面积图趣解行程问题.doc

面积图趣解行程问题吴乃华教学生解答生活中的问题，常常需要以画图的方法作为辅助手段来帮助学生理解。画图的方法很多，有线段图、网状图、波形图、韦恩图、面积图、情景模拟图等等。本文就利用面积图解答行程问题作个探讨，以期得到同行们的关注与校正。数学知识之间，都有一定的联系，利用“他山之石”来解决我们生活中的问题，不仅加强了我们知识上的融通，还会使我们的学习生活充满无穷的乐趣。行程问题和长方形面积的计算基本关系式的实质，都是因数因数积，所以在解答行程问题的时候，可以以面积图利用其边长与边长、边长与面积、面积与面积的关系，予以比较，从而能形象而又直观地找到解题的突破口，可以起到化难为易，化不能为可能的作用。比如，比较两个数量的倍数关系，在通常的情况下，一般都需要是两个同类量才能进行，平常，如果有人问“速度是时间的几倍？”大家一定会笑掉大牙，可是在面积图里，因为它们都是长方形的边长，所以也就无足为奇了。利用面积图解答行程问题，按其图形的组合形式，可以分为重叠式、拼合式、伸缩式三种。下面精选几个实例予以说明。一、重叠式：重叠式又分为两图重叠和三图重叠两种。、两图重叠例1. 李铭上学，有一天他发觉他每分钟走的米数，和到达学校时间的分钟数恰巧相同。并且，他计算了一下，如果每分钟多走12米，时间就减少10分钟。你知道他家到学校的距离是多少米吗？解：设AB为李铭上学每分钟的速度，BC为他到校的时间，据题目条件，正方形ABCD即可表示他家到学校的距离。如果每分钟多走12米，时间就减少10分钟。长方形BEFG也表示他家到学校的距离。由于图中正方形的面积和长方形的面积相等，可知，长方形AEFH的面积也和长方形GHDC的面积相等（图一）。如果把EF延长至I，令其等于正方形的边长BC，再连接ID（图二），则长方形AEID与长方形GHDC的长边同为正方形ABCD的边长，可是长方形AEID比长方形GHDC的面积大 1210120； 究其原因，是因为AE是GC的 1210 .所以长方形GHDC的面积是 120（1）600正方形ABCD的边长是 CD6001060他家到学校的距离是 60603600（米）例2. 从甲地到乙地，火车原来每小时90千米的速度需12小时到达，现在提速后，每小时比原来多行驶30千米，可以提前多少小时到达？ 解：图中AB90千米，长方形ABCD的面积表示按原速度，12小时所行驶的情况；BH30千米，长方形AHGE的面积表示提速后行驶的的情况，将这两个都表示从甲地到乙地的路程的长方形如此一重叠，提前的时间，就清楚地凸显出来了。 AE是实际行驶的时间，FC就是提前到达的时间，也就是要求的问题。长方形ABCD的面积长方形AHGE的面积90121080.可知 AE1080（9030）9 即实际需要行驶9小时。所以 FCADAE1293 即可以提前3小时到达。例3. 甲、乙两人分别骑摩托车与自行车同时从A镇出发，到相距30千米的B镇去，结果甲比乙早小时到达B地。已知摩托车的速度是自行车速度的4倍。自行车的速度每小时多少千米？ 解：图中CD表示自行车的速度，CE表示摩托车的速度，则CE4CD；CH表示摩托车行全程所用的时间，CI表示自行车行全程所用的时间，HI小时.长方形CEFH的面积表示摩托车行走的情况，长方形CDJI的面积表示自行车行走的情况，两个长方形都代表A、B两地的路程，30千米。根据长方形CEFH的面积为30，可推知宽边为：CH304CD7.5CD；长方形CDJI的面积可以表示为：即 CD（）30. 解得CD12自行车速度 CD12（千米/小时）。 . 三图重叠例4. 张兴打算骑自行车从甲地前往乙地去办一件事。如果改骑摩托车，每小时可比自行车多走15千米，就可提前1小时到达；如果步行前往，每小时要比自行车少走7千米，就要推迟4.2小时到达。甲、乙两地相隔多少千米？解：长方形CJLE表示自行车到达乙地所行走的情况，长方形FJMI表示步行到达乙地所行走的情况，长方形AJKB表示摩托车到达乙地所行走的情况，所以这三个长方形的面积是相等的。根据等量减等量差相等的道理可知，长方形ABGF的面积长方形GIMK的面积。又，长方形的面积一定，它的长与宽成反比例，所以，AB：IM（14.2）：（157）4：15同理，两个阴影长方形的面积也是相等的，所以 CE：IM4.2：79：15.这样，可知骑自行车需要的时间是： JL13（小时）骑摩托车需要的时间是： JK311（小时） 两个阴影长方形的面积都为：3721步行每小时的速度是 IM214.25（千米）甲乙两地间的相距是： 5（34.2）36（千米） 例5. 从甲城到乙城，如果比规定速度快10千米，就比规定时间提前2.4小时到达；如果比规定速度慢5千米，就比规定时间延迟1.6小时到达。求甲、乙两城之间的距离。解：图中AB为原来每小时的速度，BC为原来规定的时间，则长方形ABCD的面积就为甲、乙两城之间的距离（图一）。如果比规定速度快10千米，即现在的速度为BE；时间比规定时间提前2.4小时，即现在的时间为BH；甲、乙两城之间的距离也等于BEFH，显然长方形AEFG的面积等于长方形GHCD的面积。如果比规定速度慢5千米，即现在的速度为IB；（如图二）。时间就比规定时间迟1.6小时，即现在的时间为BL；甲、乙两城之间的距离也等于IBLK，这样，长方形AIMD的面积等于长方形MCLK的面积。设：AIJG的面积为x，长方形GJMD的 面积52.412；长方形MCLK的面积等于x12。长方形AEFG的面积等于x，长方形JHCM的面积等于x12。已知HC2.4； CL1.6； 那么，GC就是 CL的 2.41.61.5倍。如果把长方形MCLK的面积扩大1.5倍，应当等于长方形JHCM的面积，于是得方程：x12（x12）1.5 解得 x60原定时间为 BC6052.414.4（小时）； 原定速度为 AB602.450（千米/小时）。1、 乙两城之间的距离为 5014.4720（千米）二、拼合式：这种方法适合于两个时间的和以及相应的两种路程的和的行程问题。例6. A、B两地相距51千米，甲乙二人骑车先后从A、B两地相向出发，甲每小时行15千米，乙每小时行12千米。当两人行走的时间和为3.9小时时，恰好在途中相会，甲和乙二人各行了几小时？解：图中长方形ABCD和DEFG的面积分别表示甲乙二人相遇时所走的路程的和，51千米。AE表示甲乙两人共走的小时数3.9小时，AD表示甲行走的小时数，DE表示乙行走的小时数。AB表示甲的速度每小时15千米；EF表示乙的速度每小时12千米；题中的问题就是要我们求AD和DE的长度。长方形AEFH的面积是 3.91246.8；由条件可知，BH15123， 长方形BCGH的面积是 5146.8 4.2所以，甲行的小时数为 ADBC4.231.4（小时）； 乙行的小时数为 3.91.42.5（小时）.例7. 一艘轮船从甲港逆流而上到达乙港，然后返回甲港往返共用12.5小时。已知逆流的速度比回来时顺流速度每小时慢8千米，去时用的时间是回来时的1.5倍，问甲乙两港的水路长多少千米？解：顺流用时 12.5（11.5）5（小时）； 逆流用时 51.57.5（小时）.用AB表示逆流每小时的速度；BDAB8表示顺流每小时的速度。AM7.5小时，表示逆流的时间，DH5小时，表示去与回的时间。因为长方形ABEM和长方形BDHF的面积都是表示甲乙两港间的路程，所以相等。要求甲乙两港的水路是多少千米，只要算出长方形ABEM的面积即可。要算出长方形ABEM的面积，关键在于求AB的值。作辅助线CG和FN。令ABBC，这样，长方形ABFN的面积长方形BCGF的面积。根据等量减等量差相等的道理，可知长方形CDHG与长方形EFNM的面积相等。而长方形CDHG的面积为 5840；FEBEBF7.552.5； 所以 AB402.516.长方形ABEM的面积为 167.5120， 甲乙两港的水路为120 （千米）三、伸缩式：这种形式，一般是时间一定，因速度的快慢变化，引起所行路程的多少变化例8. 爸爸要到外地去出差，司机由单位送他去赶定时发车的火车。如果小车每小时行驶60千米，到火车发车的时刻，还要行6千米的路程才能到达；如果每小时多行驶20千米，到火车发车的时刻，小车还可以前行4千米。从单位到火车站的路程是多少千米？从单位出发时距火车发车时刻还有几个小时？解：图中AB表示每小时行60千米，BG表示每小时多行驶20千米，AD表示到达车站的合适小时数。长方形AEFD的面积表示从单位到火车站的总路程。因为长方形ABCD的面积代表每小时行驶60千米所走的路程，此时，距车站还有6千米的路程，所以长方形BEFC的面积