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第四节 无穷大与无穷小一、无穷小1）无穷小的定义定义 ：对于数列，如果，则称当时，是无穷小；对于函数，在自变量的某种变化趋势下（）函数的极限为零，即则称函数在自变量的这种变化趋势下为无穷小。注1 ：无穷小不是指很小的数。注2 ：具体提到一个无穷小时，一定要指明自变量的变化过程。例 1：当时，函数是无穷小。2）无穷小的性质性质1 ：在自变量的同一个变化过程中，有限个无穷小的和还是无穷小。证明 ：设函数是当时的无穷小。对任意给的，因为，存在一个正数，当时有，又因为，存在一个正数，当时有，取，当时有所以，即函数是当时的无穷小。性质2 ：在自变量的同一个变化过程中，有界函数与无穷小之积是无穷小。说明 ：这里所说的有界，实际上是局部有界。具体地说，当考虑时，存在正数，当时，；当考虑时，存在正数，当时，。证明 ：我们仅考虑的情形。对任意给的，因为，存在正数，当时有取，当时有即有所以当时，还是无穷小。推论1 ：常数与无穷小的乘积是无穷小。推论2 ：在自变量的同一个变化过程中，有限个无穷小的乘积是无穷小。推论3：在自变量的同一个变化过程中，函数的极限存在，使无穷小，则是无穷小。3）无穷小与函数极限的关系定理 ：在自变量的同一变化过程中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和；反之，如果函数可以表示为常数与无穷小之和，那么该常数就是这函数的极限。证明 ：1）如果，对任意的，存在，当时有这也就说明当时，函数是无穷小。而。2）如果，其中，则对任意的，存在，当时有。从而有即。二、无穷大1）无穷大的定义定义 ：设函数在点的某一去心邻域内有定义（或大于某一个正数时有定义）。如果对于任意给定的正数（任意大）总存在正数（或正数）使得对于适合不等式（或）的一切都有则称函数当（或）时为无穷大。记为（或）注 ：无穷大与无界的区别。例 2：证明 ：。证明 ：对于任意大的正数，因为当，即有取，当时有即。（如图11）注 ：直线称为函数的铅直渐近线。例3：证明：在区间上无界；但当时，不是无穷大。证明：1）如果函数在区间上有界，则存在正常数，使得对于任给的，都有 ，而我们只要取，则有，这是一个矛盾，所以函数在区间上无界。2）如果，即对于任意的正数，都存在，当时都有。而当我们取时，则有这是一个矛盾，所以时，不是无穷大。（如图12）三、无穷大于无穷小的关系定理2：1）若，则； 2）若且，则。证明：（以为例证明） 1）因为，所以对任意的，我们取，则存在，当时有所以2）因为，对任意大的正数，我们取，则存在
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