《模糊集的基本概念》PPT课件.pptx

模糊集的基本概念 为什么需要模糊理论 现实生活中充满了不确定、含糊的信息 很难被翻译成精确的正规、理论化的定义 虽然可以被看成是一种缺点，但是却得到了成功的 应用 真/假排中律“Law-of-the-excluded- middle” ? 假真 模糊概念 秃子悖论: 天下所有的人都是秃子 设头发根数nn=1 显然 若n=k 为秃子 n=k+1 亦为秃子 模糊概念：从属于该概念到不属于该概念之间 无明显分界线 年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、 小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱、 软、硬、阴天、多云、暴雨、清晨等。 模糊概念 共同特点：模糊概念的外延不清 楚。 模糊概念导致模糊现象 模糊数学就是用数学方法研究模糊现象。 为什么需要模糊理论 处理现实世界中的不精确信息 早期尝试：多值逻辑 一种非经典的逻辑系统。在经典逻辑中，每一个命题皆取真假二 值之一为值 ，每一命题或者真或者假。但实际上，一个命题可以 不是二值的。命题可以有三值，推而广之，还可以有四值，五值。 因此，对每一自然数n，有n值，以至于无穷多值。研究这类命题之 间逻辑关系的理论，即为多值逻辑。 1965 Lotfi Zadeh 无穷值逻辑=模糊集 排中律就可以表示成一个概率论的特例 未知假真 产生 1965年，L.A. Zadeh（扎德） 发表了文章模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control, 8, 338-353 ) 基本思想 用属于程度代替属于或不属于。描述差异的中间过 渡。是精确性对模糊性的一种逼近。 某个人属于秃子的程度为0.8, 另一个人属于 秃子的程度为0.3等. 首次成功的用数学方法描述了模糊概念。 模糊数学的产生与基本思想 提供了一种解释排中律的方法 不再有区域是含糊的或被忽略了的 为什么需要模糊理论 假真 什么是模糊理论 建立在模糊集的基础上 模糊集为刻画不明确信息 提供了方法 可以运用人的语言来描述 模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法. 众所周知， 经典数学是以精确性为特征的. 然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值 的. 甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好. 例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽 边黑色眼镜的中年男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息 大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念 ，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以 接到这个人. 模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及 部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等 方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用. 在日常生活中，我们遇到的概念不外乎两类。 一类是清晰的概念，对象是否属于这个概念是明确的。例如 人、自然 数、正方形等。 要么是人，要么不是人。 要么是自然数，要么不是自然数。 要么是正方形，要么不是正方形。 另一类对象概念从属的界限是模糊的，随判断人的思维而定。 例如:好不好?快不快？快乐的很，好得很等等。 在客观世界中，诸如上述的模糊概念要比清晰概念多得多。 对于这类模糊现象，过去已有的数学模型难以适用，需要 形成新的理论和方法，即在数学和模糊现象之间架起一座 桥梁。它，就是我们要讲的“模糊数学”。 课程认识 用数学的眼光看世界，可把我们身边的现象划分为 ： 数学 经典（精确）数学确定性 不确定性 随机性 模糊性 随机数学 模糊数学 一、集合 二、关系 模糊理论的数学基础 普通集合与普通关系 l 集合的有关概念 l 集合的运算 l 集合运算的性质 l 映射与扩张 l 集合的特征函数 l 直积 l 关系的概念 l 关系的运算 l 特征关系 l 等价关系与划分 l 偏序集 l 格 概念、内涵、外延 每一个概念都有一定的外延和内涵 概念的外延就是适合这个概念的一切对象的范围 概念的内涵就是这个概念所反映的对象的本质属 性的总和 一、集合 概念、内涵、外延 概念：青菜 内涵： 一种植物，绿色，一般叶子直立，可食用 外延： 韭菜、芹菜、芥兰、白菜、葱等等 一、集合 概念与集合 概念可以用集合来表示 我们讨论具体问题时，要有论域（议题限制在一 定范围内） 例如： 在论域“人”上，讨论概念“男子” 一、集合 概念与集合 从集合“人”中挑出所有男子，构成一个子集 A A是概念“男子”的 外延 是概念“男子”的集合表现 概念可以用集合来表示 一、集合 经典集合的回顾 十九世纪末，康托（Cantor）建立了经典集合论。 经典集合论是现代数学各个分支的基础，其本身也是一门严 格体系的数学分支。 我们可以从常见事物中，抽象出集合这一概念： 具有某种特定属性的，彼此可以区别的对象的全体，叫做集合。 每个集合里通常包含有若干个体，集合里的每个个体，成为集合中 的一个元素。 同一集合中的元素都具有某种共性，该集合被讨论的全体对象，称 为论域。 一、集合 相等 : 空集:不含任何元素的集合, 子集: 真子集: 则称 1. 集合的有关概念 幂集:U的所有子集的集合称为U的幂集,记为P(U) 例如： 定理:如果有限集合U有n个元素，则其幂集P(U)有 2n 个元 素。 例：P() = P(P() = , 1. 集合的有关概念 注意点： 和 ， A= ,则有 A, A， A, A 例题：A=a, b, c 则a A, b A, c A a A, bA, c A 表“或” 表“且” 表“非” 差 2. 集合的运算 AB E AB= A B E AB AB A B E AB AB E 2. 集合的运算 A-B A E A 2. 集合的运算 (1) 幂等律(idempotence) (2) 交换律(commutativity) (3) 结合律(associativity) (4) 吸收律(absorption laws) .集合运算的性质 (5) 分配律(distributivity) (6) 存在最大最小元 (7) 还原律(involution) .集合运算的性质 (8) De Morgan 德.摩根律（对偶律） (9) 补余律(complementation) 推广： 分配律、对偶律等可推广 .集合运算的性质 集合A1，2，n，它含有n个元素,可以说这 个集合的基数是n，记作 card An 也可以记为An， 空集的基数是 即0 4. 集合中元素的计数 有穷集、无穷集 定义: 设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数 ），使得Acard An，则称A为有穷集，否 则称A为无穷集。 例如，a,b,c是有穷集，而N，Z，Q，R都是无穷 集。 （1） 映射(mapping):实际是函数概念的推广 记号： 例1 ： 设都是集合，若存在对应关系 f, 使 都有唯一的 与之相对应，则称f 是 映X入Y的映射。 读作f 映X入Y（映入），y称为x在影射f下的像，x称为原像。 5. 映射与扩张 （2） 特殊映射 单射(injection)：且对任意 也称f为一一的。 满射(surjection)：且对任意 都有使得 则称f为满射。 也称f 映X到Y上（映上）。 f 为从X到Y的满射当且仅当f(X)=Y. 5. 映射与扩张 证： 取大运算,如 23 = 3 故 称集合A的特征函 数。 6. 集合的特征函数 例题: 则 则 6. 集合的特征函数 类似可得： 证： 取小运算, 如23 = 2 6. 集合的特征函数 推广： 6. 集合的特征函数 定义：设A和B是任意两个集合，用A中的元素为第一元素,B 中的元素为第二元素构成的有序对，所有这样的有序对组成 的集合称为集合A和B的笛卡儿积，也称集合A和B的直乘积， 记做A B 一种集合合成的方法，把集合A，B合成集合AB，规定 ABxA,yB ，不能写作BA。 1. 直积(Descartes product) n阶笛卡儿积 将两个集合的笛卡儿积推广到n个集合 二、关系 1. 直积(Descartes product) 称为 例1 例2R表示实数集， 二、关系 例3 设集合 A=a,b,B=1,2,3,C=d, 求ABC，BA。 解 : 先计算AB a,1, a,2,a,3, b,1, b,2,b,3 ABC a,1, a,2,a,3, b,1, b,2,b,3d , , , , BA, 例4 设集合A1,2,求AP(A)。 解: P(A)=,1,2,1,2 AP(A)1,2,1,2,1,2 =, , , 1.直积 注意：或(1) (2) (3) 直积不适合交换律和结合律 例1 设一旅馆有n个房间，每个房间可住两个旅客，所以一共可 住2n个旅客，在旅馆内，旅客与房间有一定关系，用 R 表示“某 旅客住在某房间”这种关系。 设 n=3 表示旅馆共有3个房间, 分别记以 1, 2, 3 可住6个旅客 分别记以 a, b, c, d, e, f , 这些旅客住的房间如右下图所示 1 2 3 a b c d e f 满足 R 的所有关系可看成是一个有序偶的集 合，这个集合可叫 R R=, 若令 A = a, b, c, d, e, f B = 1, 2, 3 则例中关系的每一元素均属于AB 亦即 R 是AB的子集，并称此关系为从 A 到 B 的 关系 R。 关系的引入 2. 关系的概念 注1.关系就是集合， 注2.从X到Y的关系与从Y到X关系不同。 例2 2. 关系的概念 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系，记为 R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系，记为 R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y 0,1 实际上是 X Y 的子集R上的特征函数. 2. 关系的概念 3. 关系的运算 例3 3. 关系的运算 关系的矩阵表示法 设X = x1, x2, , xm,Y= y1, y2, , yn，R为 从 X 到 Y 的二元关系，记 rij =R(xi , yj )，R = (rij)mn， 则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵. 布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵. 3. 关系的运算 关系合成的矩阵表示法 设 X = x1, x2, , xm, Y = y1 , y2 , , ys, Z = z1, z2, , zn，且X 到Y 的关系 R1 = (aik)ms， Y 到 Z 的关系 R2 = (bkj)sn， 则X 到Z 的关系可表示为矩阵的合成： R1 R2 = (cij)mn， 其中cij = (aikbkj) | 1ks. 3. 关系的运算 例4 设 X =1, 2, 3, 4, Y = 2, 3, 4, Z = 1, 2, 3, R1 是 X 到 Y 的关系, R2 是Y 到 Z 的关系, R1 =(x, y) | x + y = 6 = (2,4), (3,3), (4,2), R2 =(y, z) | y z = 1 = (2,1), (3,2), (4,3), 则R1与 R2的合成 R1 R2=(x, z) | x + z = 5= (2,3), (3,2), (4,1). 3. 关系的运算 合成( )运算的性质： 性质1：(A B) C = A (B C)；满足结合律 性质2：Ak Al = Ak + l，(Am)n = Amn； 性质3：A ( BC ) = ( A B )( A C ) ； ( BC ) A = ( B A )( C A ) ； 分配律（对分配） 性质4：O A = A O = O，I A=A I =A； 0-1律 性质5：A B，C D A C B D. O为零矩阵，I 为 n 阶单位方阵. 3. 关系的运算 例 设A=1,2,3,4，B=2,3,4，C=1,2,3，D=4,5,6 A到B的关系R1=(2,4),(2,3),(4,2), B到C的关系R2=(2,1),(3,2),(4,3), C到D的关系R3=(2,4),(1,5),(2,6),(3,6) 则 A到C的关系R1。R2=(2,3),(2,2),(4,1). (R1。R2) 。R3=(2,6),(2,4),(4,5). 则 B到D的关系R2。R3=(2,5),(3,4),(3,6),(4,6). R1。(R2。R3) =(2,6),(2,4),(4,5). 满足结合律 3. 关系的运算 注意合成运算的交运算的分配律不成立！ 举例 3. 关系的运算 称为R的特征关系。 4. 特征关系 4. 特征关系 在我们的周围有众多的事情要我们去处理,怎么高效 率的处理这些问题呢?一个简单的方法就是分门别类 地去处理,而分门别类地去处理事情的数学基础是利 用等价关系去分类. 5. 等价关系与划分 则称R是一个X上的等价关系。 5. 等价关系与划分 例1 5. 等价关系与划分 例2：在非空集A的幂集P(A)上给定包含关系 R1，真包含关系R2，以及不相交关系R3： 判断是否自反、传递、对称？ 5. 等价关系与划分 R1具有自反性，传递性，但不具备对称性。 R2具有传递性，但不具备对称性，也不具备自反 性。 R3具有对称性，但不具备自反性和传递性， 5. 等价关系与划分 例3：设P是正整数，在所有整数的集合Z上给定关系R ： R具备自反性、对称性及传递性吗？ 5. 等价关系与划分 几点说明： 对称关系不是反对称关系（aRb且bRa得到b=a)的反义。 有些关系既是对称的又是反对称的，比如“等于”。 有些关系既不是对称的也不是反对称的，比如整数的“整除” 。 有些关系既是对称的但不是反对称的，比如“模n同余。 有些关系不是对称的，但是反对称的，比如“小于”。 5. 等价关系与划分 练习： 任何非空集合上的空关系都是对称的、传递的、非自反的。 其上的相等关系是自反的、对称的、传递的。 三角形的相似关系、全等关系是自反的、对称的、传递的。 正整数集合上的整除关系是自反的、传递的、不对称的。 但整数集合上的整除关系只有传递性。（注意零点） 实数集上的等于关系为自反的、对称的、传递的。小于等于 关系为自反的、传递的，但非对称的。小于关系是传递的、 非对称的、非自反的。 5. 等价关系与划分 判断一个关系是否具有某种性质，除直接用定义外，还有以下 充要条件： 设R为 X = x1, x2, , xn 上的关系，则其关系矩阵R = (rij)nn 为 n 阶方阵. (1) R具有自反性 I R； (2) R具有对称性 RT = R ； (3) R具有传递性 R2 R . 若R具有自反性，则 I R R2 R3 5. 等价关系与划分 下面证明：R具有传递性 R2 R.R=(rij)nn 设R具有传递性, 即对任意的 i , j , s，若有ris =1，rsj=1，则有 rij=1. 对任意的 i , j，若 (rikrkj) | 1kn=0， 则 (rikrkj) | 1knrij . 若(rikrkj) | 1kn = 1，则存在1sn， 使得 : (risrsj) = 1， 5. 等价关系与划分 即ris= 1, rsj= 1. 由于R具有传递性，则rij =1，所以 (rikrkj) | 1kn = rij . 综上所述 R2 R. 设R2 R，则对任意的 i , j , k，若有 rik =1， rkj = 1， 即(rikrkj) = 1，因此 (risrsj) | 1sn=1， 由R2 R，得rij=1，所以R具有传递性. 5. 等价关系与划分 集合表达式 关系性质 关系图特征关系矩阵特性 自反性 反自反性 反对称性 传递性 对称性 每一个结点有一环 每一结点均无环 若有边则有双边 （方向相反） 若有边则单边（没 有边成对出现） 若有双边则必有双环， 有三角形必是向量三角 形，且如果结点v1, v2 vm间有边，则必有边v1, vm 主对角线元素为1 主对角线元素为0 矩阵为对称矩阵 5. 等价关系与划分 存在既不是自反的也不是反自反的二元关系 如：设A=1,2,3，R是A上的关系， R=,缺少 ,则R既不是自反的， 也不是反自反的。 判断一个关系是否是反对称，通俗的讲就是对于 所有的a,bA，若ab,则序偶,至多 只有一个出现在关系R中，如 R=,. 5. 等价关系与划分 例1. 设A=a,b,c,以下各关系Ri(i=1,2, 8)均为A上二元关系。 是否自反？ 是否对称？ 是否传递？ 5. 等价关系与划分 例2：集合A=1,2, ,8上的关系R=x,yxy(mod3), 其中x y(mod 3)表示x-y可被3整除，对任意 的x,y,zA，x-x可被3整除;若x-y可被3整除， 则y-x也可被3整除；若x-y和y-z可被3整除，则x- z=(x-y)+(y-z)可被3整除，所以，R具有自反性、 对称性和传递性，R是A上的等价关系。 练习题：设A=1,2,3,4,5,A上关系R为R=a-b是偶数， 问R是否具有自反性、对称性、传递性？ 5. 等价关系与划分 例3. 红，白，黄三色球若干， 球x与球y相同颜色。证明：R是等价关系。 结论：R是等价关系。 5. 等价关系与划分 设R是集合A上的等价关系，对任意xA，在A中一切 与x有等价关系R的元素组成的集合，称为“由x产生关 于R的等价类”。简称“x的等价类”，记为xR. 等价类： 5. 等价关系与划分 5. 等价关系与划分 例5.考虑自然数集N上的同余关系 的等价类。 因为任何自然数除以3，其余数只能是0，1，2，所以在 集合N上只有由0，1，2产生关于 的3个等价 类（约定 ）： 这三个等价类满足: 称这三个子集为集合N的一个划分。 5. 等价关系与划分 定理：若R 是集合上的等价关系，则等价类的集合 称集合 Ai 是集合 A 的一个划分.每个集合Ai叫做这 个划分的一个类。 定义：设A是一个非空集，而Ai， （指标集K可以是有 限的，也可以是无限的）是集合A的某些非空子集，如果 构成A的一个划分。 5. 等价关系与划分 精确数学vs模糊数学 精确数学：基础经典集合论；一个对象和一个 集合的关系只有两种可能：属于、不属于； 模糊数学：基础模糊集合论；一个对象和一个 模糊集合的关系：对象隶属于该模糊集合的程度（ 隶属度）。 特征函数与隶属函数 特征函数（经典集合） 经典集合论中，集合通过特征函数来刻画 每个集合A对应一个特征函数CA(x) 特征函数的定义 特征函数与隶属函数 隶属函数 模糊集合论中，模糊集合通过隶属函数来刻画 隶属函数是将特征函数的值域从0，1推广到0， 1 特征函数记为A(u)，u论域U 模糊子集的定义 设给定论域U，U到0, 1的任一映射A ：U 0, 1 都确定U的一个模糊子集A A叫做A的隶属函数， A(u) （ uU ）表示 u隶属于模糊子集A的程度 ，称之为u对A的隶属度 模糊集合的例子 设论域U0, 100表示人的年龄，“年轻Y”与“年老O”两 个模糊集，其隶属函数u(x)为： u(x) 1 年轻 2550100 x 年老 Y（30）0.5 Y（35）0.2 O（55）0.5 O（80）0.8 模糊集合与普通集合 模糊集合A由隶属函数A刻画 普通集合由特征函数CA刻画 什么时候模糊集合退化成普通集合？ 普通集合是模糊集的特例，特征函数即为隶属函数 空集的隶属函数为 全集的隶属函数为 模糊集合与普通集合 例：某小组有五个同学，亦即x1,x2,x3,x4,x5,设论域 U=x1,x2,x3,x4,x5，现分别对每个同学的性格稳定程度打分 ，按百分制给分再除以100，这实际上就是给定一个从U到 0,1闭区间的映射，例如： 这样就确定了一个模糊子集A，它表示出小组的同学对“ 性格稳重”这个模糊概念的符合程度。 U上的全体模糊子集构成的集合类，记为F(U)，显然有 其中 P(U) 是 U 的幂集。 （由集合 U 的所有子集所组成的集合称为 U 的幂集， 记为 ） 用模糊集合描述模糊现象时，隶属函数的确定是关键，一 般都是根据实际经验和数学方法结合起来去处理它。 模糊集合与普通集合 三类隶属函数 S函数（偏大型隶属函数） 对于指定的参数 是 单调递 增连续函数 例如：模糊集“年老”的隶属函数可表示为 Z函数（偏小型隶属函数） 对指定的参数 是 的单调递 减连续函数 例如：模糊集“年轻”的隶属函数可表示为 三类隶属函数 函数（中间型隶属函数） 对指定参数 是 的连 续函数。且 ；当 时单调递增；当 时单调递减。 三类隶属函数 模糊集合的表示法1zadeh表示法 论域U是有限集x1, x2, , xn,U的任一模糊子集A，其隶属 函数为i =A(xi) 模糊子集A记作 A = i=1n i / xi “i=1n i / xi”不是分式求和，只是一 符号而已。 “分母”是论域U的元素 “分子”是相应元素的隶属度 当隶属度为0时，该项可以不写入 注意 模糊集合的表示法1 模糊集合表示方法 1例. 论域 = Bill, John, Einstein, Mike, Tom smart程度：0.85，0.75，0.98，0.30，0.60 则论域中元素对“smart”这模糊概念的符合程度可 以用模糊子集A来表示 A = 0.85/Bill + 0.75/John+ 0.98/Einstein + 0.30/Mike + 0.60/Tom 那么 为方便记为 例1： 表示“圆糊糊的物体 ” a b c d e 模糊集合的表示法1 模糊集合的表示法2、3 序偶表示法 A(x1 ,1),(x2 ,2),(xn ,n) A = (Bill, 0.85), (John, 0.75), (Einstein,0.98), (Mike, 0.30), (Tom, 0.60) 向量表示法 A1, 2 , ,n A = 0.85,0.75,0.98,0.30,0.60 模糊集合的表示法-无限集 当论域U为无限集时，A = xU A(x) / x 这里的积分号不表示积分，也不表示求 和，而是表示各个元素与隶属度对应关系的一 个总括。 这种表示法可以推广到有限、无限、离散、连续 等各种情况。 注意 模糊集合的表示法-无限集 设论域U0,100表示人的年龄，“年轻Y”与“年 老O”两个模糊集。 定义模糊集合的运算方法，与定义普通集合的运 算方法一样，是利用参与模糊集合的隶属函数， 来定义运算结果所得新模糊集合的隶属函数。 两模糊集合的具体运算，实际上就是逐点地对 隶属度作相应的运算。包括： 交 并 补 模糊子集的运算 设A、B为论域U上的模糊集 A= 对任何 uU，A(u) = 0 A = B 对任何 uU，A(u) =B(u) A B 对任何 uU，A(u) B(u) A B 对任何 uU，A(u) B(u) A B 对任何 uU，A(u) B(u) Ac 对任何 uU，1A(u) 模糊子集的运算 模糊集合的并、交、补集合 模糊集合的运算 例 论域U=x1 , x2 , x3 , x4 , x5 A, B是论域U的两个模糊子集， A = 0.2/x1+ 0.7/x2 + 1/x3 + 0.5/x5 B = 0.5/x1+ 0.3/x2 + 0.1/x4+0.7/x5 请您：计算A,B的余集，AB，AB 模糊集合的运算 运算的含义 若U表示商品集合，A表示商品质量好，B表示商 品质量坏。则Ac表示商品质量不好，可见AcB， 即，商品质量不好，并不代表商品质量坏。模糊 集合能够很好的表现这些概念的差异。 例：设论域 U=a,b,c,d,e 是一个5人组成的集合， 表示 “高个子” 的集合， 表示“胖子”的集合， 则“或高或胖” 则“又高又胖” 则“不高” 模糊集合的运算 例 设论域U0,100表示人的年龄，“年轻Y”与“年老 O”两个模糊集。给出模糊集合YO，YO的隶属 函数曲线. 解：先求两曲线的交点，即解方程 得近似解 ，于 是 例 例 （1）幂等律：AAA , AA=A; （2）交换律：AB=BA, AB=BA; （3）结合律：(AB)C=A(B C), (AB)C=A(BC); （4）吸收律：A(AB)= A, A(AB)=A; （5）分配律: (AB)C=( AC)(BC), (AB)C= ( AC)(BC); 模糊集合运算性质 （6）0-1律：AA, A; UA=U,UA=A; （7）还原律：(Ac)c=A; （8）对偶律：(AB)c= AcBc, (AB)c= AcBc. 互余律不成立！ AcA U, AAc 注意 模糊集合运算性质 推广到有限个模糊集： 对任意多个模糊集： 模糊集合运算 环和、乘积算子： 运算性质： 满足：交换律、结合律、还原律、0-1律、对偶律 不满足：分配律、吸收律、幂等律、排中律 模糊集合的其它运算 有界算子： 运算性质： 满足：交换律、结合律、还原律、 0-1律、对偶 律、排中律 不满足：分配律、吸收律、幂等律、 模糊集合的其它运算 例1、设有论域：U= 1,2,3,4,5 ，用模糊集表示出模糊 概念“大数”。 解：设A表示“大数”的模糊集，A为其隶属函数。 则有： A= 0, 0.1, 0.5, 0.8, 1 其中： A(1)=0，A(2)=0.1，A(3)=0.5，A(4)=0.8，A(5)=1 例 例2、设有论域：U= 甲，乙，丙 确定一个模糊集A，以表示他们分别对“学习好”的隶属程度 解：假设他们的平均成绩分别为：98分，72分，86分，设映射为 平均成绩除以100。则有隶属度： A(甲)=0.98，A(乙)=0.72，A(丙)=0.86 模糊集A= 0.98, 0.72, 0.86 例 例3、设U= u1,u2,u3 A=0.3/ u1+0.8/ u2+0.6/ u3 B=0.6/ u1+0.4/ u2+0.7/ u3 求：AB, AB及Ac. 解：AB =(0.30.6) / u1+(0.8 0.4) / u2 +(0.6 0.7) / u3 =0.3 / u1+0.4 / u2+0.6 / u3 AB =(0.30.6) / u1+(0.8 0.4) / u2+(0.6 0.7) / u3 =0.6 / u1+0.8 / u2+0.7 / u3 Ac=(1-0.3) / u1+(1-0.8) / u2+(1-0.6) / u3 =0.7 / u1+0.2 / u2+0.4 / u3 例 模糊集合与经典集合的联系 由模糊集合理论可知，模糊集合是通过隶属函数 来定义的。 如果模糊集合 的任意元素x对于 的隶属度达到 或超过一个常量 者，就算做经典集合B的成员的话 ， 那么模糊集合 就变成了经典集合A。 例如，“高个子”是个模糊集合，而“身高175cm以上的 人”却是个经典集合。 为此便引出了“ ”的概念。 模糊集的分解（分解定理） 引例： 若要求至少应达到0.5 水平，则有夏、商、西周、春 秋、战国 若要求至少应达到0.7 水平，则有夏、商、西周、春秋 模糊集的分解（分解定理） 定义：设 是论域， 例如： 称为阈值 称 为 强截集；的强称为 -A 奴隶社会， 夏，商，西周，春秋，战国 夏，商，西周，春秋 显然， 模糊集的分解（分解定理） 一个模糊集A的水平截集是普通集合，其特征函数为 ： 例：设论域U=a,b,c,d,e,f上的模糊集合A为： 则： 根据 截集定义，得 ： 模糊集的分解（分解定理） 截集（例） 例：设模糊集合A，隶属函数为 A(x)=exp-(x-a)2/2 , xR, 其中aR,0, 称A为以 (a,)为参数的正态模糊集, 对于00为A的支集，记SuppA=A0； 称集合KerA=xA(x)=1为A的核，记KerA=A1.若KerA ，则称A为正规模糊集。 集合BdA x| 00 是隶属函数大于0的元素 的最大集合。A的边界 BdA则是介于完全属于A 与完全不属于A之间的元 素的全体，这正表明 了A 的边界是不分明的。 截集（几个定义） A奴隶社会 = 1/夏 + 1/商 + 0.9/西周 + 0.7/春秋+ 0.5/战国+0.4/秦+0.3/西 汉+0.1/东汉 写出SuppA、KerA及BdA. 截集（几个定义） 例1、设有模糊集： A=0.3/u1+0.7/u2+1/u3+0.6/u4+0.5/u5 且分别为1，0.6，0.5，0.3,分别求其相应的水平截 集、核及支集。 解：（1）水平截集 A1= u3 , A0.6= u2,u3,u4 , A0.5= u2,u3,u4,u5 A0.3= u1,u2,u3,u4,u5 （2）核、支集 KerA= u3 , SuppA= u1,u2,u3,u4,u5 截集（几个定义） 定义: 设 当A为经典集合时， 设 定义为： A是X的一个模糊集合，A仍然表示X的一个模糊子集 ，称为与A的“乘积”。 分