大一高数微积分下册答案.doc

第六章 定积分6.16.2 定积分的概念、性质一、填空题1、设在上连续，等分，并取小区间左端点，作乘积，则.2、根据定积分的几何意义， .3、设在闭区间上连续，则.二、单项选择题1、定积分 (C) .(A) 与无关 (B) 与区间无关(C) 与变量采用的符号无关 (D) 是变量的函数2、下列不等式成立的是 (C) .(A) (B) (C) (D) 3、设在上连续，且，则 (C) .(A) 在的某小区间上 (B) 上的一切均使(C) 内至少有一点使 (D) 内不一定有使4、积分中值公式中的是 (B) .(A) 上的任一点 (B) 上必存在的某一点(C) 上唯一的某一点 (D) 的中点5、 (D) .析：是常数(A) (B) (C) (D) 6、设，则的关系为 (B) .(A) (B) (C) (D) 7、设，则的值 (A) .(A) (B) (C) (D) 析：在上的最大值是，最小值是，所以.三、估计定积分的值.解 记，则，令，得.因为，所以在上的最大值为，最小值为，从而 .四、设在上连续，在内可导，且.求证：至少存在一点，使得.证明 由积分中值定理，存在一点，使得，即.又由题设可知，在上连续，在内可导，且有，根据罗尔定理，存在一点，使得.6.3微积分的基本公式一、填空题1、若，则.2、.3、极限.4、定积分.5、设，则.6、由方程所确定的隐函数的导数.7、设是连续函数，且，则.8、设，则.析：设，则等式两端同时积分得 .9、设在闭区间上连续，且，则方程在开区间内有个实根.析：设，则有,由根的存在定理知至少有存在一个使得；若方程有两个根，不妨设即,则由罗尔定理知,使得, 即使得成立，这与矛盾，所以方程又且只有一个根.二、单项选择题1、下列积分中能用微积分基本公式的只有 (C) .(A) (B) (C) (D) 2、设，其中是连续函数，则 (B) .(A) (B) (C) (D) 不存在3、设，则当时，是的 (B) .(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小 (C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价无穷小析: .三、求.解 根据洛必得法则，得.四、求函数的极值.解 ，.令，得驻点,又，所以是得极小值点，极小值为.五、求.解 .六、已知，证明：.证明 原式可化为 ，两边对求导，得 ，即，令，得，即 .6.4 定积分的换元积分法一、填空题1、设在区间上连续，则.2、. 3、 .4、. 5、.6、. 7、.8、设，则.二、单项选择题1、设是连续函数， (A) .(A) (B) (C) (D) 析：令，则2、设是连续函数，是的原函数，则 (A) .(A) 若是奇函数，必为偶函数 (B) 若是偶函数，必为奇函数(C) 若是周期函数，必为周期函数(D) 若是单调增函数，必为单调增函数析：(B)反例： (C)反例：(D)反例：三、计算下列定积分1、.2、.3、 .四、设是连续函数，证明：.证明 .从而 ，即 .五、设在上连续，且满足条件（为常数）,为偶函数. （1）证明:；（2）利用（1）的结论计算定积分.(1)证明 ,而 ,所以 .(2)解 取，令 ，则 ，所以 （常数），又，即 .于是有 .6.5 定积分的分部积分法一、填空题1、.2、已知的一个原函数是，则.3、.4、设，则.析：.二、计算下列定积分1、 .2、 .3、.4、.5、方法一 ： .方法二 ： .6、 .三、设是连续函数，证明：.证明 .6.6 广义积分与函数一、单项选择题1、下列广义积分收敛的是 (D) .(A) (B) (C) (D) 2、以下结论中错误的是 (D) .(A) 收敛 (B) 发散 (C) 发散 (D) 收敛3、 (D) .(A) (B) (C) (D) 发散析：发散，也发散。4、下列广义积分发散的是 (A) .(A) (B) (C) (D) 析：(B) (C) (D) 二、填空题1、. 2、.3、. 4、.5、广义积分，时收敛，时发散.提示： 当积分收敛； 当，积分发散.6、设，则常数.析： .7、. 8、.9、据，可推算出广义积分.三、判断下列广义积分的敛散性，若收敛，求其值.1、 .所以广义积分收敛于.2、 .所以广义积分收敛于.3、 .所以广义积分收敛于.4、 =所以广义积分收敛于.6.7 定积分的几何应用6.8 定积分的经济应用一、填空题1、曲线及直线所围成的平面图形的面积为.曲线及直线所围成的平面图形的面积为.2、平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为=. 平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为=.3、直线及曲线所围成的平面图形的面积为.提示：4、曲线与直线所围成的平面图形的面积为.5、曲线与直线所围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为；绕轴旋转一周所得旋转体的体积为.提示：，二、单项选择题1、曲线所围成的平面图形的面积为 (B) .(A) (B) (C) (D) 2、曲线轴与直线所围成的平面图形的面积为 (C) .(A) (B) (C) (D) 3、由绕轴旋转所得旋转体的体积为 (C) .(A) (B) (C) (D) 提示：.三、求由曲线和直线所围成平面图形的面积.解 如图6-1所示，取为积分变量，则所求面积为 图 6-1 .四、求由抛物线与直线围成的平面图形分别绕轴和轴旋转一周所生成旋转体的体积.解 如图6-2所示，交点，从而绕轴旋转所生成旋转体的体积为 .绕轴旋转所生成旋转体的体积为.五、求曲线所围成平面图形的面积，并求该平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积.解 如图6-3所示，所求面积为 .平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 .平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为 .所以，所求旋转体的体积为. 图 6-3六、设生产某产品的固定成本为，边际成本函数，边际收益函数.求（1）总利润函数；（2）产量为多少时，总利润最大？解 (1)总成本函数为，总收益函数为 ，所以，总利润函数为 .(2)， ，令，得驻点(舍去)，又，所以当时，取得最大值，即产量为时，总利润最大.第八章 多元函数微分学8.1 多元函数的基本概念一、填空题1、函数的定义域为.2、已知，则.3、设函数,则.4、极限. 5、极限.析:令,则.二、单项选择题1、设，则 (A) .(A) (B) (C) (D) 2、设，则 (C) .(A) (B) (C) (D) 3、设函数，则 (C) .(A) 极限存在，但在处不连续 (B) 极限存在，且在处连续 (C) 极限不存在，故在处不连续 (D) 极限不存在，但在处连续析:当沿直线趋向于时,有: 当沿直线趋向于时,有: ，显然,沿不同路径趋向于不同的极限值,所以极限不存在,故在处不连续.8.2 偏导数及其在经济分析中的应用一、填空题1、设，则, .2、设，则.3、设，则.4、设，则，.5、设，则.6、设，可导，则.7、设，且当时，则.析: ,.8、设，则.9、设函数由关系式确定，其中函数可微，且，则.析:, , ,.二、单项选择题1、已知，则 (A) .(A) (B) (C) (D) 2、设，则 (B) .(A) (B) (C) (D) 3、函数在点处的两个偏导数存在是在该点连续的 (D) .(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件4、设 ,则 (B) .(A) (B) (C) (D) 不存在5、二元函数在点处 (C) .(A) 连续，偏导数存在 (B) 连续，偏导数不存在(C) 不连续，偏导数存在 (D) 不连续，偏导数不存在析：参考教材例2知，不存在，在处不连续，而.三、已知，求和.解 .所以 , .四、设，求.解 ,所以 .五、公司和公司是机床行业的两个竞争对手，这两家公司的主要产品的供给函数分别为；公司和公司现在的销售量分别是个单位和个单位.(1)公司和公司当前的价格弹性是多少?(2)假定降价后,使增加到个单位，同时导致的销售量下降到个单位，试问公司产品的交叉价格弹性是多少？解：（1）公司， ,故公司当前的价格弹性为.公司， 故公司当前的价格弹性为.（2）时，； 时，公司产品的交叉价格弹性是.注：用弧交叉弹性公式.8.3 全微分及其应用一、填空题1、设二元函数，则.2、设二元函数，则全微分.3、设二元函数，则.4、在处可微的必要条件为，充分条件为.二、单项选择题1、若函数在点处存在偏导数，则在点处 (D) .(A) 连续且可微 （B）连续但不一定可微(C) 可微但不一定连续 (D) 不一定可微也不一定连续2、设，则全微分 (D) .(A) （B）(C) (D) 3、考虑二元函数的下面四条性质： 在点处连续 在点处两个偏导数连续 在点处可微 在点处两个偏导数存在若用“”表示可以由性质推出性质，则有 (A) .(A) （B） (C) (D) 三、求函数在点处的全微分.解 因为 ，所以 .于是 .四、设二元函数，求全微分.解法1： .解法2：， ,故 .五、讨论函数 在处是否连续、偏导数是否存在、是否可微.解 (1) 因为 ，所以在处连续.(2) 根据偏导数的定义，有 ，同理可得，所以在处两个偏导数均存在.(3) 令，因为 ，所以在处，由微分的定义知在处可微,且.8.4 多元复合函数的求导法则一、填空题1、设，则.2、设，则，.3、设，其中均可微，则.4、设，则.5、设，可微，则，.二、单项选择题1、设，其中具有二阶连续偏导数，则有 (B) .(A) (B) (C) (D) 析：，故 .2、设，其中具有二阶连续偏导数，则 (C) .(A) (B) (C) (D) 析：，（具有二阶连续偏导数，）三、计算题1、 设，求全导数.解 .2、设，其中具有二阶连续偏导数，求和.解 ，所以 ， .3、设具有二阶连续偏导数，且，又，求.解 ，所以 ， .又，即，所以.8.5 隐函数的求导公式一、填空题1、设方程确定了函数，则.2、设方程确定了函数，则.析：设, 则.3、设由方程所确定，则，.4、设由方程所确定，则.5、设，其中是由方程所确定的隐函数，则.析：设，故 .二、单项选择题1、设，则 (D) .(A) (B) (C) (D) 2、设由方程所确定，则 (D) .(A) (B) (C) (D) 三、设由方程所确定，求和.解 令，则，所以 ， .四、设有连续偏导数，和分别由方程和所确定，求.解 令,则，,所以 .五、设由方程确定，证明：.证明 令，则，所以 ，因此 .六、设函数，方程确定是的函数，其中可微，连续，且.求.解 令，则，所以 ，又 ，因此 .8.6 多元函数的极值及其应用一、单项选择题1、设函数在点处存在偏导数，则在点处 (D) .(A) 连续 (B) 可微 (C) 有极值 (D) 可能有极值2、设二元函数在点处取得极大值，则函数在处和在处 (A) .(A) 一定都取得极大值 (B) 恰有一个取得极大值 (C) 至多有一个取得极大值 (D) 都不能取得极大值3、设函数，则点 (B) .(A) 是函数的驻点，但不是极值点 (B) 是函数的驻点，且是极小值点 (C) 不是函数的驻点 (D) 是函数的极大值点析：，是驻点.，,， ,，, ，为函数极小值点.二、求函数的极值.解 ， .解方程组，得驻点.又在点处而，所以在点处有极小值.三、某公司通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入(万元)与电台广告费用(万元)及报纸广告费用(万元)之间的关系有如下经验公式：.(1) 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2) 若提供的广告费用为万元，求相应的最优广告策略.解 (1)利润函数，由 ，得驻点为.因驻点唯一，且实际问题必有最大值，故最大值必在驻点处达到，所以投入电台广告费用为万元、投入报纸广告费用为万元时可获得最大利润,此即为广告费用不限情况下的最优广告策略.(2) 若广告费用为万元，则需要求利润函数在时的条件极值，拉格朗日函数为 .由 ,得驻点为.因驻点唯一，且实际问题必有最大值，故最大值必在驻点处达到，所以应将广告费万元全部用于报纸广告，可使利润最大，此即为提供的广告费用为万元情况下的最优广告策略.四、假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别是和，其中和分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元吨），和分别表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨），并且该企业生产这种产品的总成本函数是，其中表示该产品在两个市场的销售总量，即.(1) 如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；(2) 如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及其统一价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种价格策略下的总利润大小.解 (1)总利润函数,由 ，得驻点为.因驻点唯一，且实际问题必有最大值，故最大值必在驻点处达到，此时，.所以如果该企业实行价格差别策略，两个市场上该产品的销售量分别为4吨和5吨，价格分别为10万元吨和7万元吨时，该企业可获得最大利润，且最大利润为52万元.(2) 如果该企业实行价格无差别策略,即，于是有约束条件.构造拉格朗日函数 ，由 ，得驻点为.因驻点唯一，且实际问题必有最大值，故最大值必在驻点处达到，此时，.所以如果该企业实行价格无差别策略，两个市场上该产品的销售量分别为5吨和4吨，统一价格为8万元吨时，该企业可获得最大利润，且最大利润为49万元. 由上述结果可知，企业实行价格差别策略所获得的最大利润要大于实行价格无差别策略时所获得的最大利润.第九章 二重积分9.2 二重积分的计算（一）一、填空题1、设，则根据二重积分的几何意义，.析：此二重积分表示半径为2的球的上半部分的体积，.2、设区域为，则.析：.3、设是由轴、轴与所围成的三角形区域，则.4、改变积分次序：.提示：根据积分区间画出区域.5、改变积分次序：.二、单项选择题1、二重积分定义中的是 (D) .(A) 最大小区间长度 (B) 小区域最大面积 (C) 小区域直径 (D) 小区域最大直径2、设为，则 (C) .(A) (B) (C) (D) 3、设连续，且，是由所围成区域，则 (C) .(A) (B) (C) (D)析：如图9-1，由特征得：，设，两边积分有 ，图9-11，.4、设为连续函数，是由所围成的区域，则下列结论正确的是 (C) .(A) (B) (C) (D) 析：如图9-2，可划分为，其中关于轴对称，关于轴对称，是关于的奇函数 ，图9-2由区间的对称性知.三、计算下列二重积分1、，其中是由曲线所围成的平面区域.解 如图9-3所示， .图9-4图9-32、，其中是由直线和曲线所围成的平面区域.解 如图9-4所示， .3、，其中是以点和为顶点的三角形区域.解 如图9-5所示，易求得边所在直线的方程分别为，所以 .()图9-6图9-5图9-6四、设为区间上的连续函数，证明：对任意的，总有.证明 如图9-6所示，积分区域可改写为，所以改变二次积分的积分次序，得.9.2 二重积分的计算（二）一、填空题1、设区域由直线和曲线围成，将写成极坐标系下的二次积分形式，则.析：如图9-7， 2、将二次积分化为极坐标形式，则图9-7.3、设区域为，则.析：原式，表示半径为1的球的上半部分的体积，等于，而由于关于轴对称，为关于的奇函数，原式=.二、单项选择题1、设区域，则 (A) .(A) (B) (C) (D) 2、累次积分可以写成 (D) .(A) (B) (C) (D) 3、设积分区域为，则 (C) .(A) (B) (C) (D) 三、计算下列二重积分1、，其中积分区域.解 如图9-8所示， 图9-8图9-9 2、，其中积分区域.解 如图9-9所示， ，记，则 ，解得 .所以 .3、，其中由圆和所围成.解 如图9-10所示，所以 .4、，其中是由直线以及曲线所围成.解 如图9-11所示， . 图9-11图9-10 第十章 微分方程与差分方程简介10.1 微分方程的基本概念单项选择题1、微分方程的通解为 (B) .(A) (B) (C) (D) 2、函数(为任意常数)是微分方程的 (C) .(A) 通解 (B) 特解 (C) 是解，但既不是通解也不是特解 (D) 不是解3、微分方程的通解是 (D) .(A) (B) (C) (D) 10.2 一阶微分方程（一）一、填空题1、微分方程满足初始条件的特解为.2、微分方程满足初始条件的特解为.3、微分方程的通解是.4、微分方程的通解是.5、微分方程满足初始条件的特解为.二、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解1、.解 这是一个可分离变量的微分方程，分离变量得 ，两边积分，得 ，即 ， ,从而原方程通解为.将初始条件代入，得，因此所求原方程特解为.2、.解 若，方程可化为 ，这是一个齐次方程.令，则，代入得, 即 .于是 ，将代入，得原方程通解为.若，可得方程通解为，即.综上所述，原方程通解为.3、.解 令，则，于是方程化为 ，即，即 ，将代入得原方程通解为 ，即 .4、.解 方程可化为 ，这是一个齐次方程.令，则，代入得,即，.将代入，得原方程通解为.由条件，求得.因此所求原方程特解为.10.2 一阶微分方程（二）一、填空题1、方程叫做 一阶线性微分方程 ，当时，称方程为齐次的，它的通解为；当时，称方程为非齐次的，它的通解为.2、微分方程的通解为.3、微分方程的通解为.4、微分方程满足初始条件的特解为.5、微分方程满足初始条件的特解为.6、若连续函数满足，则. （提示：两边求导，再解方程.）二、单项选择题1、方程的通解为 (A) .(A) (B) (C) (D) 2、若，则 (C) .(A) (B) (C) (D) 三、求方程满足初始条件的特解.解 方程可变形为 ，故为一阶线性非齐次微分方程.所以 ,又，得.因此所求方程特解为.四、求微分方程的通解.解 方程可化为 ,若视为函数，则该方程为一阶线性非齐次微分方程，所以 .即原方程的通解为.五、设，其中函数在内满足以下条件： .求：（1）所满足的一阶微分方程； （2）的表达式.解 (1)由 ，可知所满足的一阶微分方程为 .(2) ，又，故.所以 .六、设函数在上连续,若曲线，直线与轴所围成的平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积为 .试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.解 由旋转体的体积计算公式得 ，于是依题意，得，即 .两边对求导，得 ，即 ，所以所满足的微分方程为，这是一个齐次方程.令，则，代入得 ,据已知，故.两边积分得 ，即 .从而方程的通解为，又，知，因此该微分方程满足条件的特解为.10.3 一阶微分方程在经济学中的综合应用一、设某商的供给函数，需求函数，其中表示时刻时该商品的价格，表示价格关于时间的变化率，已知，试把市场均衡价格表示成关于时间的函数，并说明其实际意义.解 市场均衡价格处有 ，即 ， 所以 ，解之得 ，由得.因此均衡价格关于时间的函数为.由于，所以市场对于这种商品的价格稳定，且可以认为随着时间的推移，此商品的价格逐渐趋向于20.二、在某池塘内养鱼，该池塘内最多能养1000尾，设在时刻该池塘内鱼数是时间的函数，其变化率与鱼数及的乘积成正比，比例常数为.已知在池塘内放养鱼100尾，3个月后池塘内有鱼250尾求放养个月后池塘内鱼数的公式，放养6个月后有多少鱼？解 时间以月为单位，依题意有，且，对方程分离变量且积分，得到 .将，代入，得，于是，再将，代入，求出，于是，放养个月后池塘内的鱼数为（尾）， 放养6个月后池塘内的鱼数为（尾）.三、已知某地区在一个已知时期内国民收入的增长率为，国民债务的增长率为国民收入的.若时，国民收入为5亿元，国民债务为0.1亿元.试分别求出国民收入及国民债务与时间的函数关系.解 设该时期内任何以时刻的国民收入为，国民债务为，由题意 ， 由得，由时，得，故将式代入式得，于是，由时，可知 .故因此，国民收入为， 国民债务为.四、某汽车公司在长期的运营中发现每辆汽车的总维修成本对汽车大修时间间隔的变化率等于,已知当大修时间间隔（年）时,总维修成本（百元）.试求每辆汽车的总维修成本最低？解 设时间间隔以年为单位，由题意 ,由，可得 .因此.又 ，令，得（负根舍去）， , ,因此是的极小值点，从而也是最小值点，即每辆汽车3年大修一次，可是每辆汽车的总维修成本最低.10.4 几种二阶微分方程一、填空题1、设有方程，为了降阶，可令，则.2、设有方程，为了降阶，可令，则.3、微分方程的通解为.4、微分方程的通解为.5、方程满足初始条件的特解为.二、单项选择题1、设函数图形上点处的切线为，且满足微分方程，则此函数是 (C) .(A) (B) (C) (D) 2、微分方程的通解为 (B) .(A) (B) (C) (D) 三、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解1、.解 方程属于型.令，则，原方程可化为 ，即 ,得或.(1) 若，即，则；(2) 若，分离变量得，解得，即，即，两边积分得，即，故原方程的通解为.2、.解 方程属于型.令，则，原方程可化为 ,即 ，从而 ,即，且时该式也成立.又，故，于是.所以 ，又，得.因此,所求方程的特解为.3、.解 方程属于型.令，则，原方程可化为，由初始条件易知，从而有，即,，解得 ，即 ， ，积分，得.由初始条件,得 .所以,所求原方程特解为.四、设对任意，曲线上点处的切线在轴上的截距等于，求.解 根据导数的几何意义，易得上点处的切线在轴上的截距为 ，于是，由题设可得 ，即.两边求导得，即,又，所以 ，此为型的方程.令，则，原方程可化为,，解得，即 ，即.10.5 二阶常系数线性微分方程一、填空题1、设是方程的两个解，且满足，则方程的通解为；常数，.2、微分方程的通解为.3、微分方程满足条件的特解为.4、微分方程的通解为.5、以为一个特解的二阶常系数线性微分方程为.6、以为通解的二阶常系数线性微分方程为.7、微分方程的通解为.8、微分方程满足条件的特解为.二、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解1、.解 特征方程为，特征根为，所以方程的通解为 , 由，得，于是，,将条件代入，得.从而所求方程的特解为.2、.解 方程所对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以齐次方程的通解为.设原方程有特解，则应满足，解得，积分得.所以 .于是原方程通解为.又，可得，因此所求方程特解为.注：本题也可设，用待定系数法求方程的特解,但结果和以上参数变异法得到的不相同.3、.解 方程所对应齐次方程的特征方程为，特征根为，所以齐次方程的通解为.设原方程有特解，则应满足 ,解得 ，积分得 ,从而 .所以原方程通解为.注：本题也可设，用待定系数法求方程的特解,结果和以上参数变异法得到的相同.三、设函数满足条件 ，求广义积分.解 特征方程为，特征根为，所以原方程的通解为 ,由初始条件，得.所以，原方程满足初始条件的特解为.从而 .10.6 差分与差分方程的概念、常系数线性差分方程解的结构10.7一阶常系数线性差分方程一、填空题1、函数的差分为.2、某公司每年的工资总额在比上一年增加20%的基础上再追加2百万元，若以表示第年的工资总额（单位：百万元），则满足的差分方程是.3、差分方程的通解为.4、差分方程的通解为.5、差分方程满足初始条件的特解为.6、已知是差分方程的两个解，则该方程的通解可表示为.7、已知是差分方程的两个特解，则必有,.二、选择题（至少有一个选项正确）1、下列等式中，是差分方程的有 (A)(C)(D) .(A) (B) (C) (D) 2、设，且满足差分方程，则 (B) .(A) (B) (C) (D) 3、下列差分方程中，是二阶的有 (A)(C)(D) .(A) (B) (C) (D) 4、下列差分方程中，其解是函数的是 (C) .(A) (B) (C) (D) 三、求下列差分方程的通解或给定初始条件下的特解1、解 因为，从而差分方程的通解为.由，得，因此所求差分方程的特解为.2、解 因为，故可设差分方程的特解为，代入原方程并比较系数，得，即.所以差分方程通解为 .3、解 可设差分方程的特解为，则，代入原方程并比较系数，得，于是特解.从而差分方程的通解为，又据，得，因此，所求差分方程的特解为.第十一章 无穷级数11.1 常数项级数的概念和性质一、 填空题1、级数的部分和，其和.2、级数的部分和，其和.3、级数的部分和，其和.二、单项选择题1、若级数收敛于，则级数 (C) .(A) 收敛于 (B) 收敛于 (C) 收敛于 (D) 发散析： 收敛于，收敛于.2、设，则按某一规律对级数添括号后，所得级数 (A) .(A) 仍收敛于原来的和 (B) 仍收敛，但不一定收敛于原来的和 (C) 不一定收敛 (D) 一定发散3、级数为收敛的常数项级数，则级数 (C) .(A) 必定收敛于原来的和 (B) 必定发散 (C) 不一定收敛 (D) 必定收敛，但不一定收敛于原来的和4、已知，则 (C) .(A) (B) (C) (D) 5、设有以下命题： 若收敛，则收敛 若收敛，则收敛 若，则发散 若收敛，则都收敛则以上命题中正确的是 (B) .(A) (B) (C) (D) 析：否反例：否反例：；三、判别级数的收敛性. 解 因为和均为收敛的几何级数，且收敛于，收敛于.所以级数收敛，其和.四、求级数的和.解 因为，所以级数的部分和为，所以级数的和.五、设有两条抛物线和，记它们交点的横坐标的绝对值为. (1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积；(2) 求级数的和.解 (1)如图11-1所示，用与分别表示抛物线和，与有两个交点与.令，容易求得，根据定积分还可求得两条抛物线所围成的平面图形的面积为 .图11-1(2)因为 ，所以 .于是 .11.2 正项级数及其审敛法一、填空题1、设，若 收敛 ，则 收敛 ；若 发散 ，则 发散 . （填收敛或发散）2、当时，级数收敛.二、单项选择题1、下列级数收敛的是 (C) .(A) (B) (C) (D) 2、正项级数收敛是级数收敛 (A) 条件.(A) 充分非必要 (B) 必要非充分 (C) 充要 (D) 既非充分也非必要析：收敛，则，所以，当时，此时由比较判别法知收敛. 反例:.3、下列各选项正确的是 (A) .(A) 若和均收敛，则收敛. (B) 若收敛，则和均收敛. (C) 若正项级数发散，则. (D) 若级数 收敛，且，则级数 也收敛.析：(A) ，和均收敛， 收敛；(B) 反例：，； (C) 反例：；(D) 级数必须为正项级数。三、判别以下级数的敛散性1、解： ，发散，级数也发散.2、解： ，而收敛，级数也收敛.3、解 因为 ，所以根据比值审敛法，级数发散.4、解 首先，其次，对于级数，利用比值审敛法，从而级数收敛，再由比较审敛法，知级数也收敛.四、讨论级数的敛散性.解 因为 ,由比值审敛法知(1) 当，即时，级数收敛；(2) 当，即时，级数发散；(3) 当，即时，比值审敛法失效.由于，（参看教材）故，即，从而，根据级数收敛的必要条件，知级数发散.所以级数，当时收敛，当时发散.11.3 任意项级数的绝对收敛与条件收敛一、单项选择题1、下列级数为绝对收敛的是 (B) .(A) (B) (C) (D) 提示：(B) 而收敛.(C) 当时，(D) 条件收敛2、下列级数为条件收敛的是 (C) .(A) (B) (C) (D) 3、设级数和均收敛，则 (A) .(A) 收敛 (B) 条件收敛 (C) 收敛 (D) 条件收敛4、设，则下列级数中肯定收敛的是 (D) .(A) (B) (C) (D) 析： ，由比较判别法知收敛绝对收敛.5、设，则下列命题正确的是 (B) .(A) 若条件收敛，则和都收敛(B) 若绝对收敛，则和都收敛 (C) 若条件收敛，则和的敛散性都不定 (D) 若绝对收敛，则和的敛散性都不定 6、设，若发散，收敛，则以下正确的是 (D) .(A) 收敛，发散 (B) 收敛，发散 (C) 收敛 (D) 收敛二、判断以下级数的敛散性，若收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛1、解 首先考虑级数，因为时，所以，而级数发散，由比较审敛法知级数也发散，这说明级数不绝对收敛.又，且数列单调递减，由莱布尼兹审敛法知级数收敛.从而级数条件收敛.2、解 由于级数，所以当时，级数收敛，从而级数绝对收敛；当时，级数发散.但，且数列单调递减，由莱布尼兹审敛法知级数收敛，从而级数条件收敛.三、已知级数和均收敛，试证明、和 均绝对收敛.证明 因为级数和均收敛，所以级数收敛，又，根据比较审敛法知级数收敛，即绝对收敛.特别地，取时，由于级数收敛，所以绝对收敛，又因为，而收敛，由比较审敛法知收敛，所以绝对收敛.11.4 泰勒级数与幂级数（一）一、填空题1、设幂级数在发散，在收敛，则级数 发散 ； 收敛 .(填收敛或发散)2、幂级数的收敛半径为，收敛区间为.3、幂级数的收敛域为.4、幂级数的收敛域为.5、幂级数的收敛域为，其和函数.6、幂级数的收敛域为，其和函数，级数的和为.析： 7、幂级数的和函数.提示：.二、单项选择题1、设幂级数在处收敛，则该级数在处必定 (C) .(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不能确定2、当时，幂