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部分奥赛解题思路详细分解1 分 类分类是一种很重要的数学思考方法，特别是在计数（数个数的问题中，分类的方法是很常用的。【例1】数一数，图1-1中共有多少条线段？【分析与解】图1-1中的线段可分为这样几类：（1）以A为左端点的线段共4条，分别是：AB，AC，AD，AE；（2）以B为左端点的线段共3条，分别是：BC，BD，BE；（3）以C为左端点的线段共2条，分别是：CD，CE；（4）以D为左端点的线段有1条，即DE。一共有线段4+3+2+1=10（条）。还可以把图1-1中的线段按它们所包含基本线段的条数来分类。“基本线段”指AB、BC、CD、DE这样的线段，它们的两个端点之间没有标出其它的分点。按所含“基本线段”来分类，也是4类：（1）只含1条基本线段的，共4条：AB，BC，CD，DE；（2）含有2条基本线段的，共3条：AC，BD，CE；（3）含有3条基本线段的，共2条：AD，BE；（4）含有4条基本线段的，有1条，即AE。分类，对于计数来说十分重要，因为当计数的对象没有规律地交错排列时，它能使我们的思考方向明确，条理清晰，而不容易发生差错。【例2】 数一数，图 1-2中共有多少个正方形？【分析与解】图中的正方形可以分为两大类，第一类是“不斜的”，第二类是“斜着的”。在“不斜的”正方形中，又可分4类：边长是4个单位的1个；边长是3个单位的4个；边长是2个单位的9个；边长是1个单位的16个。共有 1+4+9+16=30（个）斜着的正方形共有多少个呢？我们还是先分类。分类之前，应当注意到这样一个图（图1-3），中间画实线的部分与图1-2中不含斜线（不斜的）部分相同。因此，在“斜着的”正方形中，也可分4类，但边长是1个单位、边长是2个单位的比“不斜的”多，边长是3个单位、4个单位的与“不斜的”同样多，它们分别是：边长是4个单位的1个；边长是3个单位的 4个；边长是2个单位的（9+4=）13个；边长是1个单位的（16+8=）24个。斜着的正方形共有（1+4+9+16）+（4+8）=42（个）。因此，图1-2中的正方形一共有30+42=72（个）。【例3】如图1-4，平面上有9个点，任意相邻两点之间的距离都相等，如果把其中任意几个点连起来，可得到各种图形。问：（1）可连成多少正方形？（2）可连成多少长方形？（3）可以组成多少直角三角形？【分析与解】（1）可连成的正方形共有3类：边长是1个单位的，共4个；边长是2个单位的，有1个；边长等于小正方形对角线长的（斜的）有1个。所以，共可连成正方形：4+1+1=6（个）（2）可连成的长方形共有两类，一类是正方形（因为正方形是特殊的长方形），另一类是长和宽不等的长方形，有4个。所以共可连成的长方形有：6+4=10（个）（3）可组成的直角三角形有两类：一类是，以每个长方形（包括正方形在内的）4个顶点为直角顶点（如图5、图6中阴影部分），这样的直角三角形每个正方形中都包含4个，一共有：（6+4）4=40（个）另一类是，以图1-4中第二行中间那个点为直角顶点（如图1-7中阴影部分），这样的直角三角形共有：14=4（个）因而，用图1-4中的点共可连成直角三角形：40+4=44（个）请读者想一想：任意一个正方形（如图1-8），作出它的两条对角线以后可组成的直角三角形应当是8个，其中以4个顶点为直角顶点各1个，以对角线的交点为直角顶点有4个。为什么在上面的“分析”中只举出4个。是不是有遗漏？为什么？【例4】 数一数，图1-9中共有_个梯形。【分析与解】 要数出图中梯形的个数，首先要弄清楚图中的梯形共有几类。根据梯形的概念（一组对边平行，另一组对边不平行的四边形），图1-9中的梯形可分为4类：（1）上底、下底与BC平行，并且上底短、下底长的；（2）上底、下底与BC平行，并且上底长、下底短的；（3）上底、下底与AB平行的；（4）上底、下底与DC平行的。在第（1）类中，又可把这些梯形分成4小类（假设AD的长为1个单位）：下底长是5个单位的，有：41=4（个）它们都以BC为下底，AD、EF、GH、IJ为上底；下底长是4个单位的，有：3（2+1）=9（个）它们分别以BL、KC和IJ为下底，对于每个下底，上底都有三种可能。比如，以BL为下底的梯形，上底可为IM、GN、EO；下底长是 3个单位的，有：2（3+2+1）=12（个）它们分别以 BQ、KL、PC、IM、SJ、GH为下底，对每个下底，上底都有两种可能；下底长是2个单位的，有：1（4+3+2+1）=10（个）所以，第（1）类梯形共有：4+9+12+10=35（个）用同样的方法，我们可以数出第（2）类梯形（底与BC平行，上底长、下底短的）有：1+4+6=11（个）它们的上底分别为4个单位、3个单位、2个单位；第（3）类梯形、第（4）类梯形各有36个。从而，得到图1-9中共有梯形：35+11+36+36=118（个）想一想：对于第（3）类和第（4）类，我们没有像第（1）、（2）两类那样，按上底长、下底短和上底短、下底长再作分类，这样会不会遗漏一部分梯形？为什么？其实，除了数图形之外，其它的计数问题也离不开“分类”这种重要的思路。【例5】 在算盘上，用两粒珠子可以表示几个不同的三位数？分别是哪几个数？【分析与解】在算盘上，上珠一个表示5，下珠一个表示1。根据这两点，可以把两粒珠子在算盘上的位置分为3类：（1）都为上珠时，组成505， 550；（2）都为下珠时，组成101，110，200；（3）一个上珠、一个下珠时，组成510，501，105，150，600。【例6】从 1，2，3，99，100中，选出两个数相加，使它们的和大于100，共有多少种不同的选法？【分析与解】 我们把“选数”看作一件事，做这件事可有99类方法。第1类，第一个数选1，那么第二个数只能选100，共1种选法；第2类，第一个数选2，第二个数可选100，也可选99，共2种选法；依此类推，99类选数方法如下：第98类（98，99）、（98，100）2种第99类（99，100）1种一共有：1+2+3+49+50+49+48+2+1=2500（种）不同的方法。在例2的分析中，关键是怎样正确地分类。我们这里分类的标准是：每次选的两个数中，总是后一个比前一个大。为什么后一个不能比前一个小或与前一个相等呢？这是为了防止重复。比如在第 50类中选了（50，51），在第 51类中不能再选（51，50），因为（50，51）与（51，50）是一种选法。也正由于这个原因，到了第 51类以后，选法越来越少了。【例7】 有一种用六位数表示日期的方法，例如，用950208表示 1995年2月8日。用这种方法表示1994年全年的日期，那么，全年中六位数字都不相同的日期共有_天。【分析与解】 1994年全年的日期用六位数表示，头两位数字一定是“94”，因此 9月份和 4月份的所有日期都不符合要求。 11月份的所有日期也不符合要求。所以，只依次有1、2、3、5、6、7、8、10、12这九个月中的一些日期符合要求分九类一一列举（如下表）：续上表分类计数的关键是正确分类，要做到“正确”，应考虑两条：（1）分类要全。分类不全，就会造成遗漏。在上面的例4中，如果稍不留心，就会忘记第3类和第4类。分类确定后，要把每一类中的每一个符合要求的对象都列举出来。（2）分类要清。如果分不清，第1类中有第2类，互相包含，那就会重复。例6中，我们强调了分类的标准是“后一个数比前一个大”，正是为了防止重复。不然的话，后面列举的数对就会与前面列举过的重复了。 【思考题】1.数一数，图1-10中，共有多少个三角形？提示：分“尖向上”、“尖向下”两大类，“尖向上”的三角形与“尖向下”的三角形同样多。“尖向上”的三角形又可分为3类，其中边长为1个单位的有“3+4+3+2”个；边长为2个单位的有“3+2+1”个；边长为3个单位的有1个。2.有长度分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（单位：厘米）的木棒足够多，选其中三根作为三条边围成三角形。如果所围成的三角形的一条边长为11厘米，那么，共可围成多少个不同的三角形？提示：要围成的三角形已经有一条边长度确定了，只需确定另外两条边的长度。设这两条边长度分别为a，b，那么a，b的取值必须受到两条限制：a、b只能取111的自然数；三角形任意两边之和大于第三边。2 化大为小找规律我们先来看一个大数目的计算问题：计算自然数中小于10000的所有奇数的和。本题实际上就是计算下式的结果：1+3+5+9995+9997+9999由于1至10000这10000个自然数中，奇数与偶数各占一半，所以上式中共有5000个加数。5000个数太多，逐个相加太麻烦。多的不会，想少的，观察下列特殊情况：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52从上面这组算式不难发现这样一条规律：从1开始连续n个奇数的和，恰好等于n2。这样，我们只要知道小于10000的奇数共有多少个，就可以直接写出得数了。我们知道，从1开始的连续偶数个自然数中，奇数、偶数各占一半，所以，小于10000的自然数中，奇数共有5000个。因此1+3+5+7+9995+9997+9999=50002=25000000在解决上面这个问题时，我们体会到：对于一些较复杂或数目较大的问题，如果一时感到无从下手，我们不妨把问题尽量简单化，在不改变问题性质的前提下，考虑问题最简单的情况（化大为小），从中分析探寻出问题的规律，以获得问题的答案。这就是解数学题常用的一种方法，叫做归纳，我们也可以叫做“化大为小找规律”。【分析与解】 我们可以先来计算 1199、 111999、11119999，看看它们的积各是多少，它们积里各有多少个数字是偶数。1199=1089（有2个数字是偶数。）111999=110889（有3个数字是偶数。）11119999=11108889（有4个数字是偶数。）是偶数。通过计算，可知是偶数。从上面4个算式的结果中，我们可以找到一个规律：几个1乘以相同个数的9，它的乘积，中间有1个0；在0的前面是若干个1，个数比被乘数1的个数少1；在0的后面是若干个8，个数与积中1的个数同样多；积的最末位是9。积里的偶数（包含1个0和若干个8）的个数和被乘数1或乘数9的个数同样多。根据这一规律，我们可以推想：这个积里有1个0及19个8，有20个数字是偶数。【例2】数一数，图 2-1中共有多少个正方形？【分析与解】 我们把图2-1先放在一边，来看图2-2和图2-3、图2-4中的正方形分别有多少个。在图2-2中，边长为1的正方形有4个，边长为2的正方形有1个，一共是：1+4=5（个）在图2-3中，边长为1的正方形有9个，边长为2的正方形有4个，边长为3的正方形有1个，一共是：1+4+9=14（个）在图2-4中，边长为1、2、3、4的正方形分别有16个、9个、4个、1个，一共是：1+4+9+16=30（个）现在，我们发现了规律：当正方形中相邻两个边被分为n等份，以每个等分点为端点，作与它相邻的另一条边的平行线。由这些平行线所组成的正方形（包括原来那个最大的正方形）的总个数是：12+22+32+n2根据这条规律，可算出图2-1中正方形总个数是：1+4+9+16+25+36+49+64+81+100=385（个）【例3】 计算【分析与解】 上面的加法算式中共有99个加数，而且这些分数的分母越来越大，通分显然不是好办法。还是用“化大为小”的方法试试吧。写到这里，规律已经出现了：如果算式中的加数共有n个，那么，计算结果（一个分数）的分子就是n，分母就是n+1。由此，可直接写出本题的答案不过，要提醒同学们注意的是：当你找到了规律之后，不要急于马上就去套用，还得先检验一下，看这个规律是不是“灵”。如果不灵，那就要多举几个例子，并对已经总结的结论加以修正。【例4】 将自然数1，2，3，4，像图2-5那样按顺序排列起来。在最上面一行中，从左到右第100个数是_；在最左边一列中，从上到下第100个数是_。【分析与解】 先仔细观察最上面一行靠最左边的几个数，看它们的排列有什么规律。第1列是a1=1=1第2列是a2=3=1+2第3列是a3=6=1+2+3第4列是a4=10=1+2+3+4现在可以发现规律了。第100列是a100=1+2+3+4+5+99+100=（1+100）1002=50505050就是最上面一行中从左到右的第100个数。再来看最左边一列数从上到下的排列规律。第2行是b2=2=1+1=a1+1第3行是b3=4=3+1=a2+1第4行是b4=7=6+1=a3+1第5行是b5=11=10+1=a4+1现在，可以得出最左边一列的各个数与最上面一行数之间有一种对应关系，那就是：bn=an-1+1知道an-1是多少，也就知道bn是多少。要求最左边一列的第100个数b100，应先算出a99。a99=a100-100=5050-100=4950所以，b100=a99+1=4950+1=4951【例5】 有甲乙两个水杯，甲杯有水1千克，乙杯是空的。第一次将甲样来回倒下去，一直倒了1995次之后，甲杯里的水还剩（ ）千克。【分析与解】 我们先不考虑倒1995次后甲杯中有多少水，还是先看前几次的情况（列出一个表更容易看出规律）。续上表规律出现了：第奇数次倒过之后，甲杯中的水与乙杯相等。1995是个奇数，所以倒了第1995次后，甲杯中的水仍为500克。再举一个大家很熟悉的例子。【例6】10条直线最多可把一个长方形分成多少块？【分析与解】 先不考虑10条直线，而是先看1条、2条、3条直线能把一个长方形分成几块？如图2-6，一条直线最多可把长方形分成两块。也就是a1=2；再添一条直线，即2条直线（如图2-7）可把长方形分成几块呢？要注意“最多”二字，它要求这条添上去的直线必须同前一条直线相交，而不能平行。这样，两条直线最多可把长方形分成2+2=4（块）也就是a2=4=2+2。在图2-7再添一条直线，这条直线既不能经过已有的两条直线的交点，也不能与其中一条平行（如图2-8），它使图2-7中的3块再一分为二（增加了3块）。这样，三条直线最多可把长方形分成4+3=7（块）也就是：a3=7=4+3现在，我们发现这样的规律：an=an-1+n因此，a10=a9+10=a8+9+10=a7+8+9+10=a1+（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=2+54=56（块）这就是说，10条直线可把长方形分为56块。【思考题】1.求13+23+33+43+103的值。提示：写出下列各式13+23=1+8=9=（1+2）213+23+33=9+27=36=（1+2+3）213+23+33+43=36+64=100=（1+2+3+4）2从这组等式中发现：13+23+33+n3=（1+2+3+n）2。2.有一个1000位的数，它的各位数字都是2，这个数除以6的余数是几？提示：从最简单的情况算起：（1位数）26=02（2位数）226=34（3位数）2226=37（4位数）22226=3702（5位数）222226=37034（6位数）2222226=37037算到这里，规律已经很明显了当位数是3的倍数时，余数为0；当位数是3的倍数多1时，余数为2；当位数是3的倍数多2时，余数为4。3.求图2-9中所有数的和1 2 3 4 1002 3 4 5 1013 4 5 6 1024 5 6 7 103100 101 102 103 199提示：先算图 2-10、图 2-11中所有数的和。从图2-10中，可算出所有各数的和是：444=43=64从图2-11中，可算出所有各数的和是：555=53=1253 从一点突破你见过建筑工人在墙上开洞装上窗户吗？一面用砖砌成的墙，本来是挺结实的，要在上面开洞并不太容易。通常的做法是先敲开一块砖，这块砖被敲开后，它的上、下、左、右4块砖就容易敲了，然后逐渐向外扩张，一个窗户的地方就留出来了。先敲开一块砖，也就是先找一个突破口。解一些数学题，常常需要从一点突破。【例1】 如图3-1，a、b、c、d、e、f、g、h分别代表1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字。问它们分别代表什么数字？【分析与解】 图中的字母a代表一个被除数，它和g都可写成另两个数的乘积，因而这两个字母的取值范围比其它字母要小一些。我们选择字母a（或g）作为推理的突破口比较好。（1）由于8个字母代表的数字互不相同，所以，a只能取6或8（如果取4，要么d=e，要么a=e）。这样，ad=e这个除式只可能是：84=2 或 82=4或62=3或 63=2（2）如果ad=e代表82=4 或 62=3，那么f无值可取。这就是说，除式ad=e只可能是84=2 或 63=2（3）如果取84=2，f可取3，g=6，c、h只能分别取1和5。但是，如果c=5，b只能取3（与f重复），不行。只有c=1，h=5，b=7如果取63=2，f取4，g取8，用同样道理可推出：b=5，c=1，h=7【例2】下面的算式中，不同字母代表不同的数字，解出这个算式谜。【分析与解】解算式谜，我们一般把最容易下手的地方作为推理的突破口。这里最容易下手的地方是“先确定A”。第一步A=E-E=0。第二步因为A=0，从第一次减法百位上看，B=10-B或9-B（被十位上借出了1）。所以，B=5。第三步因为B=5，所以C=4。=8，I=9。第六步剩下的没有用过的数字只有l、2、3、6、7。F=1时，F9的个位为9，9已经出现过，不合要求，所以F不是1。29=18，38=24，69=54，8、4都已出现过，所以F不能为2、3、6，从而F=7。79=63，所以G=3。H=C-G=4-3=1。又因为78=56，所以E=6。在上述过程中，我们可逐步将字母换成已经求出的数字，最后得到【例3】把100个桔子分别装在6只篮子里，每只篮子里所装的桔子数，都要是含有数字“6”的数。该如何装？【分析与解】这个分装桔子的问题，实际上就是把100分拆成6个数相加，使6个加数必须都含有数字“6”。由于100的个位数字是0，所以这6个加数的个位数字不能都是6（不然的话，它们和的个位数字是6）。看来，从个位数字上下手比较容易突破。由于每个加数都要含有数字“6”，“6”不在个位上，必定在十位上，但是这6个数的十位数字之和不能超过10，所以它们的十位数字最多有1个为6，这样，就可以推出，有5个数个位数字是6，1个数十位数字是6。因为5个个位数字是6的数相加，和的个位是0，所以十位是“6”的数就是60，而60+6+6+6+6+6=90，比100还少10。所以，这6个数只能是60，16，6，6，6，6。【例4】油库里有6桶油，分别是汽油、柴油和机油，用秤称得每桶油重15千克、16千克、18千克、19千克、20千克、31千克。但不知道每只桶里各装的是哪种油。已知柴油的总重量是机油的2倍，汽油只有一桶。问6个桶内各装的是什么油？【分析与解】因为柴油总重量是机油的2倍，所以柴油与机油的重量和一定是3的倍数。而6桶油（把汽油也包括进去）的总重量是15+16+18+19+20+31=119（千克），119=393+2。这就容易推出汽油的重量被3除余2。从“重量被3除余2”这一点，可以先作突破，找出哪一桶是汽油。在15，16，18，19，20，31中，除以3余2的只有20。所以，汽油的重量是20千克。剩下的5桶油一共重: 15+16+18+19+31=99（千克）其中机油的重量为：993=33（千克）柴油的重量为：332=66（千克）在剩下的五个数15、16、18、19、31中，只有15+18=33，所以重15千克、18千克这两桶内装的是机油；最后剩下的三桶油是柴油。【例5】A、B、C、D是从小到大排列的四个不同的自然数，把它们两两求和，分别得出下面的五个不同的和数：21，23，24，25，27。求原来四个数的平均数。【分析与解】四个数两两相加，应该得到六个和数，而现在只出现五个不同的和数，说明这六个和数当中有两个相等，如果能找出这个相等的和数，找到了这个相等的和数，也就找到了解决问题的突破口。因为A、B、C、D这四个数是按从小到大排列的，所以由“BC”可以推知A+BA+C。从而，可进一步推知A+BA+CB+CA+DB+DC+D它们当中有两个和数相等，那只能是B+C和A+D了，由此推出六个和数应该是21，23，24，24，25，27。在把A、B、C、D这四个数两两相加，得出六个和数的过程中，A、B、C、D各用了3次，所以A、B、C、D的平均数应为（21+23+24+24+25+27）34=12【例6】如图3-2，把17七个数字分别填入图中的七个圆圈内，使每条直线上三个圆圈内各数之和相等。【分析与解】我们从图中可以看出：中间圆圈内所填的数是三条直线上共用的，它是一个“重复用数”。因此，我们在思考时，应该首先把中间圆圈内的数想出来。这样，根据题目中“每条直线上的三个数的和相等”，只需考虑每条直线上两个数的和相等。那么，怎样确定中间圆圈内所填的数呢？我们可以这样考虑：17七个数字的和为28，只有中间圆圈内填上一个数字后，剩下的六个数字的和能被3整除（因为要分成和相等的三组数），才能填写。所以，中间圆圈内所填的数很快可以确定下来：可为1、4、7。这时，其它圆圈内的数也就可以很快填出。例如：当中间圆圈填1时，每条直线上两个数的和为9（28-1）3=9，这时，三组数分别为2和7、3和6、4和5。我们很快可以得到一种填法（见图3-3）。同样，当中间圆圈内填4或7时，分别可以得到1和7、2和6、3和5以及1和6、2和5、3和4两种填法。上面我们讨论的这个例子中，从“重复用数”入手，因此分析起来还不太难。如果“重复用数”多一些的话，思考问题的过程又将怎样呢？请试一试思考题第2题。【思考题】1.把下面各题中的“”换成适当的数字。提示：左边的算式中，乘数的个位、十位与被乘数相乘，积都是两位数，可见，乘数的个位、十位数字都是1，可以把确定乘数作为突破口；右边的算式中，由商的十位数字与除数的积个位是5，把确定商的十位数字作为突破口。2.把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字填在图3-4的圆圈内，要求三边四个数相加的和相等，并且三边四个数相加的和要最小；三边四个数相加的和要最大。怎样确定这两种情况下的三个重复用数？ 提示：三个顶点上的数都是“重复用数”，设它们分别为a、b、c，每条边上4个数的和均为k，那么1+2+3+9+a+b+c=3k当a+b+c=6时，k最大；当a+b+c=7+8+9=24时，k最小。4 试 验“鸡和兔共42只，被关在一个大笼子里，从下面数出鸡、兔共有108条腿。问鸡、兔各有多少只？”这道题你现在也许能用好几种方法列式解答。你知道一些数学家怎么想吗？他们这样做：先在已知条件“42只鸡和兔”范围内，估计一个数，比如有10只兔、32只鸡，那么共有腿410+232=104（条）。104靠近108，但比108小，说明兔子不止10只。因此，我们进一步估计有11只兔、31只鸡，那么共有腿411+231=106（条）。这时尽管没有到达成功的彼岸，但答案已是俯首可拾了，因为每增加一只兔和减少一只鸡（用兔来换鸡），就等于增加了两条腿，所以兔子有12只，鸡有30只。为什么数学家们一开始不先猜有1只兔、41只鸡呢？因为那样猜的话，就离已知条件“鸡兔的腿共108条”太远了，试验就太费时间了。可见，数学家们在用试验的方法解题时是这样想的：在符合部分已知条件的范围内，为了减少试验的次数，应尽量跨大试验的第一步，使第一个猜测尽量靠近题意。然后把猜得的答案进行试验，看是否符合题意。如果符合题意，问题得解；如果不符合题意，就排除这种猜测（一种可能性），接着再试，直到得出正确答案为止。华罗庚爷爷十分欣赏这种试验的方法，他曾经赞不绝口地说：“这方法虽然拙笨些，但这是一个步步能行的方法。”“不要以为方法笨不可取，有了方法之后，方法是死的，人是活的。运用之妙，存乎其人。”下面，我们来举例说明试验法在解题中的作用。【例1】在下面15个8之间添上适当的运算符号（必要时，可使用括号），使得数为1995。8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1995【分析与解】我们可以先试一试，但应尽量跨大试验的第一步，使其中的几个“8”所组成的算式计算结果比较靠近1995，然后用剩下的几个“8”来调整。容易看出，88888=11111111+888=1999好，现在已经得到1999了，它与1995还相差4。这时，我们一共用去了8个“8”，还剩下7个“8”。下面的任务就是用7个“8”组成一个算式，使它的结果是4。这是比较容易办到的：888=88与4相差4，用剩下的4个“8”，组成得数是4的式子。88（8+8）=4到这里，试验就算成功了，组成的算式是：88888+888-888+88（8+8）=1995有没有别的方法组成得数是1995的算式呢？你可以再试试。用试验法求得正确答案，首先要确定有几种可能，这就是试验的范围。范围越小，试验的次数越少，越容易试验成功。所以，应当把缩小试验范围看作我们解题的第一步。【例2】有一个四位数3AA1，能被9整除。问A代表几？【分析与解】一个数能被9整除的特征是：这个数的各位数字的和能被9整除。根据这个特征，我们可以知道：3AA1的四个数位上数字的和：3+A+A+1=2A+42A+4能被9整除，它可能是9，18，27，但是，A9，所以2A18，2A+422。这样，试验的范围比较小了（两种可能）：2A+4=9或 2A+4=18由于2A+4又一定是偶数，所以只能是：2A+4=182A=14A=7【例3】一个三位数，百位数字是个位数字的3倍，十位数字等于百位数字与个位数字的积。求这个三位数。【分析与解】我们先根据第一个条件，可以把试验的范围缩小在三种情况：（1）个位数字1，百位数字3；（2）个位数字2，百位数字6；（3）个位数字3，百位数字9再根据第二个条件“十位数字等于百位数字和个位数字的积”决定上面三种情况中应该选择哪一种。第（1）种情况，可以求得十位数字是13=3，而第（2）（3）两种情况都不可能求得十位数字（因为26、39都大于9，不能做十位数字），所以要求的三位数是331。下面几个例子比较复杂些。【例4】将一根长为374厘米的铝合金管截成若干根长36厘米和24厘米的短管。问剩余部分的管子最少是多少厘米？【分析与解】从题目的问句看，应抓住“最少”二字来思考，先考虑没有剩余，再考虑剩余1厘米、2厘米（1）如果把这根长管截成若干根两种不同规格的短管后没有剩余，那么374应该是4的倍数，因为两种短管的长度36厘米、24厘米都是4的倍数，但374不能被4整除，所以没有剩余不可能。（2）如果截成若干根两种不同规格的短管后只剩下1厘米，根据36、24都是偶数，“偶数的倍数是偶数”、“偶数与偶数的和是偶数”可推知，原来铝合金管长应为奇数，这与管长374（偶数）的条件矛盾，所以，剩1厘米也不可能。（3）如果最后剩下2厘米。这种情况有可能。374（36+24）=614。这说明两种都截6根余14厘米，这时需要调整：少截一根24厘米长的，加上14，24+14=36+2，正好合一根36厘米长的，还剩2厘米。【例5】老师在黑板上写了若干个从1开始的连续自然数：1，2，3， 【分析与解】根据题意可知：在上式中，被除数、除数都是整数，而商是一个分母为15的分数，这说明：剩下的数的个数是15或15的倍数。我们可以根据这个猜测来试验。如果剩下的数的个数是15，剩下的数的总和应是1516+4=244，那么，擦掉一个数之前，从1开始的自然数有“15+1=16”个，它们的总和是1+2+3+16=136，136244，也就是1至16这16个连续自然数之和小于1至16这16个连续自然数中的任意15个自然数之和。矛盾！所以，剩下的数不可能是15个。那么，擦掉一个数以前从1开始的连续自然数有30+1=31（个），总和是1+2+3+31=496，496488符合题意。由496-488=8可知，8就是被擦掉的数。得到了符合题意的答案，15的其它倍数就不必再试了。【例6】某校排演团体操时，全体学生恰好能由一个正三角形队列变换为一个正方形队列。现只知道全校学生数在10002000人之间，那么这个学校有多少名学生？【分析与解】先考虑“能组成正方形队列”这个条件，由这个条件可以知道学生总数是某个自然数的平方。因为正方形队列中每行、每列人数相等。在10002000之间共有322、332、342、352、362、372、382、392、402、412、422、432、442这13个数符合条件。这样，我们在10002000之间排除了许多数，大大缩小了答案的范围。在这13个数中，再根据“能排成正三角形队列”这个条件逐一试验，并不是一件困难的事。如图4-1，等边三角形队列中，相邻两行之间的人数成等差数列。那么，这个队列中的总人数为（设总行数为n）：由于2S=n（n+1），而n（n+1）表示两个连续自然数的乘积。所以，我们只要把上面筛选出来的13个数逐一试验，看哪个数的2倍能够分解为两个连续自然数的乘积。试验的结果是，只有1225（352）可以，其它12个数都不行。因此，题目的答案是：这个学校共有学生1225人。下面这个例题中，由于计数对象较多，需要试验的次数也比较多，但不难。希望你既要细心，又要耐心。【例7】有一种用六位数表示日期的方法，如890817，表示的是1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有_天。【分析与解】这道题仍然用试验法，首先缩小试验的范围。1月份，形如“9101”，全部排除；9月份，形如“9109”，全部排除；10月份，形如“9110”，全部排除；11月份，形如“9111”，全部排除；12月份，形如“9112”，全部排除。还有2月份，上旬形如“91020”，全部排除；中旬形如“91021”，全部排除；下旬形如“91022”，全部排除。这样，1月、2月、9月、10月、11月、12月全部排除，试验的范围大大缩小了，只有在剩下的3月8月这6个月中试。但这6个月按上旬、中旬、下旬不同，试验范围还可进一步缩小。因为表示中旬的日期排除了；表示月份的0中的“0”又把每个月中表示上旬的日期排除了。这样，只需考虑三到八月份中下旬的日期就行了。三月份：9103，符合要求的有24、25、26、27、28。四月份：9104，符合要求的有23、25、26、27、28。五月份：9105，符合要求的有23、24、26、27、28。类似地，在六、七、八三个月中，合要求的日期也各有5天。所以全年中六个数字都不相同的日期共56=30（天）。【例8】学校早晨600开校门，晚上640关校门。下午有一同学【分析与解】题目中所说的“现在”是下午的某一时刻，因此我们可以采用试验的办法来解。如果当时是下午3点，那么，从开门到“现在”的时间一共是（12+3）-6=9（小时）时。根据题目中的等量关系（老师说的话），容易知道“现在”是下午3时还嫌早了一些。因为所以，我们可以判断：“现在”一定在下午3点钟以后，并且比3点大约迟1小时。根据上面的估计，我们可以大胆地跨出试验的第一步：如果当时是下午4点，那么12+4-6=10（小时）试验一步成功，说明“现在”的时间是下午4点。 【思考题】1.解下面的算式谜：提示：根据“41”商3，推知除数只有14、15、16这三种可能，然后逐个试验。注意：“91”必须余4。2.已知在每个正方体的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6这六个数，并且任意两个相对的面上所写两个数的和都等于7。现在把五个这样的正方体一个挨着一个地连接起来（如图4-2），在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8。那么图中打“？”的这个面上所写的数是几。提示：根据“相对的面上所写的数字之和都等于7”和“紧挨着的两个面上所写数字之和都是8”，可推知，左上角的正方体前面所写的数字是3（由，后面是4；左、右两面分别是2或5。然后用2和5分别试。3.三个连续偶数的乘积等于148，求这三个偶数。提示：三个连续偶数的积是七位数，由1003（100100100的积）是七位数，可估计这三个数是三位数的可能性较大。又因为这是三个连续偶数，它们的个位数必定是数列“0，2，4，6，8，0，2”中连在一起的三个数，已知三个连续偶数的积的个位数字是8，所以这三个数的个位数字必定是2，4，6。又因为三个连续偶数的积的最高位数字是1，所以三个三位数的百位数字只可能是1。由1103=1331000，1203=1728000，推得三个数的十位数字都是1。5 移多补少同学们都知道，解答“求平均数应用题”离不开“总数量总份数=平均数”这个数量关系式。不过，如果你能紧扣“平均”二字的意义来思考，那么，解那些灵活性强的题目，往往能想出更简便的方法。在“平均”二字中，“平”就是“拉平”，也就是移多补少，“均”就是相等。“平均”二字的意思，通俗地说，就是用“移多补少”的办法，使每份数量都相等。因此，移多补少是我们解答求平均数应用题的重要思考方法。【例1】新光机器厂装配拖拉机，第一天装配50台，第二天比第一天多装配5台，第三、第四两天装配台数是第一天的2倍多3台，平均每天装配多少台？【分析与解】按惯例，应该用四天装配的总台数除以4，综合算式为：50+（50+5）+（502+3）4=52（台）如果采用移多补少的方法，将会十分简便。假设每天都装配50台，那么四天一共多装配5+3=8（台），把这8台平均分成四份，84=2（台），因此，平均每天装配50+2=52（台），综合算式为：50+（5+3）4=52（台），你看，这种解法多么巧妙！【例2】小红跳绳3次，平均每次跳156下，要想跳4次后达到“平均每次跳160下”，她第4次要跳多少下？【分析与解】前3次的平均数为156，要想4次的平均数达到160，就是说第4次跳绳要超过160下，并且使超过的部分平均分成3份后恰好把前3次拉平（都是160下）。第4次应跳：160+（160-156）3=172（下）。【例3】从11到20十个连续自然数相加的和，再加上2000，等于从（ ）到（ ）这十个连续自然数相加的和。【分析与解】我们容易算出：11+12+13+20=155，155+2000=2155。要想知道2155是从（ ）到（ ）的十个连续自然数的和，只要知道其中最小的数或最大的数是多少就行了。我们可以用“削平”或“补齐”（也就是“移多补少”）的技巧来解。设这十个连续自然数中最小的为a1，它后面的9个连续自然数依次为a2，a3，a4，a8，a9，a10。这9个数比a1分别大1，2，3，8，9。如果把这些9个数的和减去，那么原来的十个数都和a1相等了，这就是“削平”，如图5-1：由于a1+a2+a3+a10=2155，可知“削平”以后，有10a1=2155-（1+2+3+4+9）即10a1=2110 a1=211从而可求出：a10=a1+9=211+9=220“移多补少”一般用于解“平均数应用题”，它的优点是简单灵活，便于心算。【例4】某工厂一周内生产机器的台数统计表如图5-2，请你把星期三、星期四的产量算出来。【分析与解】由“平均每天生产79台”可知，把六天中日产量超于79台的“移出”一部分（多出的一部分），“补到”日产量不足79台的几天后，每天都是79台。可以这样移：星期一的89台中移出10台，使星期一为79台（多10台）；星期六的85台中移出6台，其中5台给星期二，使星期二、星期六都是79台（还多1台）；星期五的81台中移出2台，使星期五也是79台。现在，星期一、二、五、六都是79台，多出的是：10+1+2=13（台）补给星期三和星期四。可以肯定星期四原有78台，如果是68或比68少，那么，一共多的13台不够；如果是88台或更多，那么，平均日产量就超过79台。这样，星期四需要补1台。星期三需要补13-1=12（台）星期三原有79-12=67（台）【例5】有6个木工和一个漆工完成了一套家具生产任务。每个木工各得200元，漆工的工资比7个工人的平均工资多30元。漆工得了多少元钱？【分析与解】根据“移多补少”的原则，漆工比平均工资高出的30元，分别补给6个木工以后，6个木工的平均工资恰好应该是7个人的平均工资：306=5（元）从而，7个人的平均工资应是：200+5=205（元）漆工的工资是：205+30=235（元）【思考题】1.在迎新年的寿星联欢会上，有16位老寿星围坐在一起，他们的年龄恰好是16个连续自然数，而且30年后他们的年龄之和又恰好是1992。其中最老的寿星是多少岁？提示：模仿例3的思路。2.在三场击球游戏中，阿丽丝的分数分别是139、143、144，为了使四场得分的平均分数为145，第四场阿丽丝应得多少分？提示：由前三场的得分都比平均分低，需补足145，想“应补的分数+平均分=第四场得分”这个关系。3.甲、乙、丙三人一起买了8个面包，平均分着吃，甲拿出5个面包的钱，乙付了3个面包的钱，丙没带钱，等吃完后一算，丙应该拿出4角钱，问甲应收回多少钱？（以分为单位）提示：由“丙应该拿4角钱”可知，8个面包共值403=120（分），每个面包值1208=15（分），每人应拿出153=45（分）；又由一共买了8个面包（不够9个）“三个人平均分吃”可知，每人所吃的面包不到3个。这样丙拿出的4角钱中既有甲的，又有丙的。6 等量代换小朋友们一定都知道曹冲（曹操的小儿子）称大象的故事吧。曹冲用一条船，让大象先上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再把这条船装上石块，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石块共有多重，大象就有多重。为什么大象的重量可以换成一船石块的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。解数学题，经常会用到这种思考方法。【例1