高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量的数量积学案苏教版.docx

3.1.5空间向量的数量积1理解空间向量的夹角的概念，理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律(重点)2掌握空间向量的数量积及应用(重点、难点)3理解向量夹角与直线所成角的区别(易错点)基础初探教材整理1空间向量的夹角阅读教材P91P92上半部分，完成下列问题a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与向量b的夹角，记作a，b，a，b的范围是0，如果a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.如图3125，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求向量与夹角的大小图3125【解】，CAD1的大小就等于，ACD1为正三角形，CAD1，.向量与夹角的大小为.教材整理2空间向量的数量积阅读教材P92例1以上的部分，完成下列问题1数量积的定义设a，b是空间两个非零向量，我们把数量|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b规定：零向量与任一向量的数量积为0.2数量积的性质(1)cosa，b(a，b是两个非零向量)(2)abab0(a，b是两个非零向量)(3)|a|2aaa2.3数量积的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)(R)；(3)a(bc)abac.1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若ab0，则a0或b0.()(2)在ABC中，B.()(3)两个向量的数量积是数量，而不是向量()(4)若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的充要条件()【答案】(1)(2)(3)(4)2已知|a|，|b|，ab，则a与b的夹角为_. 【导学号：09390075】【解析】cosa，b，又a，b0，a，b.【答案】教材整理3数量积的坐标表示阅读教材P93P94例3以上的部分，完成下列问题1若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)abx1x2y1y2z1z2.(2)abab0x1x2y1y2z1z20(a0，b0)(3)|a|.(4)cosa，b(a0，b0)2空间两点间距离公式设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB.1若a(1,0,2)，b(x，y,1)，且ab，则x_.【解析】ab，abx20，解得x2.【答案】22与向量a(1,2,2)方向相同的单位向量是_【解析】|a|3，故与a方向相同的单位向量是(1,2,2).【答案】质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型求空间向量的数量积已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点求下列向量的数量积(1)；(2).【精彩点拨】法一(基向量法)：与，与的夹角不易求，可考虑用向量，表示向量，再求结论即可法二(坐标法)：建系求相关点坐标向量坐标数量积【自主解答】法一(基向量法)：如图所示，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.法二(坐标法)：以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(2,4,0)，E(1,0,1)，D1(0,4,2)，F(0,2,2)，A(0,0,0)，B1(2,0,2)，(0,4,0)，(1,4,1)，(2,2,2)，(2,0,2)，(1)0(1)440116.(2)2220220.解决此类问题的常用方法1基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定义计算注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量2坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法比较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可再练一题1在上述例1中，求.【解】法一：(abc)|a|2|b|22.法二：以A为原点建立空间直角坐标系，则E(1,0,1)，F(0,2,2)，C1(2,4,2)，(1,2,1)，(2,2,0)，1222102.利用数量积求夹角和距离如图3126所示，在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60.(1)求AC的长；(2)求与的夹角的余弦值图3126【精彩点拨】求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示AC的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用【自主解答】(1)，|2()2|2|2|22()4232522(0107.5)85.|.(2)法一：设与的夹角为，ABCD是矩形，|5.由余弦定理可得cos .法二：设a，b，c，依题意得(abc)(ab)a22abb2acbc160945cos 6035cos 6016910，cos .1求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a|2aa，即|a|通过向量运算求|a|.2对于空间向量a，b，有cosa，b.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为0，而异面直线所成的角的取值范围为，故a，b时，它们相等；而当a，b时，它们互补再练一题2如图3127，正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AB的中点，设a，b，c.(1)用a，b，c分别表示向量，；(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值图3127【解】(1)()()()(ac)(bc)(ab2c)，()()(ab)b(a2b)(2)设棱长为1，即|a|b|c|1且a，bb，cc，a，则|.又(ab2c)(a2b)(a2ab2ac2ab2b24bc)，cos，.异面直线DM与CN所成角的余弦值为.利用数量积解决平行和垂直问题已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2)(1)若ab，分别求与m的值；(2)若|a|，且与c(2，2，)垂直，求a.【精彩点拨】利用向量平行、垂直、向量的模列方程组求解【自主解答】(1)由ab，得(1,1,2)k(6,2m1,2)，解得实数，m3.(2)|a|，且ac，化简，得解得1.因此，a(0,1，2)向量平行与垂直问题主要有两种题型1平行与垂直的判断2利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用再练一题3如图3128所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，M是A1B1的中点求证：A1BC1M.图3128【证明】如图所示，以，为正交基底，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，A1(1,0,2)，2)，B1(0,1,2)，则M，2，于是(1,1，2)，00，故A1BC1M.探究共研型空间向量数量积的运算特征探究1数量积运算是否满足消去律？【提示】对于三个不为0的实数a，b，c，若abac，则bc.对于三个非零向量a，b，c，若abac，不能得出bc，即向量不能约分如图，在三棱锥SABC中，SC平面ABC，则SCAC，SCBC.设a，b，c，则abac0，但bc.探究2数量积运算是否有除法？【提示】数量积的运算不满足除法，即对于向量a，b，若abk，不能得到a，例如当非零向量a，b垂直时，ab0，但a显然是没有意义的探究3数量积运算满足结合律吗？【提示】由定义得(ab)c(|a|b|cosa，b)c，即(ab)c1c；a(bc)a(|b|c|cosb，c)，即a(bc)2a，因此，(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，所以(ab)ca(bc)不一定成立如图3129，已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)；(2)()()；(3)|.图3129【精彩点拨】在正四面体OABC中，的模和夹角都已知，因此可以先把相关向量用，线性表示，再结合空间向量数量积的运算律与运算性质求解即可【自主解答】在正四面体OABC中，|1，60.(1)|cosAOB11cos 60.(2)()()()()()(2)2222122211cos 6012211cos 60111111.(3)|.再练一题4已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_. 【导学号：09390076】【解析】由条件知，(a3b)(7a5b)7|a|216ab15|b|20，及(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0.两式相减，得46ab23|b|2，ab|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b0，180，a，b60.【答案】60构建体系1已知向量a(4，2，4)，b(6，3,2)，则(ab)(ab)的值为_【解析】ab(10，5，2)，ab(2,1，6)，(ab)(ab)2051213.【答案】132已知向量a(2，3,0)，b(k,0,3)若a，b成120的角，则k_.【解析】cos a，b，得k.【答案】3如图3130，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_图3130【解析】，设棱长为1.又()()000，cos，0，直线AB1与BM所成的角为90.【答案】904已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则_.【解析】，()2240022.【答案】25如图3131所示，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值图3131【解】由题意知，|cos ，|cos ， 84cos 13586cos 1202416，cos ，OA与BC所成角的余弦值为.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足条件(ca)(2b)2，则x_.【解析】a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，(ca)(2b)2(1x)2，x2.【答案】22在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于_. 【导学号：09390077】【解析】设a，b，c，则abc，2a2b2c22ac2bc2ca25，因此|5.【答案】53已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_【解析】(0,3,3)，(1,1,0)，cos，60.【答案】604已知|a|2，|b|3，a，b60，则|2a3b|_.【解析】ab23cos 603，|2a3b|.【答案】5如图3132,120的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在两个半平面内，且都垂直于AB.若AB4，AC6，BD8，则CD的长为_图3132【解析】ACAB，BDAB，0，0.又二面角为120，60，|2()22222()164，|2.【答案】26如图3133，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD，则异面直线BF与ED所成角的大小是_图3133【解析】分别以AB，AD，AF为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，F(0,0,1)，M.则(1,0,1)，(0,1，1)，cos，120.所以异面直线BF与ED所成角的大小为18012060.【答案】607如图3134所示，已知直线AB平面，BC，BCCD，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，则A，D两点间的距离为_图3134【解析】，DCF30，DF平面，CDF60，|2()2444222cos 1208，|2.【答案】28若(4,6，1)，(4,3，2)，|a|1，且a，a，则a_.【解析】设a(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得：或【答案】或二、解答题9.如图3135，已知正方体ABCDABCD，CD与DC相交于点O，连接AO，求证：图3135(1)AOCD；(2)AC平面BCD.【证明】(1)因为()，因为，所以(2)()(22)(|2|2)0，所以，故AOCD.(2)因为()()，可知0，0，0，|2，|2，0，所以|2|20，所以，所以ACBC.同理可证，ACBD.又BC，BD平面BCD，BCBDB，所以AC平面BCD.10.如图3136，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F，G分别为AB，SC，SD的中点若ABa，SDb，图3136(1)求|；(2)求cos，【解】如图，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，S(0,0，b)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，E，F，G，(a,0,0)(1)| .(2)cos，.能力提升1已知a(1t,1t，t)，b(2，t，t)，则|ba|的最小值为_. 【导学号：09390078】【解析】ba(1t,2t1,0)，|ba|，当t时，|ba|取得最小值.【答案】2已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)，则以，为边的平行四边形的面积为_【解析】由题意可得，(2，1,3)，(1，3，2)，cos，.sin，以，为边的平行四边形的面积S2|sin，147.【答案】73如图3137所示，已知PA平面ABC，ABC120，PAABBC6，则PC等于_图3137【解析】法一：因为，所以22222363636236cos 60144，所以|12，即P