2016届中考数学复习第12讲圆试题.docx

第十二讲 圆12.1圆的性质基础盘点1.圆是 的集合.2圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 图形， 是它的对称中心.3垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且平分 .4如果在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 .5同弧或等弧所对的圆周角 ；半圆（或直径）所对的圆周角是 ；90的圆周角所对的弦是 .6.圆内接四边形的对角 .考点呈现 考点1 圆周角与圆心角的关系例1 （2015眉山）如图1，O是ABC的外接圆，ACO=45，则B的度数为（ ）A.30 B.35 C.40 D.45图1图2解析：如图2，连接OA.因为OA=OC，ACO=45，所以OAC=45，所以AOC=1804545=90.所以B=AOC=45故选D图3评注：熟知“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半”是解答此题的关键考点2 圆内接四边形的性质例2 （2015常德）如图3，四边形ABCD为O的内接四边形.已知BOD100，则BCD的度数为（ ）A.50 B.80 C.100 D.130解析：因为BOD100，所以A=50，所以BCD=180-A=180-50=130.故选D.评注：本题用到了圆周角与圆心角的关系及圆内接四边形的对角互补的性质.考点3 垂径定理例3 （2015衢州）一条排水管的截面如图4所示，已知排水管的半径OA=1m，水面宽AB=1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于 m.解析：如图5，连接OC，过点O作OEAB于点E，交CD于点F，则OECD，AE=BE，CF=DF.因为OA=1，AB=1.2，所以AE=0.6，所以OE=0.8（m）.因为下雨后，水管水面上升了0.2m，即EF=0.2m，所以OF=0.6m.所以CF=0.8（m）.所以CD=2CF=1.6（m）.评注：作出辅助线OEAB构造直角三角形是解答本题的基本思路，而首先利用勾股定理求出OE进而得到OF是关键的一步，然后利用勾股定理求出CF.图4图5考点4 圆的性质的综合应用例4 （2015威海）如图6，在ABC中，AB=AC，以AC为直径的O交AB于点D，交BC于点E（1）求证：BE=CE；（2）若BD=2，BE=3，求AC的长图6图7分析：对于第（1）问，连接AE，根据圆周角定理，由AC为直径得到AEC=90，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE=CE；对于第（2）问，要先连接DE，证明BEDBAC，然后利用相似三角形的性质可计算出AB的长，从而得到AC的长解：（1）连接AE，如图7.因为AC为O的直径，所以AEC=90，所以AEBC.又AB=AC，所以BE=CE.（2）连接DE，CD,如图7.因为BE=CE=3，所以BC=6.因为AC为O的直径，所以ADC=90.所以BAC=90-ACD.因为BED=90-DEA, DEA=ACD,所以BED=BAC.又因为DBE=CBA，所以BEDBAC，所以，即，所以BA=9，所以AC=BA=9评注：本题考查了圆周角定理及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用. 误区点拨 1对圆内接四边形的概念理解不清致错例1 （2015临沂）如图8，A，B，C是O上的三个点，若AOC=1000，则ABC等于( )A.50 B.80 C.100 D.130图9图8错解：B图10剖析：此题主要考查圆内接四边形的对角的性质，解答的前提是正确理解圆内接四边形的概念.圆内接四边形的四个顶点都要在圆上，本题中的点O不在O上，所以不能利用“对角互补”的性质.错解的原因就在于没有搞清楚概念的本质.正确的解答为：如图9，因为AOC=100，所以D=AOC=50，因为圆内接四边形的对角互补，所以ABC=180-50=130.故选D. 2忽视分类讨论致错例2 （2015绍兴）在RtABC中，C=90，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB. 若PB=4，则PA的长为 .错解：3剖析：本题应分两种情况，如图10所示，当点P与点A在BC同侧时，四边形BCAP1是矩形，P1A=BC=3；当点P与点A在BC异侧时，四边形P2EAP1是矩形，P1A=.所以PA的长为3或.跟踪训练1.（2015泰安）如图，O是ABC的外接圆，B=60，O的半径为4，则AC的长等于（ ）A B C D8第1题图第2题图2.（2015上海）如图，已知在O中，AB是弦，半径OCAB，垂足为点D，要使四边形OACB为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）A.ADBD B.ODCD C.CADCBD D.OCAOCB3.（2015丽水）如图，圆心角AOB=20，将AB旋转得到CD，则CD的度数是 度.4.（2015绍兴）如图，已知点A（0，1），B（0，-1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交轴的正半轴于点C，则BAC等于 度.第5题图第3题图第4题图5.（2015台州）如图，四边形ABCD内接于O，点E在对角线AC上，EC=BC=DC.（1）若CBD=39，求BAD的度数；（2）求证：1=2.12.2 与圆有关的位置关系基础盘点1点和圆的位置关系有三种：点在 、点在 和点在 .2.直线和圆的位置关系有三种：（1）如果一条直线与一个圆 公共点，那么就说这条直线与这个圆 ；（2）如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线就做圆的 ，这个公共点叫做切点；（3）如果一条直线与一个圆有 个公共点，那么就说这条直线与这个圆 ，此时这条直线就做圆的 ，这两个公共点叫做 点.3.圆的切线 于经过切点的 ；经过半径的外端并且 于这条半径的直线是圆的切线.4.过圆外一点可以引圆的 切线，其 相等.5.经过三角形的三个顶点可以确定一个圆，该圆的 是这个三角形的外心；和三角形各边都相切的圆是三角形的 ，其圆心叫做三角形的内心.考点呈现考点1 点和圆的位置关系例1 （2015上海改编）在矩形ABCD中，AB5，BC12如果点B在D内，那么D的半径长可以等于_(只需写出一个符合要求的数)解析：BD=13，要保证点B在D内，那么D的半径长应大于13.这样的数有无数个，只要是大于13的数就可以.例如14就符合要求.评注：点和圆的位置关系有三种，要保证一个点B在D内，那么点B到圆心D的距离应小于D的半径.考点2 三角形的外接圆和内切圆例2 2015台州）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，则其内切圆的半径为（ ）A. B.2-2 C.2- D.-1解析：如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB=90,D为外接圆，可知D为AB的中点，因此AD=2，AB=2AD=4，根据勾股定理可求得AC=2.根据内切圆性质可知，四边形EFCG是正方形，AF=AD，因此EF=FC=AC-AF=2-2.故选B.图1评注：首先根据等腰直角三角形的外接圆半径的长为2，求出等腰三角形的腰长，然后根据内切圆判定出四边形EFCG为正方形是考点3 切线长定理例3 （2015南京）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD，AB，BC分别与O相切于E，F，G三点，过点D作O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为( )A. B. C. D.2图2解析：如图2，连接OE，OD，ON，OF.因为AB=4，所以O的半径为2.易证四边形AEOF是正方形，所以AE=AF=BF=2.由切线长定理，得DN=DE=AD-AE=5-2=3，BG=BF=2.设MN=MG=x，则CM=BC-BG-MG=3-x，DM=DN+MN=3+x.因为DM2=DC2+CM2，所以(3+x)2=42+(3-x)2，所以x=,所以DM=3+=.故选A.评注：本题由切线长定理得出DN=DE及MN=MG，并利用勾股定理建立方程是.考点4 切线的性质例4 （2015舟山）如图3，在ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为（ ）A. 2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6D图3解析：如图3，作CDAB于D,则CD是C的半径.因为52=32+42，即AB2=BC2+AC2，所以ABC是直角三角形.所以由面积公式，得ABCD=ACBC，即5CD=43，所以CD=2.4，即O的半径为2.4.故选B.评注：由切线的性质得到CD为半径是关键.例5 （2015资阳）如图4，在ABC中，BC是以AB为直径的O的切线，且O与AC相交于点D，E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是O的切线；图4（2）连接AE，若C=45，求sinCAE的值.解析：（1）如图4，连接OD，BD，则OD=OB，所以ODB=OBD因为AB是直径，所以ADB=90，所以CDB=90因为E为BC的中点，所以DE=BE，所以EDB=EBD.所以ODB+EDB=OBD+EBD，即EDO=EBO因为BC是以AB为直径的O的切线，所以ABBC，所以EBO=90.所以ODE=90，所以DE是O的切线.（2）如图4，作EFCD于F，设EF=x.因为C=45，所以CEF，ABC都是等腰直角三角形，所以CF=EF=x，所以BE=CE=x，所以AB=BC=2x.在RtABE中，AE=x，所以sinCAE=评注：本题属于圆的综合问题，主要考查了圆周角定理、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、切线的判定定理、勾股定理等知识. 误区点拨1对切线的性质理解不清致错例1 （2015梅州）如图1，AB是O的弦，AC是O的切线，A为切点，BC经过圆心.若B=20，则C的大小等于（ ）A20 B25 C40 D50图1错解：C剖析：本题由于不能正确理解圆的切线的性质，导致无从下手，凭直观错误的认为C应该是B的2倍.正确的解答过程应为：如图5，连接OA.因为AC是O的切线，所以OAC=90.因为OA=OB，所以B=OAB=20，所以AOC=40，所以C=50正确答案应选D.2不能灵活运用切线的判定条件导致证明错误例2 如图2，AB是O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CEAD，交AD的延长线于点E求证：CE为O的切线错证：因为CEAD，并且点C在O上，所以CE为O的切线剖析：错误的原因在于不理解切线的判定方法.根据切线的判定方法，只要证明OCEC即可.正确的证明过程如下：连接OD，如图2.因为点C，D为半圆O的三等分点，所以BOCBOD.图2因为OA=OD,所以OADODA.又BODBAD+ODA，所以BADBOD，所以BOCBAD，所以AEOC.因为ADEC，所以OCEC，所以CE为O的切线跟踪训练1.（2015广州）已知O的半径是5，直线是O的切线，则点O到直线的距离是（ ）A.2.5 B. C.5 D.102.（2015湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D.若OD=2， tanOAB=，则AB的长是( )A.4 B.2 C.8 D.4第2题图 第3题图3.（2015宁波）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=12，过点A，D两点的O与BC边相切于点E，则O的半径为 .4.（2015常德）已知如图，以RtABC的边AC为直径作O交斜边AB于点E，连接EO并延长，交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.（1）求证：EF是O的切线；（2）若O的半径为3，EAC60，求AD的长.第4题图5.（2015呼和浩特）如图，O是ABC的外接圆，P是O外的一点，AM是O的直径，PAC=ABC.（1）求证：PA是O的切线；（2）连接PB与AC交于点D，与O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且DCF=P，求证：.第5题图12.3 有关圆的计算基础盘点1一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的 ，外接圆的半径叫做正多边形的 ，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的 ，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的 .2.圆的半径为R，n的圆心角所对的弧的长为l，则l= .3.圆心角为n，半径为R，弧长为L的扇形的面积计算公式S扇形= .考点呈现考点1 圆内接多边形例1 （2015青岛）如图1，正六边形ABCDEF内接于O，若直线PA与O相切于点A，则PAB等于（ ）A30 B35 C45 D60P图2图1解析：如图2，过点A作O的切线PA，连接OA，OB，则OAPA.因为OAB=60，所以PAB=900-60=30.故选A.评注：解答此题的关键是利用正六边形的半径等于其边长，从而得到OAB是等边三角形.考点2 弧长的计算例2 （2015滨州）如图3,O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，ACB的平分线交O于点D.（1）求BC的长；（2）求弦BD的长.图3图4解析：（1）如图4，连接OC.因为AB为O的直径，所以ACB=ADB=90.在RtABC中，因为cosBAC=,所以BAC=60，所以BOC=2BAC=120.所以BC的长为.（2）如图4，连接OD.因为CD平分ACB，所以ACD=BCD,所以AD=BD.因为AB为O的直径，所以ADB=90，BAD=ABD=45，BD=.评注：（1）熟记弧长计算公式l=是关键.图5考点3 扇形的面积公式例3 （2015自贡）如图5，AB是O的直径，弦CDAB，CDB30，CD，则阴影部分的面积为（ ）A.2 B. C. D.解析：如图5，连接OD，则阴影部分的面积即为扇形OBD的面积.因为CDAB，CDB30，所以DBO60.因为OB=OD，所以OBD为等边三角形.因为CD，CDAB，所以，所以r=2.所以扇形的面积为，即阴影部分的面积.故选D.评注：本题抓住圆的相关性质切入， 把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件得知是弦CD的中点,B是CD的中点是关键.误区点拨 1. 不能熟记有关的计算公式从而导致错误例1 （2015绍兴）如图1，四边形ABCD是O的内接四边形，O的半径为2，B=135，则的长（ ）A. B. C. D.图2图1错解：如图2，连接OA，OC.因为B=135，所以D=180135=45，则的长=.故选C.剖析：错解的原因在于不能正确理解并记住弧长的计算公式，在弧长计算公式l=中，R为圆的半径，n是圆心角的度数，错解中误把它当成圆周角的度数.正确的解答为：如图7，连接OA,OC.因为B=135，所以D=180135=45，所以AOC=90，则的长=应选B. 2. 考虑问题不全面造成解答错误 例2 （2015泉州）在以O为圆心3 cm为半径的圆周上，依次有A，B，C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于 cm；弦AC所对的弧长等于 cm错解：3，2剖析：本题的第一问正确，第二问有两个答案，AC所对的弧可以是优弧也可以是劣弧.本题漏掉了一解，考虑问题不全面，这是常出现的问题.当弦AC所对的弧是是劣弧是，弧长为2，当弦AC所对的弧为优弧时，弧长为4，所以正确答案为3，2或4跟踪训练1（2015广东）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9第1题图第2题图2.（2015苏州）如图，AB为O的切线，切点为B，连接AO，AO与O交于点C，BD为O的直径，连接CD若A=30，O的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )A B C D3如图，正六边形ABCDEF内接于O，O的半径为1，则的长为 .第3题图ABCDEF4.（2015丽水）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作O 的切线DF，交AC于点F.（1）求证：DFAC；（2）若O的半径为4，CDF=22.5，求阴影部分的面积.第4题图参考答案12.1圆的性质1.A 2.B 3.20 4.60 5.解：（1）因为BC=DC，CBD=39，所以BDC=CBD=39.因为四边形ABCD内接于O，所以BAC=BDC，CAD=CBD.所以BAD=BAC+CAD=BDC+CBD=78.（2）证明：因为BC=DC，所以BDC=CBD.因为EC=BC，所以CBE=CEB.因为四边形ABCD内接于O，所以BAC=BDC.所以1=CBE