高等数学上册学习模糊点.docxVIP

1.特殊集合表示的具体指哪些内容2.直积即笛卡尔积3.邻域的表示方法，还有去心邻域，左、右邻域，邻域中心、半径4.映射与函数关系相同点和区别点5.只有单射才存在逆映射6. 7. 见论文可微函数的导函数与原函数的奇偶性判断8.几种特殊函数型式：绝对值函数、取整函数、分段函数、符号函数、狄利克雷函数9.函数的周期性中有一个最小正周期10.映射有定义域有值域有法则，原像对于像唯一，像可以是相同的满射是某一定义域内的全在值域内不唯一单射又叫一一映射11.12.13.数列收敛极限唯一证明用反证法，取数值平均数 收敛一定有界 收敛数列的保号性 一个数列的两个子数列收敛于不同的数那么该数列发散14.函数的极限：某点处的极限与该点处有木有定义无关；某点极限存在的充要条件左右极限存在相等；渐近线，水平、垂直、斜渐近线15.函数极限的四个性质后三个不是很明白了16.17.极限存在准则 两个重要极限（重点、难点）18.牛顿二项公式19. 以下我们通过给出几个例子来进行讲述，注意错误的解法，谨防自己犯同样的错误。20.一个例题21.间断点：震荡间断点、可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点第一类间断点是左右极限存在第二类间断点是除去第一类间断点22.23. 连续性是局部性质，一般只对单点讨论，说函数在一个集合上连续也只不过是逐点连续。一致连续性是整体性质，要对定义域上的某个子集（比如区间）来讨论，表明了整体的连续程度。一致连续可以推出连续，反之不然。这个一定要搞清楚，否则等学到一致收敛和以后的等度连续、绝对连续的时候你就没法理解了。24.25.过切点与切线垂直的直线叫该曲线在该点处的法线。切线方程与法线方程的斜率之积为-1.26.函数在某点处可导必连续，反之不然。27.反函数的导数等于直接函数的导数。28.反正弦和反余弦 反正切和反余切 幂函数和指数函数的导数证明可以用反函数来证明就是需要增加一个辅助函数。29.30.莱布尼茨公式31. 解析式中明显的用一个变量的代数式表示另一个变量时，称为显函数 可以用y=f(x)来表示的函数，显函数是相对于隐函数来说的。 当把确定y与x的函数关系的方程F(x,y)=0化为y=f(x)的形式时，叫做隐函数的显化。 对于多元函数来说，形如y=f(x、u、v)的函数称为隐函数。32.对于幂指函数求导可以现在两边求对数之后，再用隐函数求导法求导即可。也可以加入e的ln次方来变换，之后求导。33.对于根式方程也可以两边求对数之后用隐函数求导。34.参数方程的求导一次导数二次导数 35.微分的得出有一个近似计算，微分等于导数乘以微分量，少加了一个无穷小量36.37.非线性函数的局部线性化是微分学的基本思想之一。38.工程中常用的几个近似计算39.微分中值定理费马引理的内容：函数f(x)在点x0的某邻域U（x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对于任意的xU（x0)，都有f(x)f(x0)(或f(x)f(x0),那么f（x0）=0。罗尔定理：设函数f(x)在闭区间a,b上连续（其中a不等于b），在开区间(a,b)上可导， 且f(a)=f(b)，那么至少存在一点(ab)，使得 f()=0。拉格朗日中值定理又称拉氏定理。 如果函数f(x)在（a，b）上可导，a,b上连续，则必有一a,b，使得 f()*(b-a)=f(b)-f(a) 证明过程中引入辅助函数：再利用罗证明柯西（Cauchy）中值定理 设函数f(x),g(x)满足 （1）在闭区间a,b上连续； （2）在开区间（a、b）内可导； （3）对任一x(a,b)有g(x)0， 则存在(a,b), 使得 f(b)-f(a)/g(b)-g(a)=f()/g()证明需要作辅助函数 F(x)=f(x)-f(a)-f(b)g(x)/g(a)-g(b)，之后用罗尔40.41.导数与单调性判定42.导数与拐点43.最值44.45.46.47.48.49.50.教学目的 1理解两类反常积分的概念；2能用反常积分的收敛定义讨论某些简单的反常积分的收敛性；3会计算一些简单的反常积分教学重点 理解两类反常积分的概念，并会应用定义计算一些简单的反常积分教学难点 两类反常积分的概念及收敛性的讨论教学时数 2学时.教学过程在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或被积函数为无界函数的积分，它们已经不属于前面所说的定积分了因此，我们对定积分作如下两种推广,从而形成反常积分的概念一、无穷限的反常积分引入 如图1，设是一条连续曲线，则如图所示的阴影部分即曲边梯形的面积为那么，我们考虑，如图2，位于直线右侧，夹在及轴之间部分的面积是否存在呢？如果存在，又等于什么呢？事实上，在上任选一点，位于与之间的曲边梯形的面积我们可以求得：，令，则可表示为我们只须讨论极限是否存在即可定义 设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即. (1)这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，函数在无穷区间上的反常积分就没有意义，习惯上称为反常积分发散类似地，设函数在区间上连续，取如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即. (2)这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分发散设函数在区间上连续，如果反常积分和都收敛，则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即. (3)这时也称反常积分收敛；否则就称反常积分发散上述反常积分统称为无穷限的反常积分注 (1) 反常积分中的及中的可以为任意实常数；(2) 当反常积分发散时，或或就仅是一个记号，而不再表示数值了；(3) 反常积分收敛，当且仅当及均收敛若及中有一个发散，则发散从定义可以知道，前面所说的面积当该反常积分收敛时，面积为有限值；当反常积分发散时，不存在同样地，我们可以分析出及的几何意义留给同学们做练习由上述定义及Newton-Leibniz公式，可得如下结果：设为在上的一个原函数，若存在，则反常积分，记，则；若不存在，则反常积分发散类似地，若为在上的一个原函数，则当存在时，=；当不存在时，反常积分发散若为在上的一个原函数，则当及都存在时，；当与中有一个不存在时，反常积分发散我们也常记，例1 计算反常积分分析 的一个原函数为，故该积分等于解 例2 计算反常积分(是常数，且)分析 由前面的分析我们知道，计算反常积分也可以应用换元公式及分部积分公式解 注 熟练后“ ”上的步骤可以省略，而直接采用分部积分公式例3 证明反常积分()当时收敛，当时发散分析 当时的一个原函数为，而时的一个原函数为故须分情况讨论证 当时， ，当时，因此，当时，反常积分()收敛，其值为；当时，反常积分()发散二、无界函数的反常积分无穷限的反常积分是指积分区间为无穷区间还有一类反常积分，其积分区间为有穷区间，但在积分区间内被积函数是无界函数如果函数在点的任一邻域内都无界，那么称点为函数的瑕点(也称无界间断点)无界函数的反常积分又称为瑕积分注 为的瑕点，并不意味着或或比如为函数的瑕点(可以证明)，但若取()，则恒有，故且也就是说，无界间断点不能等同于无穷间断点定义2 设函数在上连续，点为的瑕点取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的反常积分，仍记作，即 (4)这时也称反常积分收敛如果上述极限不存在，就称反常积分发散类似地，设函数在上连续，点为的瑕点取，如果极限存在，则称此极限为函数在上的反常积分，即. (5)这时称反常积分收敛若上述极限不存在，就称反常积分发散设函数在上除点外连续，点为的瑕点如果两个反常积分与都收敛，则定义, (6)并称反常积分收敛；否则，就称反常积分发散注 若为的瑕点，则反常积分收敛当且仅当反常积分及均收敛；只要后两者有一个发散，则就发散设为的瑕点，在上，若极限存在，则由Newton-Leibniz公式，反常积分若不存在，则反常积分发散仍记，则形式上仍有但要注意，这里在处取的是右极限对于另两种瑕积分，请同学们自行给出计算公式例4 计算反常积分()分析 显然是瑕点解 =注 (1) 这里积分值等于，是因为恰好在点左连续，故=否则，若直接代函数值将会得出错误结果(2) 该积分值的几何意义是：位于曲线之下，轴之上，直线与之间的图形面积例5 讨论反常积分的收敛性分析 显然是瑕点，如果忽略了它，将得出的错误结论解 被积函数在积分区间上除外连续，且，即为的瑕点由于=，即发散，故反常积分也发散注 区间内的瑕点是一个非常容易被忽略的因素，因此大家应特别关注它例6 证明反常积分当时收敛；当时发散分析 当时，是连续点而不是瑕点但由于从形式上定积分与瑕积分计算公式的一致性，故可与时即为瑕点时一同处理证 当时，当时， 因此 ，当时，该反常积分收敛，其值为；当时，该反常积分发散例7 求反常积分分析 这既是一个无穷限的反常积分，又是瑕积分(0为瑕点)对于这类反常积分，当被积函数在积分限对应的开区间内连续时，我们可以寻找一个换元函数，然后像定积分一样作换元解 令即，；当时，时于是再令，取，则时，时，于是=注 这种换元函数不是唯一的同学们可以尝试用其他函数如：，等进行运算，而且计算可能更