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习 题 一1. 用列举法表示下列集合：（1）1到100之间的自然数的集合； （2）小于5的正整数集合；（3）偶自然数的集合； （4）奇整数的集合. 解：(1) (2) ，(3) , (4) .2. 用描述法表示下列集合：（1）偶整数的集合；（2）素数的集合；（3）自然数的整数幂的集合.解：(1) (2) (3) 3. 设请判断下面的写法正确与否：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12） 解：(1) 错; (2) 对; (3) 对; (4) 错; (5) 错; (6) 对; (7) 错; (8) 对; (9) 对; (10) 错; (11)错; (12) 对.4. 设、和为任意三个集合. 以下说法是否正确? 若正确则证明之, 否则举反例说明.（1）若且，则；（2）若且，则；（3）若且，则；（4）若且，则 解：(1) 正确。因，所以，对任何均有，今，故。(2) 错误。例如，令。(3) 错误。例如，令 。(4) 错误。例如，令 。5. 设是集合且.是集合吗? 请证明你的结论. 解：假设是集合。于是，(1) 若，则由的定义，有；(2) 若，则由的定义，有。 总之，有 当且仅当 。此为矛盾。故不是集合。6设.试求下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）解： (1) (2) ; (3) ; (4) ; (5) (6) (7) (8) .7. 设、和为任意三个集合，以下说法是否正确？若正确则证明之，否则举反例说明.（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则或；（5）若，则或 解：(1) 错误。例如，令;(2) 错误。例如，令;(3) 对。若，不妨设。于是，(i) 若，则，但 ；(ii) 若，则，但 。 此与矛盾。故结论成立。（4）错。例如，令;（5）错。例如，令8. 设、和是任意三个集合，试证明：（1）当且仅当；（2）；（3）；（4）；（5） 解：(1) 设。于是。反之，设。若，则不妨设。于是，从而。此为矛盾。故。 (2) 。(3) 左式= = = = = = = =右式= = = = = = = =左式(4) 证明： (5) 证明： 9. 设,试确定以下集合：（1）；（2）；（3） 解：10. 证明：若，则. 解：因为 ,所以，。11. 证明：若，且，则. 解：任取，因，所以存在，使，从而。因此，即。同理可证。故。12. 设为任意元素，令试证明：当且仅当. 解：设，即 。（1） 若 ，则有 ；（2） 若 ，则有 。
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