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本科毕业论文（设计） (2013 届) 高等数学应用题初探高等数学应用题初探 院院系系数学系数学系 专专业业数学与应用数学数学与应用数学 姓姓名名 指导教师指导教师 职职称称 等等级级 学号：0907410109 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） I 高等数学应用题初探 摘要 应用题一直都是高等数学中的一个重点内容，它将高等数学中的理论知识与实际应用 相联系，通过练习应用题，我们可以很好地掌握高等数学中的理论要点，但是在我们所学 的内容中，很少将高等数学中的应用题进行总结性的归类，我觉得在这方面做一下探讨很 有必要. 本文中主要是在我们学习了高等数学的基础上，进一步对高等数学中的应用题进行总 结归纳.文章中主要分七个部分进行介绍：首先是引言部分，即介绍研究课题的意义、目 的及本课题在国内外的发展概况及存在的问题，并对正文中的内容作大概介绍；其次是正 文部分，即介绍六类高等数学中的应用题：高等数学中导数的应用、极值最值的应用、不 定积分的应用、定积分的应用、微分方程的应用以及概率论的应用.其中先介绍理论知识， 再根据理论给出相应的应用题，将抽象的知识直观化，进一步领悟数学的实际应用价值， 达到潜移默化地培养学生应用数学的能力. 关键词：高等数学应用题实际应用 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） II ABSTRACT Application problem of higher mathematics has always been a key content of higher mathematics; it connects the theoretical knowledge of higher mathematics with the actual application. Through practicing it, we can better grasp the theoretical points of higher mathematics. But in the knowledge we learned, word problems are rarely conclusively classified, so I think that it is necessary to do some study about this aspect. This paper is aimed to further classify word problems in higher mathematics, it is mainly divided into two parts: the first part is the introduction, introducingthe significance and purpose of the paper researched ,the development of this topic at home and abroad and the existing problems, and giving brief introduction of the body; then comes to the body part, it introduces six different word problems in higher mathematics, including application of derivative, extreme value and the most value, indefinite integral, definite integral, differential equation and theory of probability in higher mathematics. First is the introduction of the theoretical knowledge, second is the corresponding practice under the basis of theory to visualize the abstract knowledge, make the students understand the application value of mathematics, and cultivate students ability to apply mathematics by imperceptible influence. Key words: higher mathematicsapplication problempractical application 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） III 目录 摘要I ABSTRACTII 1 引言 1 2 高等数学中导数的应用1 2.1 导数的概念1 2.2 导数应用题1 3 高等数学中极值与最值的应用2 3.1 函数极值与最值的相关概念2 3.2 极值与最值应用题3 4 高等数学中不定积分的应用4 4.1 不定积分的相关概念4 4.2 不定积分应用题4 5 高等数学中定积分的应用5 5.1 定积分的相关性质5 5.2 定积分应用题6 6 高等数学中微分方程的应用7 6.1 微分方程的概念7 6.2 微分方程应用题7 7 高等数学中有关概率论的应用7 7.1 古典型概率8 7.2 几何型概率8 8 结束语9 参考文献9 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 1 1引言 在现实生活中，数学逐渐成为现代文化的一个很重要的组成部分，数学的各种思想各 种方法都在向其他的领域不断渗透，人们越来越重视对于数学的应用 2 .大学的学习任务 就是让学生兼备独立应用数学的实际能力，能运用自己所学的理论知识去解决实际生活的 问题. 因此培养学生的数学应用意识，提高学生应用数学知识解决问题的能力,在大学高 等数学学习中尤为重要 1 . 在大学学习中，高等数学的学习过程比较枯燥，公式、定义、定理等，这些都在影响 着学生的学习兴趣与主动性.但是高等数学应用题就会引起学生学习的兴趣，高等数学应 用题是理论知识与实践生活的结合，通过列举生活中的实际案例应用题，学生应用高等数 学中的理论知识去解决问题，在真实的生活案例中理解与掌握高等数学的理论知识，从而 可以增强学生数学的应用意识，培养学生数学的应用能力.学生在高等数学应用题的练习 中，潜移默化的学会学以致用，应用理论知识去解决实际问题. 本文主要是在学习了高等数学的基础上，对高等数学中出现的应用题进行归纳总结. 其中主要介绍了六类应用题，即高等数学中导数的应用、极值最值的应用、不定积分的应 用、定积分的应用、微分方程的应用以及概率的应用.在分别介绍理论知识后，我都会在 其后用例子来加以说明，以便于让读者更清晰的了解，并加以理解和更好的掌握. 2高等数学中导数的应用 2.1 导数的概念 定义定义 1 1 6 设函数)(xfy 在点 0 x的某个邻域内有定义， 给x以改变量x， 则函数的相应改 变量为)()( 00 xfxxfy.如果当0x时，两个改变量比的极限 x xfxxf x y xx )()( limlim 00 00 存在，则称这个极限值为函数)(xf在点 0 x的导数，并称函数)(xf在 0 x可导或具有导数， 也称为)(xf在 0 x可微或有微商. 我们常采用记号 00 ,),( 0xxxx dx df yxf 或者 0 xx dx df 等来表示函数)(xfy 在点 0 x的导 数. 注：如果这个极限不存在，就叫函数在点 0 x没有导数或者导数不存在. 如果极限为无穷大，那么导数是不存在的，但有时为方便起见，也称函数在点 0 x的导数无穷大. 2.2 导数应用题 导数概念的一个有趣的应用就是计算相对变化率.它典型的模式是这样的：在某一个 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 2 过程中，有两个相关的变量，它们都是时间t的函数，给定某一变量在某一个时刻的速度， 求另外一个变量的速度. 在应用的过程中，我们需要从原始数据中找出必要的关系.有些关系直接给出的，有 些是需要推导才能得出的.一般情况下分为以下五个步骤 4 ： 找出变量，标上符号； 用数学的专业术语表达出问题； 将变量之间的关系用方程式的方式表达出来； 利用复合函数求导法则找出导数之间的关系； 代入数据，求解出答案. 【例 1】 有一个半球面形状的碗，半径为a厘米，正在以 3 5 a立方厘米/分钟的稳定流量 注入水流.当水的深度已达到a 3 1 厘米时，试求水面高度上升的速率为多少？ 解解：设水深达h厘米时，体积为V立方厘米，则)3( 3 1 2 hahV，故 )36( 3 )36( 3 1 2 2 hahdV dh hah dh dV 又 3 5 a dt dV ，所以 3 2 5 )36( 3 a hahdt dV dV dh dt dh 当ah 3 1 时，a dt dh 9，即水面高度上升的速率为每分钟a9厘米. 3高等数学中极值与最值的应用 3.1 函数极值与最值的相关概念 定义定义 2 2 5 设函数f在点 0 x附近有定义，若对点 0 x附近的一切x)( 0 xx ，恒有 )()()()( 00 xfxfxfxf， 则称)( 0 xf为f的极大 （小） 值， 并称f在点 0 x取到极大 （小） 值， 点 0 x称为f的极大 （小） 点. 定理定理 1 1设f在,ba上连续，在),(ba内有有限多个极值),( 1 xf,)( n xf, )(),(),(),.,(max)(max 1 , bfafxfxfxf n bax )(),(),(),.,(min)(min 1 , bfafxfxfxf n bax . 若f在,ba上单调增（减） ，则)(af为最小（大）值，)(bf为最大（小）值. 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 3 若f在,ba上连续且在),(ba内只有唯一一个极值，则该极值（极大值或极小值）就是 最值（最大值或最小值）. 注注：求函数)(xf在,ba上的最大（小）值，只需要把全部极大（小）值与函数的端点值 )(af,)(bf作比较，其中最大（小）的值就是)(xf在,ba上的最大（小）值. 3.2 极值与最值应用题 在工程技术，自然科学及日常生活中的大量实际问题都可以化为求函数的极大值与极 小值问题.企业家追求最大利润与最小成本；飞行员寻求最短飞行时间；医生希望病人康 复时间最短，等等.借助于微积分我们可以解决许多这种类似的问题. 通常一个问题到达我们手上，都是用描述性语言给出的.因此我们面临的第一个任务 就是将它转化为数学问题，我们所期望的形式是：求函数)(xf在区间,ba上的最大值或 者最小值. 函数的图形告诉我们：函数的最大（小）值，或者在函数的极大（小）值点处达到， 或者在区间的端点处达到.这样一来，函数的最大值、最小值，或在端点a，b处达到，或 在方程0)( xf的根处达到. 【例 2】 某一个星级宾馆有150间客房，通过一段时间的经营管理，宾馆经理整理出一些 数据：如果每个房间定价为160元，则住房率为%55；如果每个房间定价为140元，则住房 率为%65；如果每个房间定价为120元，则住房率为%75；如果每个房间定价为100元， 住房率为%85.如果想使得每天收入最高，那么每个房间定价应为多少？ 解解：问题分析 由题意，易得出：定价每降低20元，住房率便增加%10，呈线性增长的趋势； 160元的定价是否为最高价需要确定； 是否所有客房定价相同应给与确定. 模型假设 在无其他信息时，每个房间的最高定价均为160元； 所有客房定价相同. 模型建立 根据假设一，如果设y代表宾馆一天的总收入，而x表示与160元相比降低的房价， 则可以得出：每降低1元钱的房价，住房率增加为005. 0 20 %10 . 由此便可以得到 )005. 055. 0)(160(150xxy 注意到, 1005. 055. 0x又得到,900 x于是得到所求的数学模型为： max)005. 055. 0)(160(150xxy，.900 x 模型求解 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 4 这是一个二次函数的极值问题，利用导数的方法易得到90, 025x为唯一的驻点， 问题又确实存在最大值，故25x（元）即为价格降低的幅度，也就是13525160（元） 应为最大收入所对应的房价. 模型分析 将房价定在 135 元时，相应的住房率为%,5 .6725005. 055. 0最大收入为 75.13668%5 .67135150 max y（元）. 表面上住房率没有达到最高，但是总收入达到最大，这自然是住房率与价格相互制约 造成. 为了便于管理，将价格定在每个房间每天 140 元也无妨，因为此时的总收入与最 高收入仅差 18.75 元. 假如定价是 180 元，住房率应为 45%，其相应的收入只有 12150 元，由此可知，我 们的假设一是正确的. 4高等数学中不定积分的应用 4.1 不定积分的相关概念 原函数原函数：若在区间I上，可导函数)(xF的导函数为)(xf,即对于任意一个Ix，都有 )()( xfxF或者dxxfxdF)()(，则称函数)(xF为)(xf（或dxxf)(）在区间I上的原函 数. 定理定理 2 2 7 设)(xF，)(xf定义在同一区间),(ba内，如果)(xF是)(xf的一个原函数，那么 CxF)(也是)(xf的原函数， 这里C是任意的常数， 而CxF)(包含了)(xf的全部原函数. 不定积分：不定积分：在区间I上，函数)(xf带有任意常数项的原函数称为)(xf（或dxxf)(）在 区间I上的不定积分，记作dxxf )(，其中x称为积分变量，)(xf与dxxf)(分别称作被积 函数和被积表达式. 由定理 2 可知，如果知道了)(xf的一个原函数)(xF，则CxF)(就是)(xf的全部原 函数，因此有CxFdxxf)()(，其中C是一个任意的常数，称为积分常数. 4.2 不定积分应用题 不定积分计算的题目千变万化，方法灵活多变，使初学者无所适从.实际上，大部分 问题可由凑微分法和分部积分法进行计算.除此之外，就是一些特殊类型函数（简单的有 理函数，简单的三角有理式及特殊形式的根式）的积分，这类问题的方法相对比较固定. 因此，通常可以先看被积函数是否有特殊类型的函数；然后看被积函数是否为可用分部积 分法的五大类函数的乘积形式； 最后考虑凑微分法. （后两步的考查顺序也可以颠倒一下.） 当然有些比较复杂的题目需要多种方法综合运用，也有些题目解法是多种多样的，这 些都是需要通过练习、观察、分析和总结各种解题的方法和技巧，掌握不同类型问题的特 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 5 点及彼此间的联系，达到融会贯通的目的. 【例 3】 在平面上有运动着的质点，若它在x轴方向与y轴方向的分速度分别为 tvxsin5，tvycos2，又5 0 t x，0 0 t y， 求求： （1）时间为t时质点所在的位置； （2）运动的轨迹方程. 解解： （1）设时间为t时质点位置为)(),(tytx，由导数的物理意义有 tv dt dx x sin5 tv dt dy y cos2 1 cos5sin5)(Cttdttx 2 sin2cos2)(Cttdtty 由0)0(, 5)0(yx， 得0,10 21 CC， 因此时间为t时， 质点位置为)sin2 ,cos510(tt. 运动轨迹方程为 ty tx sin2 cos510 或者消去参数t得轨迹方程为 1 425 )10( 22 yx 5高等数学中定积分的应用 5.1 定积分的相关性质 定积分的微元法 9 我们在研究曲边梯形的面积问题和变速直线运动的路程问题时，都是先把整体问题转 化为局部问题，在局部范围内“以直代曲”或者“以不变代变” ，从而求得整体量在各个 局部范围内的近似值，然后加起来在取极限，最终求得整体量.即： 1分割：把所求量Q分成n个部分 i Q),.,2 , 1(ni ； 2近似代替： iii xfQ)(，, 1iii xx ),.,2 , 1(ni ； 3求和： i n i n i ii xfQQ 11 )(； 4取极限： 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 6 b a n i ii dxxfxfQ)()(lim 1 0 （其中max 1 i ni x ）. 这就是用定积分解决实际问题的基本思路，在这四步中，第二步近似代替是关键.因 为只要能够写成这一步，那么所求定积分的表达式的雏形就构成了，因此下面的问题就不 难解决了. 在实际问题中，通常采取以下三步来解决问题： 1选取积分变量：根据具体问题，适当选取坐标系，确定积分变量及其变化区间,ba； 2确定被积表达式：在,ba内任取一个小区间,dxxx,“以不变代变”求得整体量Q相 应于区间,dxxx上的局部量Q的近似值：dxxfQ)(，其中dxxf)(称为整体量Q 的微元或元素，记为dxxfdQ)(（必须注意：Q与dxxf)(仅相差一个比dx高阶的无 穷小，否则可能会造成失误） ； 3求定积分 以所求量Q的微元dxxf)(为被积表达式，在区间,ba上定积分，得 b a dxxfQ)(， 这就是所求量Q的定积分表达式，计算出定积分就得到所求量Q的值. 以上这种方法就是微元法或者元素法. 5.2 定积分应用题 应用定积分的理论和计算方法能解决一些实际问题.但应用定积分理论解决实际问题 的第一步就是将实际问题转化为数学问题，这一步往往较为困难，而微元法恰恰是解决这 个困难，实现这个转化的得力工具. 【例 4】 某早上开始下雪，整天稳降不停.正午 12 点一辆扫雪车开始进行扫雪，每小时扫 雪量按体积是常数.到了下午 2 点的时候扫清了两英里路，到了下午 4 点又扫清了 1 英里 路，问降雪是从什么时候开始的？ 解解：设从时刻 0 t开始下雪，正午记为 a t.雪量为)/(hmS，铲雪速度为)/( 3 hmR，街区长为 定值)(mL，宽为)(mW.则时刻t地面上雪的厚度为)( 0 ttS， 清扫雪时的速度为 WttS R v )( 0 在t时刻清扫的路长为 )(ln)( 0 0 a a t t tt tt tt SW R vdttl a 由题可知 L tt tt SW R a a 2 2 ln 0 0 与L tt tt SW R a a 3 4 ln 0 0 ， 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 7 比较得15 0 tta. 6高等数学中微分方程的应用 6.1 微分方程的概念 在我们的实际生活中有很多量，它随着时间的变化率正比于它的大小.例如，银行的 存款按照一定的利率增加. 在数学上恰有一个函数能描述上述现象，这就是指数函数； 指数函数关于自变量的变化率正比于它的大小： 若 kx Cey ，则ky dx dy 因此，用指数函数来描述上述现象我们将不会惊讶.事实上，满足上述方程的函数一 定是指数函数 3 . 定理定理 3 3若y满足（6.11） ，则 kx Cey ，这里C是任意的常数. 证明：由（6.11）k y y ，从而 kdxdx y y ， 1 lnCkxy )( 111 ckxkxCCkx eCCeeeey . 定理得证. 我们刚才解的方程（6.11）是一个含有函数的导数的方程式，人们称这种方程式为微 分方程式.微分方程的解是函数，而不是数，这是与代数方程不同的地方. 6.2 微分方程应用题 【例 5】 一起交通事故发生了3个小时以后，警方测得司机的血液中酒精的含量是 ),/(100/56mlmg又过了两个小时，其血液内酒精含量降为)/(100/40mlmg，试判断，当事 故发生的时候，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过)/(100/80mlmg）. 解解：设)(tC为t时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为kCC ，其通解是 kt eCtC )0()(，而)0(C就是所求量.由题设可知,40)5(,56)3(CC故有 56)0( 3 k eC和,40)0( 5 k eC 由此解得 .9456)0(17. 040/56 32 kk eCke 可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定. 7高等数学中有关概率论的应用 关于概率论方面的应用题，可以发现其应用题种类繁多，应当结合题目所涉及的具体 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 8 情境，对隐含在题目已知条件中的隐含条件进行分析，找出他们当中的关系，最终回到利 用概率知识求解概率模型的解题思路当中.在这里，本文就以最基本的两个类型进行介绍. 7.1 古典型概率 称随机试验（随机现象）的概率模型为古典概型（也称等可能概型） ，如果其基本事 件空间（样本空间）满足： （1）只有有限个基本事件（样本点） ； （2）每个基本事件（样本点）发生的可能性都一样. 如果古典概型的基本事件总数为n，事件A包含k个基本事件，即有利于A的基本事 件为k个，则事件A的概率定义为 基本事件总数 所含基本事件的个数事件A n k AP )( 由上式计算的概率称为事件A的古典概型 8 . 【例 6】 一条公交车的路线，中途设有 9 个停靠站，最后达到终点站.已知在起点站上有 20 位乘客上车，那么在第一站恰有 4 位乘客下车的概率是多少？（假设每位乘客在各车 站下车时等可能的） 解解： 设事件A表示第一站有 4 位乘客下车， 则样本空间所含样本点总数为 20 10， 而事件A是 20 位乘客中有 4 人在第一站就下车，其余 16 位没有在第一站下车，他们将在第一站后面 的 9 个站（包含终点站）下车，因此有利于事件A的样本点为 164 209 C. 根据古典概型公式有 0898. 0 10 9 )( 20 164 20 C A 7.2 几何型概率 称随机试验（随机现象）的概率模型为几何模型，如果： （1）样本空间（基本事件空间）是一个可度量的几何区域； （2）每个样本点（基本事件）发生的可能性都是一样的，即样本点落入的某一个 可度量的子区域A的可能性大小与A的几何度量成正比，而与A的位置及形状无关. 在几何概率型随机试验中，如果 A S是样本空间的一个可度量的子区域，则事件A “样本点落入区域 A S”的概率定义为： 的几何度量 的几何度量 A S AP)(. 由上式计算的概率称为事件A的几何型概率 8 . 【例 7】甲乙两人相约于 12 点至 1 点在某地会面.先到的人需等候另一个人 20 分钟，过 时就立即离开，设两人的到达时刻在 12 点至 1 点间都是随机和等可能的，则求这两人会 面的概率p. 合肥师范学院 2013 届本科生毕业论文（设计） 9 解解：以x表示甲到达的时刻，以y表示乙到达的时刻. 要这两个人会面，其充要条件是20 yx. 记事件A表示“两人能会面”