt

第3章 静定结构的受力分析 * 主要内容 3-1 梁的内力计算的回顾 3-2 斜梁 3-3 静定多跨梁 3-5 静定平面桁架 3-6 组合结构 3-7 三铰拱 3-4 静定平面刚架 Date 3-1 梁的内力计算的回顾 简支梁、悬臂梁 多跨静定梁 刚架 桁架 组合结构 三铰拱 在本章中要介绍的静定结构有： Date 1、计算方法 利用力的平衡原理，对每个隔离体可建立三个 平衡方程： 由此就可求得每个结构的反力和每根构件的内力。 3-1 梁的内力计算的回顾 首先回顾一下梁的内力计算。 2、内力正负号的规定 轴力FN 拉力为正 剪力FQ 使隔离体顺时针方向转动者为正 弯矩M 使梁的下侧纤维受拉者为正 Date 3-1 梁的内力计算的回顾 A A端端B B端端 杆端内力杆端内力 FQAB FNAB MAB 正正 FNBA FQBA MBA 正正 弯矩图习惯绘在杆件受拉的一侧，不需标正 负号。轴力和剪力图可绘在杆件的任一侧，但需 标明正负号。 Date 3-1 梁的内力计算的回顾 轴力=截面一边所有外力沿杆轴切线方 向的投影代数和 。 剪力=截面一边所有外力沿杆轴法线方 向的投影代数和。 弯矩=截面一边所有外力对截面形心的 力矩代数和。 Date q(x) FpM x y 3-1 梁的内力计算的回顾 FN+d FNFN FQ+dFQ M M+dM 3、直杆内力的微分关系 dx p(x) q(x) P(x) FQ dx Date 3-1 梁的内力计算的回顾 4、剪力图与弯矩图之间的关系 一般 为斜 直线 水平线 抛物 线下 凸 有 极 值 为 零 处 有尖 角(向 下） 有突 变(突 变值= FP) 有 极 值 变 号 无变化 有突变 （突变 值=M） 剪力图 弯矩图 梁上 情况 无外力 均布力作用 (q向下) 集中力作用 处(FP向下) 集中力 偶M作 用处 铰处 无 影 响 为零 斜 直 线 Date 3-1 梁的内力计算的回顾 4、剪力图与弯矩图之间的关系 注： ()在铰结处一侧截面上如无集中力偶作 用，M。 在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用， 则该截面弯矩此外力偶值。 ()自由端处如无集中力偶作用，则该端 弯矩为零。 自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩 此外力偶值。 Date 步骤：求反力 画弯矩图 画剪力图 画轴力图 1）求反力 （1）上部结构与基础的联系为3个时，对整体利用3个 平衡方程，就可求得反力。 例： 4kN 1kN/m D CB A 2m2m 4m 3-1 梁的内力计算的回顾 5、内力计算及内力图 Date （2）上部结构与基础的联系多于三个时，不仅要对 整体建立平衡方程，而且必须把结构打开， 取隔离体补充方程。 例： 由整体： 取右半部分为隔离体： 由式1： C B A 20kN/m 4m4m 2m6m 3-1 梁的内力计算的回顾 Date M/2 M/2 FPL/4 （1）几种简单荷载的弯矩图 简支梁在均布荷载 作用下的弯矩图 简支梁在集中力作 用下的弯矩图 qL2/8 q 3-1 梁的内力计算的回顾 2）画弯矩图 简支梁在集中力矩作 用下的弯矩图 FP L/2L/2 M L/2L/2 Date 2）用叠加法画简支梁在几种简单荷载共同作用下 的弯矩图 例1：q MAMB B A q B A qL2/8 3-1 梁的内力计算的回顾 qL2/8 = + MA + MB = MA MB Date FPL/4 例2： 结论 把两头的弯矩标在杆 端，并连以直线，然 后在直线上叠加上由 节间荷载单独作用在 简支梁上时的弯矩图 MAMB B A MA MB FPL/4 3-1 梁的内力计算的回顾 MA MB FP FP L/2L/2 Date 3）画剪力图 要求杆件上某点的剪力，通常是以弯矩图为 基础，取一隔离体（要求剪力的点为杆端）， 把作用在杆件上的荷载及已知的弯矩标上，利 用取矩方程或水平或竖向的平衡方程即可求出 所要的剪力。 3-1 梁的内力计算的回顾 例：求图示杆件的剪力图。 AB FQBA 17 8 1m1m 26 C Date 由： 也可由： 17 9 剪力图要注意以下问题： 集中力处剪力有突变； 没有荷载的节间剪力是常数； 均布荷载作用的节间剪力是斜线； 集中力矩作用的节间剪力是常数。 3-1 梁的内力计算的回顾 AB FQBA 17 8 1m1m 26 C + Date 4）画轴力图 要求某杆件的轴力，通常是以剪力图为基础， 取出节点把已知的剪力标上，利用两个方程即 可求出轴力。 -4 +4 FNBC FNBA 3-1 梁的内力计算的回顾 4 4 4 A BC D 剪力图 B Date 对图示简支梁把其 中的AB段取出，其隔 离体如图所示： 把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比： M L BA Fpq q B A MB MA q BA 3-1 梁的内力计算的回顾 6、用区段叠加法画弯矩图 MB MA B A FYAFYB MB MA 显然两者是完全 相同的。 FQABFQBA Date 因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁 相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连 以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作 用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA 和MB。 3-1 梁的内力计算的回顾 M L BA Fpq Date 区段叠加法画弯矩图的具体步骤如下： 首先把杆件分成若干段，求出分段点上的弯矩 值，按比例标在杆件相应的点上，然后每两点间 连以直线。 如果分段杆件的中间没有荷载作用这直线就是 杆件的弯矩图。如果分段杆件的中间还有荷载作用， 那么在直线上还要迭加上荷载单独在相应简支梁上 产生的弯矩图形。 3-1 梁的内力计算的回顾 用截面法求杆 端弯矩 Date 区段叠加法画弯矩、剪力图时分段点的选择： 绘弯矩图: 控制截面：集中力（包括反力）作用截面；分布荷载起、 终点；集中力偶作用截面左右；自由端；剪力零点处等等。 绘剪力图： 控制截面：集中力（包括反力）作用点左右；分布荷载起 、终点，自由端等等。 3-1 梁的内力计算的回顾 Date 例：用区段叠加法画出图示简支梁的弯矩图。 解：a、把梁分成三段：AC、CE、EG。 b、求反力： c、求分段点C、G点的弯矩值： 16kNm 8kN 4kN/m 1m2m2m1m1m1m G A CE 3-1 梁的内力计算的回顾 Date 取AC为隔离体 取EG为隔离体 17 FQCA 8 MC AC 1m1m 3-1 梁的内力计算的回顾 FQEG FYG EG ME 16kNm 1m1m Date d、 把A、C、E、G四点的弯矩值标在杆上，点 与点之间连以直线。 然后在AC段叠加上集中力在相应简支梁上产 生的弯矩图；在CE段叠加上均布荷载在相应 简支梁上产生的弯矩图；在EG段叠加上集中 力矩在相应简支梁上产生的弯矩图。最后弯 矩图如下所示： 8 3026 E A C G 3-1 梁的内力计算的回顾 2 8弯矩图 Date 注： （1）弯矩图叠加，是纵坐标叠加，不是图形的简 单拼合； （2）同侧弯矩纵坐标相加，异侧弯矩纵坐标相减 。 3-1 梁的内力计算的回顾 Date 3-2 斜梁 用作楼梯梁、屋面梁等。 1）斜梁在工程中的应用 根据荷载分布情况的不同， 有两种方法表示： 自重：力是沿杆长分布，方向垂直向下。 2）作用在斜梁上的均布荷载 A B L A B L q Date 3-2 斜梁 人群等活荷载：力是沿水平方向分布， 方向也是垂直向下。 工程中习惯把自重转换成水平分布的，推导如下： L A B A B L q q ds dx Date 3-2 斜梁 3）斜梁的内力计算 讨论时我们把斜梁与相应的水平梁作一比较。 （1）反力 斜梁的反力与相应简支 梁的反力相同。 A B C a b x L Fp1 Fp2 Fp1Fp2 C AB L x Date 3-2 斜梁 （2）内力 求斜梁的任意截面C的内力，取隔离体AC： 相应简支梁C点的内力为： 斜梁C点的内力为： Fp1 0 MC FQC FNC MC A C x a FP1 FYA 0 FYA 0 FQC Date 3-2 斜梁 结论：斜梁任意点的弯矩与水平梁相应点相同， 剪力和轴力等于水平梁相应点的剪力在沿斜梁 切口及轴线上的投影。 例：求图示斜梁的内力图。 解：a、求反力 q A B L Date 3-2 斜梁 b、求弯矩 c、剪力和轴力 q A B L FQk FNk Mk A k x FYA q 0 FYA 0 Mk 0 FQk q Date qL 2 8 qLcos 2 qLcos 2 3-2 斜梁 d、画内力图 轴力图 剪力图 弯矩图 A B A B A B qL sin 2 qL sin 2 Date 3-3 多跨静定梁 1）多跨静定梁的组成 由若干根梁用铰联接后跨越几个相连跨度的 静定结构称为多跨静定梁，如图所示： 应用于木结构的房屋檩条、桥梁结构、渡槽 结构。 2）多跨静定梁的应用 Date 3）多跨静定梁杆件间的支撑关系 图示檩条结构的计算简图和支撑关系如下所示： 计算简图 支撑关系图 F E D C B A B A D C F E 3-3 多跨静定梁 Date 3-3 多跨静定梁 我们把ABC称为：基本部分，把CDE、EF称为： 附属部分。显然作用在附属部分上的荷载不仅使附 属部分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。 作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产生内力。 基 本 部 分 附 属 部 分 B A D C F E 附 属 部 分 支撑关系图 Date 3-3 多跨静定梁 4）多跨静定梁的形式 多跨静定梁有以下两种形式： F E D C B A B A D C F E 支撑关系图 计算简图 第一种形式 Date F E DC B A B A DC F E 3-3 多跨静定梁 计算简图 支撑关系图 第二种形式 Date 3-3 多跨静定梁 由于作用在附属部分上的荷载不仅使附属部 分产生内力，而且还会使基本部分也产生内力。 而作用在基本部分上的荷载只会使基本部分产 生内力。因此计算应该从附属部分开始。 5）多跨静定梁的计算 例：求图示多跨静定梁的弯矩和剪力图。 1kN/m 1kN 3kN 2kN/m 1m1m3m1m2m1m1m4m G H A B CDE F Date 3-3 多跨静定梁 解：a、层次图 b、求反力 FGH部分： F HG 2kN/m FYFFYG A B C E F G H 1m1m3m1m2m1m1m4m G H A B CDE F 1kN/m 1kN 3kN 2kN/m Date 3-3 多跨静定梁 CEF部分： ABC部分： C D E F 3kN FYCFYE -1.33kN 1kN1kN/m A B FYAFYB C 1.44kN Date 3-3 多跨静定梁 c、画弯矩图及剪力图 2.61 剪力图 kN 弯矩图 kN m 1.33 2 1 4 2.44 2 4 1.33 1.56 1.44 2.44 1.39 Date 3-3 多跨静定梁 例：对图示结构要求确定E、F铰的位置，使B、C 处的支座负弯矩等于BC跨的跨中正弯矩。 解：以x表示铰E到B支座、铰F到C支座的距离。 a、层次图 q xL-xxL-x LLL D C EF B A A C EF B D Date 3-3 多跨静定梁 b、求反力 AE、FD部分： c、求弯矩 根据要求： M中=MB=qL2/16 因此有： 由上述方程解得： Date 3-3 多跨静定梁 AE、FD的跨中弯矩为： 弯矩图 相应简支梁的弯矩图 2 0.0625qL 2 0.0957qL 0.0957qL 2 0.125qL 2 0.125qL 2 0.125qL 2 2 0.0625qL 2 0.0625qL Date 3-4 静定刚架 1）刚架的特征 由梁和柱组成，梁柱结点为刚性联 接。在刚性联接的结点处，杆件之间 不会发生相对转角、相对竖向位移和 相对水平位移。优点：刚度大，净空大，应用广。 2）刚架的应用 主要用于房屋结构、桥梁结构、地下结构等。 3）刚架的内力计算 由于刚架是梁和柱的组合，因此画内力图和梁是 一致的，只是对柱的弯矩图规定画在受拉边。 Date 3-4 静定刚架 Date 3-4 静定刚架 Date 3-4 静定刚架 Date 3-4 静定刚架 1、求解静定刚架时，悬臂式刚架可先不求反力；简支式刚 架、三铰式刚架和组合类型刚架，一般应先求反力，再进行内 力计算。 2、计算方法：隔离体，平衡方程，截面法。 3、内力表示方法：内力符号双脚标，两个字母表示两个杆 端,第一个字母表示杆端力是哪一端的，如MAB为AB杆A端的弯 矩。 4、内力正负号规定同前。 5、计算步骤：反力M图FQ图FN图校核 由结点弯矩平衡校核弯矩计算是否正确。 用计算中未使用过的隔离体平衡条件校核结构内力计算是否正 确。 Date 3-4 静定刚架 例1：画出图示刚架的内力图。 解：编号如图所示 b、作内力图 30kN DE C BA 20kN/m 6m 2m4m a、求支座反力 Date 3-4 静定刚架 弯矩图kNm 60 90 180 180 剪力图kN - 30 - 40 80 30 轴力图kN -40-80 - 30 b、作内力图 Date 3-4 静定刚架 例2：作图示刚架的内力图 解：a、求反力 由于图示结构是对称的，因此： 取AC部分为隔离体： 20kN/m 6m2m BA C ED 8m Date 3-4 静定刚架 b、作弯矩图 c、作剪力图 取DC段为隔离体： 弯矩图kNm 120120 40 40 20kN/m 120 D C FQDC FQCD Date 3-4 静定刚架 b、作弯矩图 c、作剪力图 取DC段为隔离体： 弯矩图kNm 120120 40 40 20kN/m 120 D C FQDC FQCD Date 62.6 8.9 8.9 - 62.6 3-4 静定刚架 取CE段为隔离体： 20 20- C E 120 20kN/m FQCE FQEC 剪力图kN Date 3-4 静定刚架 d、作轴力图 取D结点为隔离体： 取C左结点为隔离体： FQDA D FQDC FNDA FNDC C FNCD 20 Date 3-4 静定刚架 取E结点为隔离体： 取C右结点为隔离体： E FQEB FNEC FNEB FQEC C20 FNCE Date 3-4 静定刚架 轴力图 kN 80 53.6 17.8 80 53.6 - - Date 3-4 静定刚架 小结： （1）、三铰刚架在竖向荷载作用下，有水平反力。用整 体三个平衡方程不能求出所有反力，需用铰C处弯矩为零 的条件。（三刚片组成的体系，求反力的特点） （2）、注意斜杆的弯矩、剪力、轴力的计算。 Date 例3：作图示刚架的弯矩图 算法（同多跨静定梁） 区分主从，先从后主 (1) 先由从部分，有 得： 得： 得： 3-4 静定刚架 A FED CB 2m2m 1m 1m 2FP FP (主)(从) FP C F (从) FYA FNDF FQDF Date (3) 求作M图（可从两边向 中间画）M图如图所示。 (2) 再由主部分，有 得： 得： 得： 3-4 静定刚架 2FP FP/2 FP FP FP/2 2FP 2FP 2FP FP A FED CB FP FNDF (主) 2FP AB ED FXA FYA FYB FQDF Date (f) q q 7) 课堂练习-快速绘制M图 (a) 3-4 静定刚架 FP (b) q (c) (d) (e) Date 3-4 静定刚架 q (g) (h) q FP FP (i) (j) FPFP (k) （主） （从） FP Date 先画AB、CD； 再连BC （虚线）； 最后在虚线上叠加 由MB=0求得 3-4 静定刚架 mm FPa ACB D L aa (l) qFP m FP FP+m/l FPL+m FPL m m L A C B L L (m) FP m FP+m/l Date 3-4 静定刚架 m/L m/L m (n) m C A D B L L L FP FP FP FPL FP L (o) FP A D B L L L C Date 3-5 桁架 1）桁架的特点 由材料力学可知，受弯的实心梁，其截面的应力 分布是很不均匀的，因此材料的强度不能充分发挥。 现对实心梁作如下改造： 所示结构杆件全是二力杆， 结点是铰连接，结构是静定的， 称为：静定平面桁架。 FpFp 全部改造 Date 3-5 桁架 实际工程中的桁架是比较复杂的，与上面的理 想桁架相比，需引入以下的假定： a、所有的结点都是理想的铰结点； b、各杆的轴线都是直线并通过铰的中心； c、荷载与支座反力都作用在结点上。 2）桁架的应用 主要用于房屋的屋架结构、桥梁结构等。 Date 3-5 桁架 3）桁架的形式 按外型分：平行铉、三角形、梯形、折线型、 抛物线型。 平行弦三角形 梯形折线形 Date 3-5 桁架 按承受荷载分：上承式、下承式 按组成的几何构造分：静定平面桁架、超静定平面 桁架、静定空间桁架、超静定空间桁架 4）桁架的计算方法 （1）节点法 如果一个节点上的未知量少于等于2个，就可利用 两个方程就可解出未知量。 （2）截面法 用截面切断拟求内力的杆件，从结构中取出一部 分为隔离体，然后利用三个平衡方程求出要求的力。 Date 3-5 桁架 （3）节点法和截面法联合运用 有的杆件用结点法求，有的杆件用截面法求。 （4）判断零杆 桁架中的某些杆件可能是零杆，计算前应先进 行零杆的判断，这样可以简化计算。零杆判断的方 法如下： 两杆节点 FN1 FN2 Date 3-5 桁架 三杆节点 四杆节点 FN1 FN1 FN2 FN3 FN4 Date 3-5 桁架 利用结构的对称性 由于结构对称，荷载对称，其内力和反力一定对 称。结构反对称，荷载反对称，其内力和反力一定 也反对称。利用这个规律可以进行零杆的判断。 例1：判断图示结构的零杆 FpFp Date 3-5 桁架 例2：判断图示结构的零杆 a、图示结构在对称荷载作用下 FCDFCE FpFp A C B DE C Date 3-5 桁架 b、图示结构在反对称荷载作用下 FpFp A C B DE 内力应相对 对称轴反对称， 这就要求 DE 杆 半根受拉、半根 受压，而这是做 不到的，因此它 是零杆。 对称轴 Date 3-5 桁架 5）桁架计算举例 例1：计算图示K字型桁架中a、b杆的内力。 解：a、求反力 Fp A B k b a 4d h/2h/2 Date 3-5 桁架 5）桁架计算举例 例1：计算图示K字型桁架中a、b杆的内力。 解：a、求反力 k Fp A B b a 4d h/2h/2 Date 3-5 桁架 b、求内力 取k结点为隔离体： 作n-n截面，取左半部分： FNa FNb k n n Fp A B b a 4d h/2h/2 k Date 3-5 桁架 例2：请求出图示桁架杆1、杆2的内力。 解1：a、求反力 Fp L/2L/2L/2L/2 L/2L/2 ABH D CE F 1 2 Date 3-5 桁架 Fp O1 n n L/2L/2L/2L/2 L/2L/2 ABH D CE F 1 2 b、求内力 取nn截面，对O1取矩： 1 0 O M= Date 3-5 桁架 Fp O1 n n L/2L/2L/2L/2 L/2L/2 ABH D CE F 1 2 b、求内力 O2 m m 取mm截面，对O2取矩： Date 3-5 桁架 其中： 解得： Date 3-5 桁架 解2：利用结构的对称性，把荷载分成对称和反对称。 a、对称荷载作用下，中间两根杆a、b是零杆，取 C结点： F , NCD FP/2 FP/2FP/2 D C H C ab F , N1 F , N1 Date 3-5 桁架 取D结点： b、反对称情况 （拉） 中间的c 杆是零杆，取C结点： FP/2 FNCDFNCH F , NCD F , N1 FP/2FP/2 C D D C H F , N1 F , N1 c Date 3-5 桁架 取D结点： 把对称和反对称的合起来： 得： FP/2 F NCD F , N1 D C FNCDFNCH Date 3-6 组合结构 由受弯杆件和轴力杆件组成的结构称为组合结构。 例： 解：图中BD杆是轴力杆件， 其它是受弯杆件。 a、求反力 取CDE杆为隔离体： b、求弯矩及轴力 FNDB1kN/m EDC 4m2m 3m3m 1kN/m B DE A C Date 3-6 组合结构 画弯矩和轴力图： FNDB1kN/m EDC +7.5kN 9kN/m 2kN/m 2kN/m Date 例2： 解：a、求反力 由于对称： b、求轴力杆的轴力 作nn截面，取左半部分，由： n n F GE DC AB 2m 2m2m2m2m 1kN/m 3-6 组合结构 Date 3-6 组合结构 取E结点： c、画弯矩和轴力图 对称结构在对称 荷载作用下，在对 称点出只有对称的 内力，而反对称的 内力等于零。 -4kN-4kN +4kN 2kN/m2kN/m +4 2kN+4 2kN FNEC FNEA FNED E Date 3-7 三铰拱 如下所示结构在竖向 荷载作用下，水平反力 等于零，因此它不是拱 结构，而是曲梁结构。 下面所示结构在竖向荷 载作用下，会产生水平反 力，因此它是拱结构。 1）拱的特征及其应用 拱式结构：指的是在竖向荷载作用下，会产生水 平推力的结构。通常情况下它的杆轴线是曲线的。 曲梁 三铰拱 FPFP Date 3-7 三铰拱 常见的拱式结构有： 三铰拱 带拉杆三铰拱 两铰拱 无铰拱 Date 3-7 三铰拱 拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。 拱结构的优缺点： a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯 矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就 可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度 b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉 性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。 c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因 此它需要更坚固的基础或下部结构。同时它的外形 比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大 Date 3-7 三铰拱 拱各部分的名称： L跨度（拱趾之间的水平距离） f/L高跨比（拱的主要性能与它有关，工程中这 个值控制在11/10 ） f矢高或拱高（两拱趾间的连线到拱顶的竖向距离） 拱趾 拱顶 L f Date 3-7 三铰拱 2）三铰拱的计算 在研究它的反力、 内力计算时，为了便于 理解，始终与相应的简 支梁作对比。 L2L1 L b2a2 b3a3 b1a1 k yk xk C BA f FP1 FP2 FP3 k C BA FP1 FP2 FP3 Date 3-7 三铰拱 （1）支座反力计算 取左半跨为隔离体： L2L1 L b2a2 b3a3 b1a1 k yk xk C BA f FP1 FP2 FP3 k C BA FP1 FP2 FP3 Date 3-7 三铰拱 由前面计算可见： 三铰拱的竖向反力与相应简支梁的相同，水平 反力等于相应简支梁C点的弯矩除以拱高f。FH与f 成反比，f越小,FH越大，f越大， FH越小。也就是 说：f越小，拱的特性就越突出。 Date 3-7 三铰拱 （2）弯矩计算 求拱轴线上任意点k的弯矩， 为此取Ak为隔离体： （3）剪力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样以Ak为隔离体： 相应简支 梁的剪力 MK k FYA FH FP1 FQ K FNK A k MK F0YA FP1 F0QK 相应简支 梁的弯矩 Date 3-7 三铰拱 （3）轴力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样取Ak为隔离体： 三铰拱内力计算公式： MK k FYA FH FP1 FQ K FNK A k MK F0YA FP1 F0QK Date 3-