数学必修4三角函数总结

精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 1 / 45 数学必修 4三角函数总结 1根据解析式研究函数性质 例 1 已知函数 f?2， x?R 求函数 f 的最小正周期；求函数 f 在区间 ? 3 ? 上的最小值和最大值 ?84? 已知函数 f?1?2x? 2 ? ? ? ?2? 8?88? 求：函数 f 的最小正周期；函数 f 的单调增区间 已知函数 f?x? 2 ? 1 ?， g?1? ? 212? 设 x?函数 y?f 图象的一条对称轴，求 g 的值求函数 h?f? 2根据函数性质确定函数解析式 0 ?例 2 如图，函数 y?2y 轴相交于点是 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 2 / 45 的中点，当 ?2? ? ? 时，求 ， ?2? ? ? 2 已知函数 f?x? ? ?2?x ，求函数 f?x?2x?R? 6?62? 2 ，求函数 y? 的值域； 若函数 y?y?1的两个相邻交点间的距离为 若对任意的 a?R，函数 y?f， x?， x? 在 知内角 A? ? ，边 设内角 B?x，周长为 y 求函数 y?f 的解析式和定义域；求函数 y?f 的最大值 3三角函数求值 例 3 已知 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 3 / 45 17 , 1314 ，且 0 2 ,求 求 . 已知函数 f= ? 2x? 4?定义域；若角 a 在第一象限，且 35 ,求 f。 ) 设 f = 6 x?3 f 的最大值及最小正周期；若锐角 ?满足f?3?23， 45 ?的值 . 4三角形中的函数求值 例 4 设锐角三角形 ， B， C 的对边分别为 a，b， c， a?2 求 B 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 4 / 45 的大小；若 a?， c?5，求 b求 取值范围 在 知 ， ， 45 求 值；求 B? ? ?的值 6? 14 ， 在 35 求角 C 的大小；文若 求 的长理若 最小边的边长 5三角与平面向量 ? 5 已知的面积为，且满足 0 C，设 C 的夹角为 ?求 ?的取值范围； 求函数 f?22 ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 5 / 45 ?4? 2?的最大值与最小值 设函数 f?x?a?b， ? 其中向量 a?,b?,x?R，且函数 y=,2?， ?4? 求实数 函数 f 的最小值及此时 已知 、 B、 C 若 C?0，求 c 的值；若 A 为钝角，求 c 的取值范围；若 c?5，求 A 的值 6 三角函数中的实际应用 例 6 如图，甲船以每小时 ? 船位于 ? 甲船的北偏西 105方向的 时两船相距 20海里，当甲船航行 20分钟到达 船航行到甲船的北偏西120方向的 B 2 处，此时两船相距 如图，测量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D现测得 ?， ?， CD?s，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ?，精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 6 / 45 求塔高 三角函数与不等式 A 1 乙 例 7 已知函数 f?22 ? ?x?4? ? ? 2x， x?求 f 的最大值和最小值； ?42? 若不等式 f?m?2在 x?8三角函数与极值 例 8 设函数 f?x? ? ? 上恒成立，求实数 m 的取值范围 ?4?2? x?4品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 7 / 45 x2 4t?t?3t?4,x?R 32 其中 t 1，将 f?x?的最小值记为 g. 求 g 的表达式；讨论 g 在区间内的单调性并求极值 . 三角函数易错题解析 例题 1 已知角 ?的终边上一点的坐标为，则角 ?的最小值为。 5?6 B、 2?3 C、 5?3 D、 11? 例题 2 A， B， C 是 ? x 2 ?5x?1?0 的两个实数根，则 ? A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 8 / 45 边三角形 例题 3 已知方程 x?4a?1?0 的两根为 2 且 ?、 ? ? ? 2 , ? 的值是 _. ?，则 2? 例题 4 函数 f?b 的最大值为 3，最小值为 2，则a?_， b?_。 例题 5 函数 f= 2 的值域为 _。 2 2 例题 6 若 2?3则 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 9 / 45 ?的取值范围是 例题 7 已知 ?，求 y?6最小值及最大值。 例题 8 求函数 f? 2 的最小正周期。 例题 9 求函数 f?2 的值域 34 例题 10 已知函数 f? R 上的偶函数，其图像关于点 M 对称，且在区间 0， ? 2 2011三角函数集及三角形高考题 b?5,?B? ? 4 ，若 ,1 3，则 a?. 2A,B,Ca,b,c?2. 在精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 10 / 45 中，角所对的边分 11 - 2 2 1 ? ?的最小值等于 f?x，将 y?f 的图像向右平移 3 个单位长度后，所得的图像与原图像 1 3 3 6 9 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若则 y=_. p?4,y? 是角 ? 终边上一点，且 ? 5 ， f?中 ?为实数，若 6已知函数 则 f?f 对 x? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 11 / 45 f?f ， f 的单调递增区间是 ? k?,k?36? k?,k?2? ? ? ? ? ? ?2? k?,k?k?,k?263? ? 2 2 2 7在 ， A 的取值范围是 f?4. ?6,4?的最大值和最小值。 求的最小正周期；求在区间 ? 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 12 / 45 3. 在 ?角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2c? 值；若 14 ,b?2 ，求 ?面积 S。 5. 、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 己知 A?75,b?2,求 a， c 求 B；若 . A,B,Ca,b,，角所对的边分别为且满足求角 C 的大小；求 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 13 / 45 A?f?2f ?106 ?,?0,?f?f? ?2?， 213， 5，求 的值；设 f?已知函数求 f ， x?R 45， 0? ? 2求证： f?2?0 2 的最小正周期和最小值；已知 A、 B、 C 所对应的边为 a,b,c ,b?3c 求 A 的值；若 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 14 / 45 13 ，求 b 10. 三个内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， B。 a。求 a；若 c2= 11. 设 ?、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c，已知 求 ? a?1,b?2,14 值。 12. 在 ,角 A、 B、 C 所对的边分别为 a,b,c，已知 求 值；当 a=2， 2，求 b 及 c 的长 2011三角函数集及三角形高考题答案 14 ，若 b?5,?B? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 15 / 45 ? 4 ,1 3，则 a?. a 52 a ：由正弦定理得 ? b?5,?B? ? 4 ,11 ? 54 ,a? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 16 / 45 3 2 3 所以 3 2. A,B,C 所对的边分 a,b,c .若 11 - 2 2 1 D 2 B， B? B?. 2 04. 三角函数 知识要点 1. 与 ?终边相同的角的集合： ?|?k?360?,k?Z? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 17 / 45 终边在 x 轴上的角的集合： ?|?k?180?,k?Z 终边在 y 轴上的角的集合： ?|?k?180?90,k?Z 终边在坐标轴上的角的集合： ?|?k?90?,k?Z 终边在 y=?|?k?180?45?,k?Z 终边在 y?x 轴上的角的集合： ?|?k?180?45?,k?Z ? ? ? ? ? ? 、 2、 3、 4 表示第一、二、三、四象限一半所在区域 ? 若角 ?与角 ?的终边关于 x 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k? 若角 ?与角 ?的终边关于 y 轴对称，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?180? 若角 ?与角 ?的终边在一条直线上，则角 ?与角 ?的关系： ?180?k? 角 ?与角 ?的终边互相垂直，则角 ?与角 ?的关系： ?360?k?90? 2. 角度与弧度的互换关系： 360 =2? 180 =? 1 = 1= =57 18 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度 数为零 . 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 18 / 45 、弧度与角度互换公式： 1180 =57 18 1 ? ? 180 3、弧长公式： |?|?r. 扇形面积公式： s 扇形 ?|?r 1212 4、三角函数：设 ?是一个任意角，在 ?的终边上任取一点 r，则 yx ； x； r； . y 角函数在各象限的符号：正弦、余割 余弦、 正割 正切、余切 6、三角函数线 正弦线： 余弦线： 正切线： 7. 三角函数的定义域： 16. 几个重要结论 : 若 o 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 19 / 45 ?8、同角三角函数的基本关系式： ?1 1 1 1 1 1 9、诱 导公式： 把 k? ?的三角函数化为 ?的三角函数，概括为： 2 “奇变偶不变，符号看象限” 三角函数的公式：基本关系 公式组一公式组二 公式组三 ?x 2 x=1+? 1+式组四 公式组五 公式组六 ?2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 20 / 45 ?t?与角之间的互换 公式组一 公式组二 2?2co?s s?21?1?2 22 1?2 ? ?co?s 2 1? 1?2 ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 21 / 45 1?1?公式组三 公式组四 公式组五 1 ?1?212 ? 2211?12? 2 12?1?2 ?2? ?11?2222 ? 222 2? 2211?2?2,2?3,2?3. 6?2, 4 4 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： 令 ? ?2精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 22 / 45 令 ? ?21?1?2+? 1? 1? 2 2 1? 弦定理：在 ? 正弦定理： ?2R a? 2R?a?2b? b?2意变形应用 ? 2R?c?2c? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 23 / 45 2R? 面积公式： S?111 22 ?b2?c2?a2 2bc?a2?b2?2a2?c2?2 余弦定理： ?b?a?c?2 ? 2c2?a2?a2?b2?反 y?a,b上递增，则 y?a,b上递减 . y?x 与 y?周期是 ?. ?x?)或 y? y?x?k? y?对称轴方程是 x?k?，对称中心； y?1,?k?当 ? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 24 / 45 ?1,?k?； ? 2 . ? y?y?x?2k?是同一函数 ,而 y?是偶函数，则 2? 1 y?2 函数 y? R 上为增函数 . 只能在某个单调区间单调递增 . 若在整个定义域， y?增函数，同样也是错误的 . 定义域关于原点对称是 ，二是满足奇偶性条件，偶函数： f?f，奇函数： f?f） 1 奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如： y?y? 奇函数特有性质：若 0?x 的定义域，则 f 一定有 f?f?2， x?R 求函数 f 的最小正周期；求函数 f 在区间 ?上的最小值和最大值 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 25 / 45 84已知函数 f?1?2x? ? 3 ? ? ? ? ? ?2? 8?8?8? 求：函数 f 的最小正周期；函数 f 的单调增区间 已知函数 f?x? ? ? 1 ? g?1? ， ?212? 设 x?函数 y?f 图象的一条对称轴，求 g 的值求函数 h?f? 2根据函数性质确定函数解析式 0? )的图象与 y 轴相交于点是 2 ? ?2 ? 当 ? ? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 26 / 45 ， ?时，求 ?2? ? ? ? ?2?x?x?2x?R， ?6?6?2? ，求函数 2 已知函数 f?x? 求函数 f 的值域； 若函数 y?f 的 图象与直线 y?1的两个相邻交点间的距离为 y? 若对任意的 a?R，函数 y?f， x?， x? 在 知内角 A? ? ，边 ?x，周长为 y ? 求函数 y?函数 y? 3三角函数求值 例 3 已知 1 13 ,且 0 已知函数 f= ? 2x? 4? 角 a 在第一象限，且 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 27 / 45 ) 3 求 f。 5 设 f = 6 f 的最大值及最小正周期；若锐角 ?满足 2 4 f?3?23，求 值 . 5 4三角形中的函数求值 例 4 设锐角三角形 ， B， C 的对边分别为 a，b， c， a?2 求 B 的大小；若 a?， c?5，求 b求 取值范围 在 知 ， ， 求 B? 4 5 ? ?的值 6? 13， 求角 C 的大小；文若 45 在 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 28 / 45 求 若 最小边的边长 5三角与平面向量 ? 5 已知的面积为，且满足 0 C 6，设 求 ?的取值范 围； 求函数 f?2? ? ?2?的最大值与最小值 ?4? 设函数 f?x?， ? 其中向量 ?,?,x?R，且函数 y=,2?， ?4? 求实数 函数 f 的最小值及此时 已知 、 B、 C 若 ?0，求 c 的值；若 A 为钝角，求 c 的取值范围；若c?5，求 6 三角函数中的实际应用 例 6 如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于 时，乙船位于甲船的北偏西 105?方向的 时两船相距 20海里，当甲精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 29 / 45 船航行 20分钟到达 船航行到甲船的北偏西 120?方向的 B 2 处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？ 如图，测量河对岸的塔高 ，可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与 D现测得 ?， ?， CD?s，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ?，求塔高 A 2 7三角函数与不等式 例 7 已知函数 f?2乙 A 1 ? ? ? ?x?2x， x?求 f 的最大值和最小值； ?4?42? 若不等式 f?m?2 在 x?上恒成立，求实数 m 的取值范围 428三角函数与极值 2 例 8 设函数 f?x? ? 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 30 / 45 t3?t?4,x?R 22 其中 1，将 f?x?的最小值记为 g. 求 g 的表达式；讨论 g 在区间内的单调性并求极值 . 三角函数易错题解析 例题 1 已知角 ?的终边上一点的坐标为，则角 ?的最小值为。 33 5?2?5?11?A、 B、 C、 D、 6336 2 例题 2 A， B， C 是 ? x?5x?1?0 的两个实数根，则 ? A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形 D、等边三角形 例题 3 已知方程 x?4a?1?0 的两根为 且 ?、 ? 2 ? ,?，则 _. 222? 例题 4 函数 f?b 的最大值为 3，最小值为 2，则a?_， b?_。 例题 5 函数 f= 值域为 _。 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 31 / 45 1?22 ?3则 取值范围是 例题 6 若22 例题 7 已知 ?，求 y?6最小值及最大值。 例题 8 求函数 f? 2最小正周期。 2 1?题 9 求函数 f?2 的值域 34 例题 10 已知函数 f? R 上的偶函数，其图像关于点 M 对称，且在区间 0， ? 上是单调函数，求 ?和 ?的值。 2 2011三角函数集及三角形高考题 ，若 b?5,?B? ? 4 ,精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 32 / 45 1 3，则 a?. 2 2.，角 A,B,C 所对的边分 a,b, 11 - 2 2 1 ? f?x，将 y?f 的图像向右平移 3 个单位长度后，所得的 图像与原图像重合，则 ?的最小值等于 1 3 3 6 9 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的正半轴，若 p?4,y? 是角 ? 终边上一点，且 ? 5，则 y=_. f?f) 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 33 / 45 f? 对 x?R 恒成立，且 6已知函数，其中为实数，若 f?f 2，则 f 的单调递增区间是 ? ? ? k?,k?k?,k?36?2? ? ?2? k?,k?k?,k?263? ? 222 7在 ， A 的取值范围是 6 ? 3 ? f?4. ? ?,? 求 f 的最小正周期；求 f 在区间 ?64?上的最大值和最小精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 34 / 45 值。 a ? A,B,Ca,b,c? 3. 在中，内角的对边分别为，已知 b?2 4 求 值；若，求 ?。 5. 、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c. 己知 A?75,b?2,求 a， c. 求 B；若 ，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足A? 的最大值，并求取得最 大值时角 A, 求角 知函数 ? ?5?106?,?0,ff?f?2?， 4213， 5，求 求的值；设 8已知函数 f?x?R 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 35 / 45 44? 0?5， 5， 2求证： 求 f 的最小正周期和最小值；已知 f2?2?0 A、 B、 C 所对应的边为 a,b,c 高中数学必修 4 知识点总结 第一章 三角函数 ?正角 :按逆时 针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角 :按顺时针方向旋转形成的角 ?零角 :不作任何旋转形成的角 ? 2、象限角：角 ?的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落 在第几象限，则称 ?为第几象限角 ? 第二象限角的集合为 ?k?360?90?k?360?180,k? 第三象限角的集合为 ?k?360?180?k?360?270,k? 第四象限角的集合为 ?k?360?270?k?360?360,k? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?k?180,k? 终边在 ?k?180?90,k? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?k?90,k? 3、终边相等的角：与角 ?终边相同的角的集合为 ?k?360?,k? 第一象限角的集合为 ?k?360?k?360?90,k? 4、已知 ?精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 36 / 45 是第几象限角，确定 ? ?n?所在象限的方法：先把各象限均分 n 等 n * 份，再从 x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 ?原 ? 来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域 n 例 4设 ?角属于第二象限，且 2 ? 2 ，则 ? 角属于 2 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解 k? ? 2 ?2k?,k? 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 37 / 45 ? 4 ? ? 2 ?k? ? 2 , 当 k?2n,时， ? 在第一象限；当 k?2n?1,时，在第三象限； 22 ?0， ? 而 2 ? 2 ? 2 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 38 / 45 ? 2 在第三象限； 5、 1 弧度：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度 - 1 - 6、半径为 r 的圆的圆心角 ?所对弧的长为 l，则角 ?的弧度数的绝对值是 ?7、弧度制与角度制的换算公式： 2?360，1? l r ?180?， 1? 180? ? 8、若扇形的圆心角为 ?为弧度制 ?，半径为 r，弧长为l，周长为 C，面积为 S， 11 则弧长 l?r，周长 C?2r?l，面积 S? 22 9、设 ?是一个任意大小的角， ?的终边上任意一点 ?的坐标是 ?x,y?，它与原点 ， ?x?0? 品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 39 / 45 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正 11、三角函数线： ?， ?， ? 的距离是 0，则 ? 17? 18 M?0?等式： M?0； O P?0； ? 其 中 正 确 的 是_。例 7设 17?17? ?,M?0 1818 12、同角三角函数的基本关系： 解 . 方关系： ?1?1， ?1?1?； 商数关系： ?2? ? ? ? ? 13、三角函数的诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限 精品文档 2016 全新精品资料 全程指导写作 独家 原创 40 / 45 ?1?k?， k?，k?k? ?2?，? ? ?3?， ? ?4?，? ? ?5? ? ? ? ?2?2? ? ? ?2?