数字信号处理课后习题Ch.pdf

1 第四章第四章 课后习题解答课后习题解答 4.1、用矩形窗设计一线性相位高通滤波器 () , 0 ,0 H() j c c ej d e = （1） 、写出 h(n)的表达式，确定 a 与 N 的关系； （2） 、问有几种类型，分别属于哪一种线性相位滤波器； （3） 、若改用汉宁窗设计，写出 h(n)的表达式。 解： （2）因为 h(n)偶对称，所以若 N 为奇数时，则属于第一种线性相位滤波器， 2 d 0 () () () ()()()() 1 (1).h ( )() 2 1 2 1 2 11 2() 1 2() sin() () (1)() c c c c c c cc jjn d jjn jj n jj n j j nj n jn c n c nHeed eed eed ee j n e ee j n e nw n San + + + + = = = = = = = (1)(),01 0, N-1 ,= 2 ( )( )( ) nc c c SanN dN h nhn Rn = 其 他 其 中 2 若 N 为偶数时，则为第二种线性相位滤波器； （3）若改用汉宁窗设计 ( 1) sin()12 1 cos(),01 21() 0, 12 ( )1 cos()( ) 21 ( )( )( ) N d n nn c n N Nn n W nRn N h nW n h n = = 其他 4.2、用矩形窗设计一个线性相位带同滤波器 0 0,0 , 0,0 H () j cc cc ej d e + = （1） 设计 N 为奇数时的 h(n); （2） 设计 N 为偶数时的 h(n); （3） 若改用汉明窗设计，写出以上两种形式的 h(n)的表达式。 解： 00 00 00 00 00 00 () () () ()() () ()()() () 1 ( )() 2 11 22 11 22 1 2() cc cc cc cc cc cc jjn d jjnjjn j nj n j nj n h nH eed eedeed eded ee j n + + + + + + = =+ =+ =+ 00 0 1 2 sin()()2 sin()() 2() sin()1 *2*cos(), ()2 cc c jj j n nN n n =+ = ( )( )( )( )( ) dRdN h nhnnhn Rn=Q （1）当 N 为奇数时 3 c 0 sin() 2cos(n- )( ),01 ()( ) 0, N n RnnN nh n = 其他 （2）当 N 为偶数时 h(n)的表达式与 N 为奇数时的相同； （3）若用汉明窗设计 0 ( )( ) ( ) sin()2 2cos()0.540.46cos()( ) ()1 d c N h nh nn nn nRn nN = = 4.3 解：hd (n)=dweeH inwjw) ( *2 1 =dweje jnw wcw wcw jw + 0 0 *2 1 + dweje jnw wcw wcw jw + )0( )0( *2 1 = () | )(*2 1 )0( 0 )(0 0 )(wcw wcw njwwcw wcw njw ee n + + + =)0)(sin(2)0)(sin(2 )(*2 1 wcwnjwcwnj n + =0)sin()sin( )( 2 wnwcn n 因为 h(n)=hd (n)WR(n)= hd(n) R N(n) 所以（1）当 N 为奇数时 h（n）=0)sin()sin( )( 2 wnwcn n R N(n)， (0) 1Nn; 0 , 其他 （2）当 N 为偶数时 h（n）的表达式与 N 为奇数时相同 （3）若采用汉明窗设计 h(n)= hd(n)W(n) =0)sin()sin( )( 2 wnwcn n 0.54-0.46cos) 1 2 ( N n R N(n)， 4-4如 果 一 个 线 性 相 位 带 通 滤 波 器 的 频 率 响 应 为 () P( )( ),0 jwjw BBP HeHw ew = 4 （ 1 ） 试 证 明 一 个 线 性 相 位 带 阻 滤 波 器 可 以 表 示 成 () P ()1( ),0 jwjw BRB HeHw ew = （2）试用带通滤波器的单位脉冲响应( ) BP hn来表达带阻滤波器的单位脉冲响应 ( ) BR hn ( ) ( ),0 0,2 P ( ) ( )( ) ( ) () ( ) 1( ) ()1( ),0 (2)()( ) () () ( )()( jw BP Hw ewjw BPw BRB jwjw BRBP jwjwjw BRBP jwjw BP j wjw BP BRBP He HwHw HeHw ew HeeeHw eHe eHe IDTFT hnnhn = = = = = = = Q 解：(1)证明: 则带阻滤波器放入幅度正好与之相反，即 两边取得 1 ), 2 N = 4.5 解：设模拟微分器的输入与输出分别为 x（t） ，y（t） y(t) =k dt tdx )( 令 x(t)=e tj 则 y(t)=jk tj e =jkx(t) 采样得 y（nT）=jkx(nT) Y(e) jw =jkx(e jw) 其中 w=T , Y(e) jw = x(e jw)H )( jw d e=jkw x(e jw)/T 即 H)( jw d e=jkw/T 由题所给图得| H)( jw d e|=|w|=|jwk/T| 应取 k=T 所以 H)( jw d e=jw 取2/ ) 1(= N 则 H)( jw d e=jw ewe jw = )2/(wj hd(n)= jwnjw ejwe 2 1 dw =1)( )( 2 1 2 )( wnj nj e njw | =)sin(2)cos()(2 )(2 1 2 nnn n 加汉宁窗之后 h(n)= hd(n)W(n) 因为 N 为偶数 5 所以 h(n)= )( )sin( 2 n n 0.54-0.46cos) 1 2 ( N n R N(n) 4.6 用频率采样法设计一线性相位低通滤波器 N=15,幅度采样值为 1,0 0 .5 ,1, 1 4 0 , 21 3 k k Hk k = = 求采样值的相位( )k，并写出 h(n)及 H( j e )的表达式 解：由题意可知为第一类线性相位滤波器 1 2114 ()(1) 215 ( ) k j k k N kkk NN H kH e = = = =Q 2 1 0 14 2 15 0 14 14 2 1515 0 1414 2214 14 15151515 14 (214)(214) 1515 1 ( )( ) 1 ( ) 15 1 ( ) 15 1 1 0.50.5 15 1 1 0.5() 15 1214 1 cos(),014 151515 jnk NN k jnk n jnk jk n jnjn jj jnjn h nH k e N H k e H k ee eeee ee n n = = = = = = =+ =+ =+ 1 1 () 2 0 sin(15 /2)1 () sin(2/)/2 Nk N j j K N k H H ee Nk N + = = 将( ) j k K H kH e =代入上式得 14 14 () 15 0 sin(15/2)1 () 15sin(2/)/2 kk j j K N k H H ee k N + = = 7 1 sin(15 /2)0.5sin(15 /2)0.5sin(15 /2) 15 sin( /2)sin( /2/15) sin( /2+ 15) j e = 、 6 4.7、在图 4.2 中 1( ) h n是偶对称序列。8N =， 2 h (n)是 1( ) h n圆周移位所得的序列， 移的位数为N/2=4位 。 1 ( ) ( )kDFT h n= 1 H . 2 ( )( )kDFT h n= 2 H （1） 试问 12 ( )( )H kHk=成立吗？ 1( ) k与 2( ) k有什么关系？ （2） 以 2 h (n)及 1( ) h n作为单位脉冲响应，可以构成两个低通滤波器，试问是否 属于线性相位滤波器？时延是多少？ （3） 这两种滤波器性能是否相同？比较之。 nn 0 1 2 3 4 5 6 70 1 2 3 4 5 6 7 解： （1） 2188 21 2 4 8 21 2 4 8 12 12 21 ()(4)() ()() ()=() ()=() ()() (k)=() m k N jk jk hnhnRn D F T hnWD F T hn HkeHk HkeHk HkHk kk =+ = = Q （2） h1(n),h2(n)分别构成低通滤波器时， 由于满足偶对称， 因此是线性相位的， 延时为 1 2 N = （3）Qh(n)为偶对称，N 为偶数 2 1 1 ()() c o s () 2 ()2(1) 2 N n Hbnn N bnhn = = =+ 7 4 1 1 ( )2 (3)cos () 2 357 2 (4)cos(5)cos(6)cos(7)cos 2222 n Hh nn hhhh = =+ =+ 1122 1122 1122 1122 h (0)(7)1,h (0)(7)4 h (1)(6)1,h (1)(6)3 h (3)(4)1,h (2)(5)2 h (2)(5)1,h (3)(4)1 hh hh hh hh = = = = 令则 令则 令则 令则 1 2 357 H ( )2(4cos3cos2coscos) 2222 357 ( )2(cos2cos3cos4cos) 2222 H =+ =+ 有 H1（w） 、H2(w)表达式可知，H1（w）的阻带衰减比 H2（w）阻带衰减大， H1（w）比 H2(w)通频带也更宽，所以 h1(n)性能好于 h2(n)。 4.8、用频率采样法设计一个线性相位低通滤波器，N=32, 2 c = ，边沿上设 一点过渡带( )0.39H k =，试求各点采样值 H（k）. 解：由题意，N=32，线性相位低通滤波器为第二类线性相位滤波器，即 h(n) 为偶对称 1 2131 ()(1) 232 32,1 k kN k N kkk NN NHH = = = = = kmax 设(H ) 8 31 32 31 32 31 32 31 32 31 32 1,0,1,7 0.39,8 0.39,24 1,25,26,31 0, H(K)=,H(w)=-H(2 -w) ,0,1,7 ,25,26,.,31 ()0.39,8 0.39,2 k jk j k kk jk jk jk jk n n Hn n H eH e ek ek H Kek ek = = = = = = = = = = 其他 由且 4 0, 其他 4.11 有一个待求的理想系统，其频率响应为 () jw d He ，其单位响应为 ( ) d h n 。 又有一逼近这一理想系统的 FIR 系统 () jw H e ，其有限长单位脉冲响应 ( )h n 的长度为 N，其均方误差为 22 1 |()()| 2 jwjw d HeH edw = 。 （ 1 ） 误 差 函 数()()() jwjwjw d E eHeH e=可 以 表 示 成 幂 级 数 ()( ) jwjwn n E ee n e = = 试求系数 ( )e n ，并以 ( ) d h n 和 ( )h n 表示出来。 （2）利用系