高数知识总结

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 1 / 60 高数知识总结 导数公式： 2 ? 1?x 2 1? 1?x 2 x)? 1? 11?x 2 基本积分表： 三角函数的有理式积分： ?a?x?a? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 2 / 60 ? ? ? 2 ? ?x x? x ? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 3 / 60 ? 1a1 C?C?C ?a a x?ax?aa?xa?C 22 2? 2 ? ? 2 2 22 a?x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 4 / 60 2 ? a 2 2 ? 2 ?2 n n 2 n?1 x?a)?Cx? 2 2 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 5 / 60 2 ? 2u1?u x?x?a?2 2 2 2 2 x?a?x?a?a?x? 2 2 2 2 2 2 2 ln x 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 6 / 60 e?ee?e x?x x? ?e ? x?1） x?1) 2 三角函数公式： 诱导公式： 和差角公式： 和差化积公式： ?122?2 ?2 ?2 ?2 22?2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 7 / 60 ?2 ?2 ?2 倍角公式： 221?1?2 12?222 2 2 2 3443 3?32 3 3 3 半角公式： 2 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 8 / 60 ?21? 2 ? 1?2 ? 2 1?2 ? 2 ?c ? 2 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 9 / 60 1?2 ? ?正弦定理： ? 2R 余弦定理： c?a?b?2反三角函数性质： ? 2 ? ? 2 ?阶导数公式 莱布尼兹公式： n ?u ? ?C k?0 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 10 / 60 kn u v v?nu v? u v? n? k! u v ?值定理与导数应 用： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 11 / 60 拉格朗日中值定理：柯西中值定理： f?f?f? ?f?F? 拉格朗日中值定理。 f? 当 F?西中值定理就是 曲率： 弧微分公式：平均曲率： K? ?s ?y?中 y?:从 M 点到 M?点，切线斜率的倾角变 ?s d?ds y? 2 3 2 化量； ?s： 长。 M 点的曲率：直线： K?0; K?s?0 ?. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 12 / 60 半径为 a 的圆： K? 1a . 定积分的近似计算： b 矩形法： ?f? ab b?形法： ?f? a b b?2?4 抛物线法： ?f? a 定积分应用相关公式： 功： W?F?F?p?F?k ,精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 13 / 60 函数的平均值： y? 1b?a b ?b?a a 1 b 方根： ? a 空间解析几何和向量代数： 空间 2 点的距离：向量在轴上的投影： d? ? ? 222 ?是 u 轴的夹角。 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 14 / 60 ? a?b?a?一个数量两向量之间的夹角： k , ax?ay?az?bx?by? 2 2 2 2 2 i? c?a?b?ax bx ? az,c?a?例：线速度： bz ?v?w?r. 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 15 / 60 ? 向量的 混合积： ?c?bx 表平行六面体的体积 。 ? ?a?b?为锐角时， 平面的方程： 1、点法式： ? A?B?C?0，其中 n?A,B,C,y?0xa?yb? d? A?B?C 空间直线的方程： 2 2 2 2、一般方程： 3、截距世方程： 平面外任意一点到该平面的距离： ?x?x0?mt x? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 16 / 60 ?t,其中 s?m,n,p;参数方程： ?y?y0?z?z? 22 22 二次曲面： 1、椭球面： 2、抛物面： 3、双曲面：单叶双曲面：双叶双曲面： 222 22 ? 2 1 z ? 222 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 17 / 60 ? 222 ?1 ?1 多元函数微分法及应用 全微分： ?z?z?y ?u?u?u?微分的近似计算：多元复合函数的求导法 ?z?dz?fx?x?fy?y： dz?z?u?z?v z?fu,v? dt?u?t?v?t?z?z?u?z?v z?fu,v? ?x?u?x?v?x 当 u?u， v?u?u?y 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 18 / 60 ?v?v?隐函数的求导公式： 函数 F?0? ? z?z 隐函数 F?0? ? 高数重点知识总结 1、基本初等函数：反函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，常数函数 2、分段函数不是初等 函数。 x2? 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶 例如： x?0x?0xx 、两个重要极限： x?0x ?x?e x?0 1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 19 / 60 x ?1? ?e x? ?x? g x 经验公式：当 x?x0,f?0,g?， ?f? x?e x?x0 如： ?3x?e x?0 1 x x?0? ?3x? x? ?e?3 5、可导必定连续，连续未必可导。例如： y?|x|连续但不可导。 6、导数的定义： x?0 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 20 / 60 f?f ?f ?x x?x0 f?f ?f?x?、复合函数求导： df?g?f?g?g 如： y?x?x,y? 2x?2x?1 2x? 1 8、隐函数求导：直接求导法；方程两边同时微分，再求出 dy/dx x2? 例如：解：法 ,左右两边同时求导 ,2x?20?y? x ,左右两边同时微分 ,2? 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 21 / 60 9、由参数方程所确定的函数求导：若 ? ?y?，则，其二阶导数： x?h dd?g/h? dy/? 22 10、微分的近似计算： f?f?x?f 例如：计算 11、函数间断点的类型：第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如： y? y?二类：振荡间断点和无穷 间断点；例如： f?， y?断点） 12、渐近线： 水平渐近线： y?c x? ?1?x? 1 19、改变凹凸性的点： f?0， f不存在 20、可导函数 f 的极值点 必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理： 罗尔定理： f 在 a,b上连续，内可导，则至少存在一点 ?，使得 f?0 拉格朗日中值定理： f 在 a,b上连续，内可导，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 22 / 60 则至少存在一点 ?，使得 f?f?f 积分中值定理： f 在区间 a,b上可积，至少存在一点 ?，使得 b ?f a 22、常用的等价无穷小代换： x212x3,x?x3,x63 23、对数求导法：例如， y?： 1 y?y?xx? y 24、洛必达法则：适用于“ 0?”型，“”型，“ 0?”型等。当 0? x?x0,f?0/?,g?0/?， f,g皆存在，且 g?0，则 ffex?0ex? 如 ， 2x?x?0x?0x?05、无穷大：高阶 +低阶 =高阶 例如， 26、不定积分的精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 23 / 60 求法 公式法 第一类换元法 第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元： 1)三角换元： 23 ?x?1?2x?3?x? 2x5 x? x?2 a2?令 x?x2?令 x?x2?令 x?)当有理分式函数 中分母的阶较高时，常采用倒代换 x? 1 t 27、分部积分法： uv?取 u 的规则“反对幂指三”，剩下的作 v。分部积 出现循环形式的情况，例如： 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 24 / 60 ? ? 28、有理函数的积分： 例如： 3x?22?2x3?x3?x2?x?131x?1?需要进行拆分，令 ?x2 中，前 部分 ? 111? 2 29、定积分的定义： ?f?x ?a ?0 i i i?1 b n 30、定积分的性质： b 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 25 / 60 当 a= ?； ab a 当 a ?a b a? f 是奇函数， ?,a?0 a 当 f 是偶函数， b ?a ?加性： ?a a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 26 / 60 c x x d 31、变上限积分： ?f ?d 推广： dx u ?f?u?u a b 32、定积分的计算： b b ?F a 33、定积分的分部积分法： 如： a b a 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 27 / 60 ? a ? ?b b? 34、反常积分：无穷限的反常积分： ?a a b bt?a? 无界函数的反常积分： 35、平面图形的面积： A? ?a t d ?f?f? 1 2 1 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 28 / 60 a c 2 绕 y 轴旋转， ? 2 a c b d b 36、旋转体的体积： 绕 x 轴旋转， V? 高数知识点总结 函数： 绝对值得性质： |a+b|?|a|+|b| |a|-|b| |a|b| a|a|b|=|b| 函数的表示方法： 表格法 图示法 函数的几种性质： 函数的有界性函数的单调性 函数的奇偶性函数的周期性 反函数： 公式法 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 29 / 60 ?1 y?fy?f 存在，且是单定理：如果函数在区间 a,b上是单调的，则它的反函数 值、单调的。 基本初等函数： 幂函数 对数函数 反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 指数函数 三角函数 定义：设 ?一个数列， a 是一个定数。如果对于任意给定的正数 ?， 总存在正整数 N，使得对于 nN 的一切 等式 ?称数列收敛于 a，记做 n? ?a xn?a? 都成立，则称数 a 是数列 ? ，或 xn?a 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 ?敛，则数列 ?定有界 推论：无界一定发散收敛一定有界有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： x?号性定理：如果，而且 A0,则必存在 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 30 / 60 当 x 在该邻域内，有 f?0。 如果 x?x0 ，且在 有 f?0， 则 A?0。 果 x?在，则极限值是唯一的 如果存在，则在 f 在点 无穷小与无穷大： 注意：无穷小不是一个很小的数，而是一个以零位极限的变量。但是零是可作为无穷小 x?x0 f?的唯一的常数，因为如果 f?0 则对任给的 ?0，总有，即常数零满足无穷小的定义。除此之外，任何无论多么小的数，都不满足无穷小的定义，都不是无穷小。 无穷小与无穷大之间的关系： 1 如果函数 f 为无 穷大，则 f 为无穷小 1 如果函数 f 为无穷小，且 f?0，则 f 为无穷大 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 31 / 60 具有极限的函数与无穷小的关系： 具有极限的函数等于极限值与一个无穷小的和 如果函数可表为常数与无穷小的和，则该常数就是函数的极限 关于无穷小的几个性质： 定理： 有限个无穷小的代数和也是无穷小 有界函数 f 与无穷小 a 的乘积是无穷小 推论： 常数与无穷小的乘积是无穷小 有限个无穷小的乘积是无穷小 极限的四则运算法则： 定理：两个函数 f、 g 的代数和的极限等于它们的极限的代数和 两个函 数 f、 g 乘积的极限等于它们的极限的乘积 极限存在准则与两个重要极限： 准则一 设函数 f、 g、 h 在 x? g?f?h x?x0 x?x0 ， x?x0 则 准则二 单调有界数列必有极限 定理：如果单调数列有界，则它的极限必存在 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 32 / 60 重要极限： 1 x?0x ?2x?02 x 1x e 或 x?0 无穷小阶的定义： 设 ?、 ?为同一过程的两个无穷小。 果 ? ?0?，则称 ?是比 ?高阶的无穷小，记做 ?o ?，则称 ?是比 ?低阶的无穷小 如果 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 33 / 60 如果 ?c?，则称 ?与 ?是同阶无穷小 ?1?，则称 ?与 ?是等阶无穷小，记做 ? 如果 种等价无 穷小： 对数函数中常用的等价无穷小： x?0时， lnx 1 角函数及反三角函数中常用的等价无穷小： x?0时， x 1?12 x 2x 指数函数中常用的等价无穷小： x?0时， ?品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 34 / 60 二项式中常用的等价无穷小： x?0时， ?1ax a ?x?1 函数在某一点处连续的条件： fx?连续定义可知，函数 f 在点 连续必须同时满足下列三个条件： f 在点 时，的极限存在 极限值等于函数 f 在点 f 如果函数 f 在点 连续，由连续定义可知，当 x?f 的极限一定存在，反 极限与连续的关系： 之，则不一定成立 函数的间断点： 分类：第一类间断点 第二类间断点 连续函数的和、差、积、商的连续 性： 定理：如果函数 f、 g 在点 他们的和、差、积、商在 点 反函数的连续性： 定理：如果函数 y?它的反函数 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 35 / 60 x?也在对应的区间上是单调增的连续函数 最大值与最小值定理： 值 推论：如果函数 f 在闭区间 ?a,b?上连续，则 f 在 ?a,b?上有界 定理：设函数 f 在闭区间 ?a,b?上连续，两端点处的函数值分别为 f?A,f?B，而 ?是介于 A 与 B 之间的任一值，则在开区间内至少有一点 定理：设 函数 f 在闭区间 ?a,b?上连续，则函数 f 在闭区间 ?a,b?上必有最大值和最小 介值定理： ?，使得 f? 推论：在闭区间上连续函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值 推论：设函数 f 在闭区间 ?a,b?上连续，且 f?f?0， 则在的内部，至少存在一点 ?，使 f?0 导数与微分 导数： 定义： y?x?0 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 36 / 60 f?f ?x 导数的几何定义：函数在图形上表示为切线的斜率 函数可导性与 连续性之间的表示： 如果函数在 x 处可导，则在点 x 处连续，也即函数在点 x 处连续 一个数在某一点连续，它却不一定在该点可导 据导数的定义求导： y|x?x0?f?f?y ?x?0?x?x?0?x y|x?x0?x?x0 f?f x?x0 f?f ?x y|x?x0?x?0 基本初等函数的导数公式： 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 37 / 60 常数导数为零 ?0 ?函数的导数公式 三角函数的导数公式 ? ? 1 ?数函数的导数公式： 指数函数的导数公式： ?e ? 11 ?三角函数的导数公式： ? ? 1? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 38 / 60 1 ? 1 ? ? 1?研数学讲座 考好数学的基点“木桶原理”已经广为人所知晓。但真要在做件事时找到自身的短处，下意识地有针对性地采取措施，以求得满意的结果。实在是一件不容易的事。 非数学专业的本科学生与数学专业的学生的最基本差别，在于概念意识。 数学科学从最严密的定义出发，在准确的概念与严密的逻辑基础上层层叠叠，不断在深度与广度上发展。形成一棵参天大树。 在高等数学中，出发点处就有函数 ，极限，连续，可导，可微等重要概念。 在线性代数的第一知识板块中，最核心的概念是矩阵的秩。而第二知识板块中，则是矩阵的特征值与特征向量。 在概率统计中，第一重要的概念是分布函数。不过，概率不是第一层次基础课程。学习概率需要学生有较好的高等数学基础。 非数学专业的本科学生大多没有概念意识，记不住概精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 39 / 60 念。更不会从概念出发分析解决问题。基础层次的概念不熟，下一层次就云里雾里了。这是感到数学难学的关键。 大学数学教学目的，通常只是为了满足相关本科专业的需要。教师们在 授课时往往不会太重视，而且也没时间来进行概念训练。 考研数学目的在于选拔，考题中基本概念与基本方法并重。这正好击中考生的软肋。在考研指导课上，往往会有学生莫名惊诧，“大一那会儿学的不一样。”原因就在于学过的概念早忘完了。 做考研数学复习，首先要在基本概念与基本运算上下足功夫。 按考试时间与分值来匹配，一个 4 分的选择题平均只有5 分钟时间。而这些选择题却分别来自三门数学课程，每个题又至少有两个概念。你可以由此体验选拔考试要求你对概念的熟悉程度。 从牛顿在硕士生二年级的第一篇论文算 起，微积分有近四百年历史。文献浩如烟海，知识千锤百炼。非数学专业的本科生们所接触的，只是初等微积分的一少部分。方法十分经典，概念非常重要。学生们要做的是接受，理解，记忆，学会简单推理。当你面对一个题目时，你的自然反应是，“这个题目涉及的概念是 - - -”，而非“在哪儿做过这道题”，才能算是有点入门了。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 40 / 60 你要考得满意吗？基点不在于你看了多少难题，关键在于你是否对基本概念与基本运算非常熟悉。 阳春三月风光好，抓好基础正当时。 考研数学讲座笔下生花花自红 在爱搞运动的那些年代里， 数学工作者们经常受到这样的指责，“一支笔，一张纸，一杯茶，鬼画桃符，脱离实际。” 发难者不懂基础研究的特点，不懂得考虑数学问题时“写”与“思”同步的重要性。 也许是计算机广泛应用的影响，今天的学生们学习数学时，也不太懂得“写”的重要性。 考研的学生们，往往拿着一本厚厚的考研数学指导资料，看题看解看答案或看题想解翻答案。 动笔的时间很少。 数学书不比小说。看数学书和照镜子差不多，镜子一拿走，印象就模糊。 科学的思维是分层次的思维。求解一个数学问题时，你不能企图一眼看清全 路程。你只能踏踏实实地考虑如何 迈出第一步。 或“依据已知条件，我首先能得到什么？”； 或 “要证明这个结论，就是要证明什么？”。 在很多情形下，写出第一步与不写的感觉是完全不同的。下面是一个简单的例。 “连续函数与不连续函数的和会怎样？” 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 41 / 60 写成 “连续 A + 不连续 B = ？”后就可能想到，只有两个答案，分别填出来再说。 如果，“连续 A + 不连续 B = 连续 C” 移项，则 “ 连续 C 连续 A = 不连续 B” 这与定理矛盾。所以有结论： 连续函数与不连续函数的和一定不连续。 有相当一些数学定义，比如“函数在一点可导”，其中包含有计算式。能否掌握并运用这些定义，关键就在于 是否把定义算式写得滚瓜烂熟。比如， 题面上有已知条件 f 0，概念深，写得熟的人立刻就会先写出 h 趋于 0 时， f/h 0 然后由此自然会联想到，下一步该运用极限的性质来推理。而写不出的人就抓瞎了。 又比如线性代数中特征值与特征向量有定义式 ， 0 ，要是移项写成 = 0， 0， 这就表示是齐次线性方程组 X = 0 的非零解，进而由理论得到算法。 数学思维的特点之一是“发散性”。一个数学表达式可能有几个转换方式，也许从其中一个方式会得到一个 新的解释，这个解释将导引我们迈出下一步。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 42 / 60 车到山前自有路，你得把车先推到山前啊。望山跑死马。思考一步写一步，观测分析迈下步。路只能一 步步走。陈景润那篇名扬世界的“ 1+2”论文中有 28个“引理”，那就是他艰难地走向辉煌的 28步。 对于很多考生来说，不熟悉基本计算是他们思考问题的又一大障碍。 高等数学感觉不好的考生，第一原因多半是不会或不熟悉求导运算。求导运算差，讨论函数的图形特征， 积分，解微分方程等，反应必然都慢。 线性代数中矩阵的乘法与矩阵乘积的多种分块表达形式，那是学好线性代数的诀窍。好些看似很难的问题， 选择一个分块变形就明白了。 概率统计中，要熟练地运用二重积分来计算二维连续型随机变量的各类问题。对于考数学三的同学来说， 二重积分又是高等数学部分年年必考的内容。掌握了二重积分，就能在两类大题上得分。 要考研吗，要去听指导课 吗，一定要自己先动笔，尽可能地把基本计算练一练。 我一直向考生建议，临近考试的一段时间里，不仿多自我模拟考试。在限定的考试时间内作某年研考的全巻。中途不翻书，不查阅，凭已有能力做到底。看看成绩多少。不要以为你已经看过这些试卷了。就算你知道题该怎么做， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 43 / 60 你一写出来也可能会面目全非。 多动笔啊，“写”“思”同步步履轻，笔下生花花自红。 考研数学讲座极限概念要体 极限概念是微积分的起点。说起极限概念的历史，学数学的都多少颇为伤感。 很久很久以前，西出阳关无踪影的老子 就体验到，“一尺之竿，日取其半，万世不竭。” 近两千年前，祖氏父子分别用园的内接正 6n 边形周长替带园周长以计算园周率；用分割曲边梯形为 n 个窄曲边梯形，进而把窄曲边梯形看成矩形来计算其面积。他们都体验到，“割而又割，即将 n 取得越来越大，就能得到越来越精确的园周率值或面积。” 国人朴实的体验延续了一千多年，最终没有思维升华得到极限概念。而牛顿就在这一点上率先突破。 极限概念起自于对“过程”的观察。极限概念显示着过程中两个变量发展趋势的关联。自变量的变化趋势分为两类，一类是 x 一 类是 x ， “当自变量有一个特定的发展趋势时，相应的函数值是否无限接近于一个确定的数 a ？”如果是，则称数 a 为函数的极限。 “无限接近”还不是严密的数学语言。但这是理解极限定义的第一步，最直观的一步。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 44 / 60 学习极限概念，首先要学会观察，了解过程中的变量有无一定的发展趋势。学习体验相应的发展趋势。其次才是计算或讨论极限值。 自然数列有无限增大的变化趋势。按照游戏规则，我们还是说自然数列没有极限。 自然数 n 趋于无穷时，数列 1/n 的极限是 0； x 趋于无穷时，函数 1/； 回顾我们最熟悉的基本初等函数，最直观的体验判断是， x 趋于正无穷时，正指数的幂函数都与自然数列一样，无限增大，没有极限。 x 趋于正无穷时，底数大于 1 的指数函数都无限增大，没有极限。 x 0+ 时，对数函数 ； x 趋于正无穷时，有极限。 x 时，正弦 余弦 周而复始，没有极限。在物理学中，正弦 y = 图形是典型的波动。 我国高等数学教科书上普遍都选用了“震荡因子” x 趋于 0 时它没有极限的 原因是震荡。具体想来，当 x 由变为时，只向中心点 x = 0 靠近了一点点，而正弦 完成了 140 多个周期。函数的图形在 +1 与 1 之间上下波动 140多次。在 x = 0 的邻近，函数各周期的图形紧紧地“挤”精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 45 / 60 在一起，就好象是 “电子云”。 当年我研究美国各大学的高等数学教材时，曾看到有的教材竟然把函数 y = 值整整印了一大页，他们就是要让学生更具体地体验它的数值变化。 x 趋于 0 时 是无穷大，直观地说就是函数值震荡而没有确定的发展趋势。 1/x 为虎作伥，让震荡要多疯狂有多疯狂。 更深入一步，你就得体验，在同一个过程中，如果有多个变量趋于 0，就可能有的函数趋于 0 时“跑得更快”。这就是高阶，低阶概念。 考研数学还要要求学生对极限有更深刻的体验。 多少代人的千锤百炼，给微积分铸就了自己的倚天剑。这就是一套精密的极限语言，。没有这套语言，我们没有办法给出极限定义，也无法严密证明任何一个极限问题。但是，这套语言是高等微积分的内容，非数学专业的本科学生很难搞懂。数十年来，考研试卷上都没有出现过要运用 语言的题目。 研究生入学考题中，考试中心往往用更深刻的体验来考查极限 概念。这就是 “若 x 趋于时，相应函数值 f 有正的极限 总有 f 0 ” *“若 x 趋于 应函数值 f 有正的极限，则在 f 恒正” 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 46 / 60 这是已知函数的极限而回头观察。逆向思维总是更加困难。不过，这不正和“近朱者赤，近墨者黑”一个道理吗。 除了上述苻号体验外，能掌握下边简单的数值体验则更好。 若 x 趋于无穷时，函数的极限为 0，则 x 的绝对值充分大时， 函数的绝对值恒小于 1 ，则当 x充分大时， 若 x 趋于无穷时，函数为无穷大，则 x 的绝对值充分大时， 函数的绝对值全大于 1 *若 x 趋于 0 时，函数的极限为 0，则在 0 的某个适当小的去心邻域内，或 x 的绝对值充分小时，函数的绝对值全小于 1 没有什么好解释的了，你得反复领会极限概念中“无限接近”的意义。 你可以试着理解那些客观存在，可以自由设定的点 充分小的数 0，并利用它们。 考研数学讲座“存在”与否全面看 定义，是数学的基本游戏规则。所有的定义条件都是充分必要条件。 即便有了定义，为了方便起见，数学工作者们通常会不遗余力地去寻觅既与定义等价，又更好运 用的描述方式。讨论极限的存在性，就有如下三个常用的等价条件。 1 海涅定理 观察 x 趋于 们并不追溯 x 从哪里出发；精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 47 / 60 也没有考虑它究竟以怎样的方式无限靠近 ；我们总是向未来，看发展。因而最直观的等价条件就是海涅定理： 定理 极限存在的充分必要条件是，无论 x 以何种方式趋于 相应的函数值总有相同的极限 A 存在。 这个定理条件的“充分性”没有实用价值。事实上我们不可能穷尽 x 逼近 所有方式。很多教科书都没有点出这一定理，只是把它的“必要性”独立成为极限的一条重要性质 。即唯一性定理： “如果函数有极限存在，则极限唯一。” 唯一性定理的基本应用之一，是证明某个极限不存在。 2用左右极限来描述的等价条件 用 语言可以证得一个最好用也最常用的等价条件： 定理 极限存在的充分必要条件为左、右极限存在且相等。 这是在三类考研试题中出现概率都为 1 的考点。考研数学年年考连续定义，导数定义。本质上就是考查极限存在性。这是因为 函数在一点连续，等价于函数在此点左连续，右连续。 函数在一点可导，等价于函数在此点的左、右导 数存在且相等。 由于初等函数有较好的分析性质。考题往往会落实到分精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 48 / 60 段函数的定义分界点或特殊定义点上。考生一定要对分段函数敏感，一定要学会在特殊点的两側分别考察函数的左右极限。 突出极限值的等价条件 考数学一，二的考生，还要知道另一个等价条件： 定理 函数 f 在某一过程中有极限 A 存在的充分必要条件是， f A 为无穷小。 从“距离”的角度来理解，在某一过程中函数 f 与数 然等价于函数值 f 与数 A 的距离 f A无限接近于 0 如果记 = f A，在定理条件下得到 一个很有用的描述形式转换： f= A + 考研题目经常以下面三个特殊的“不存在”为素材。“存在”与否全面看。有利于我们理解前述等价条件。我 用 e 为底数的指数函数，内填指数。 例 1 x 趋于 0 时，函数 分析 在原点 x = 0 的左侧， x 恒负，在原点右侧， x 恒正。所以 x 从左侧趋于 0 时，指数 1/x 始终是负数，故左极限 f= 0 ， x 从右侧趋于 0 时，函数趋向 + ， 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家原创 49 / 60 由定理，函数不存在极限。也不能