概率论样题及答案.pdf

2013 1. X1，X2 为两个独立的随机变量，分别服从 Exp(lambda1),Exp(lambda2),求 E(X1|X1 1) Var( =1 ) = ( =1 ) 2 ) ( ( =1 ) 2 = (2) =1 + 2() 1=1) 1 = (,) = (+) 2 1 0 = ( 2) 1 0 = 1 32 2 从而 = 22 23 P(X + Y 1) = 1 (+) 1 1 2 0 = 1 22 2 3 ( 1) 1 2 0 = 2 3 2 3 9. f(x,y) = if(x/in Relse0; 求 Var(X) 在 y 固定时 x 分布为均值为 0 方差为 1/y 的正态分布；y 的边缘分布为(2,1)分布 E(X) = E(E(X|Y) = E(0) = 0 Var(X) = (2) ()2= (2|) = (1 ) = 1 0 = 1 10. 公交站起点站等可能发出 a,b 两班汽车，其中 a 停 m 站，b 停 n 站，车上人数服从参数 为 lambda 的泊松分布，每名乘客在各站下车的概率相同，如果该站没有乘客下车，则 公交车不停站。求一辆从起点站开出的公交车停站的期望与方差。 车上人数为 k，站数为 n 固定时设公交车停站数为随机变量 N，Xi 表示第 i 站是否有人 下车(有人下车则为 1，无人下车则为 0，服从 p=1-(1-1/n)k 的两点分布) E(N) = E() = (1 (1 1 ) ) E(2) = (2) + 2() 1 A + B) = E(A + B|C A + B) = ( + )(,) 90.5|y 0.5|Y 0.5, Y) = ( + 1 )(1 2) +1 ( )( 1 2) 1 =0 +1 =1 = (1 2) 2+1 ( + 1 ) 1 =0 ( ) +1 =1 = (1 2) 2+2 ( + 1 ) 1 =0 ( ) +1 =1 + ( + 1 ) 0 =1 ( ) +1 =1 ) = (1 2) 2+2 ( + 1 ) 1 =0 ( ) +1 =1 + ( + 1 ) =+1 ( ) 1 =+1 ) = (1 2) 2+2 ( + 1 ) 1 =0 ( ) +1 =1 + ( + 1 + 1 ) = ( ) =0 ) = (1 2) 2+2 ( + 1 ) =0 ( ) =1 + ( + 1 0 ) =0 ( ) + ( + 1 + 1) =0 ( ) = ( 1 2) 2+2 ( + 1 ) =0 ( ) +1 =0 ) = (1 2) 2+2 2+12= 1 2 即证) 3. 某系统包括 A、B、C、D 和 E 共 5 个子系统，系统会在两种情况之一下失效：或者 A 子系统失效，或者其他四个子系统中有至少两个失效。假定各个子系统的失效相 互独立，且失效的概率均为 p。计算在已知系统失效的条件下，A 子系统失效的概 率。 P(A 失效|系统失效) = (失效且系统失效) (系统失效) = + (1 )(4 ) (1 )44 =2 = 1 34+ 113 142+ 6 + 1 4. 假设某种产品分两类， 一类是好的， 无论如何测试都不会出问题； 一类是有缺陷的， 测试时出问题的概率为 p。 如果随机抽取， 抽中好产品的概率为 r。 现抽出一个产品， 连续测试三次，都没有出问题，计算在第四次测试出问题的概率。 P(第四次测试有问题|测试三次没问题) = (测试前三次没问题，第四次有问题) (测试三次没问题) = (抽到坏产品且前三次测试没问题，第四次有问题) (抽到好产品) + (抽到坏产品且前三次测试没问题) = (1 )(1 )3 + (1 )(1 )3 5. 设 X 和 Y 为独立的非负随机变量，满足 Var(X) = Var(Y) = 1，且 E(XY) =C，C 为确 定性常数，试给出 Var(XY)的取值范围。 设 E(X)=a，E(Y)=b，则由于 X，Y 独立有 E(XY) = E(X)E(Y) = ab = C Var(XY) = E()2) ()2= (2)(2) 2 = () + ()2)() + ()2) 2= (1 + 2)(1 + 2) 2 = 1 + 2+ 2= 1 + ( )2+ 2 显然由于 a 0；b 0 则有 Var(XY)0 6. 同时掷两个均匀色子，重复投掷，直到两个色子至少有一个为 6 点时停止。设停止 时两个色子的点数之和为 Y，从开始到停止所用的投掷次数为 N，计算 E(Y/N)。 每次出现至少一个 6 点的概率为 P = 1 (5/6)2 = 11/36， 则 N 服从参数为 P 的几何分布； Y 的分布即为点数和在至少出现一个 6 的条件下的条件分布， P(Y = k) = 2 1 6 1 6 11 36 = 2 11 ( = 7,8,910,11) 1 6 1 6 11/36 = 1 11 ( = 12) 可计算 E(Y) = 1 11 12 + 2 11 1 11 =7 = 102 11 E(1 N) = 1 (1 )1 =1 = 1 ln(1 (1 ) = () 1 = 11 25 ln(36 11) 显然 Y 与 N 相互独立(最后一次结果与实验次数无关)，从而 E(Y N) = E(Y)E( 1 N) = 102 25 ln(36 11) 7. A 和 B 两个人准备约会，假定两人到达约会地点的时间服从 12:00 到 13:00 之间的 均匀分布，且任意一人到达约会地点后，如果另一人未到，则等待 s 分钟后离开。 计算使得约会成功概率不小于 0.5 的 s 的最小值。 设 A 到达时间为 X p.m. B 到达时间为 Y p.m. P(约会成功) = P(Y s X Y + s) = 1 2 (1 )2 2 0.5 解得s 1 2 2 8. A 和 B 两个通信站间存在两条并行的通信链路。两条链路的通信延迟相互独立，且 都服从 0 到 1 分钟的均匀分布。假定信息通过两条链路同时传输，且从一条链路收 到算作“收到”，两条链路都收到算作“完好”。请计算从“收到”到“完好”的时 间间隔的分布函数。 设两条通信链路的延时分别为随机变量 X、Y，其中较小值 A 为收到时间，较大值 B 为完 好时间，有 A，B 联合分布函数为 F(A x,B y) = ( ,1 )( , ) = ( )( ) = 2 ( 1)( ) ( ) = ( )( ) ( 1) 9. A 到银行存钱，假定银行内排队的顾客人数从 0 个到 2 个不等，且每种情况出现的 概率相同，如果每个顾客的服务时间服从参数为 l 的指数分布，请计算 A 在银行内 等待时间的分布函数。 设银行内排队顾客数为随机变量 N 服从 0,1,2 的等概率分布，第 1,2 位等待时间分别为 随机变量 X1，X2 均服从参数为 1 的指数分布 则有等待时间 T E(T) = E(E(T|N) = 1 3 (| = 0) + (| = 1) + (| = 2) = 1 3 (0 + (1) + (1 + 2) = 1 3 (0 + 1 + (1