全国高考数学复习第三篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用习题理.docx

第6节正弦定理和余弦定理及其应用【选题明细表】知识点、方法题号用正、余弦定理解三角形1,5,7,12,15与面积相关的问题4,6,9判断三角形的形状与实际应用问题2,3,8综合问题10,11,13,14,16基础对点练(时间:30分钟)1.(2016北京大兴区模拟)在ABC中,a=,b=,B=,则A等于(B)(A)(B)(C)(D)或解析:由正弦定理得sin A=,又ba,所以A=.故选B.2.若=,则ABC的形状为(B)(A)等边三角形(B)等腰直角三角形(C)有一个角为30的直角三角形(D)有一个角为30的等腰三角形解析:由正弦定理和已知=,得sin B=cos B,sin C=cos C,所以B=45,C=45.故选B.3.(2016厦门一中期中)如果D,C,B在地平面同一直线上,DC=10 m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30和45,则A点离地面的高AB等于(D)(A)10 m (B)5 m(C)5(-1)m(D)5(+1)m解析:-=10,解得AB=5(+1).故选D.4.(2016黑龙江哈尔滨模拟)在ABC中,AB=,AC=1,B=30,ABC的面积为,则C等于(C)(A)30(B)45(C)60(D)75解析:因为SABC=ABACsin A=,即1sin A=,所以sin A=1,所以A=90,所以C=60.故选C.5.(2016河南郑州一测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若=,则cos B等于(B)(A)-(B)(C)-(D)解析:由正弦定理及=,得=.所以tan B=,又0B,所以B=,cos B=.故选B.6.(2016河南六市联考)在锐角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=,a=2,SABC=,则b的值为(A)(A)(B)(C)2(D)2解析:由SABC=bcsin A=,得bc=3,又由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,可得b2+c2=6.由解得b=.故选A.7.(2016上海卷)已知ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.解析:由已知不妨令a=3,b=5,c=7,所以cos C=-,所以sin C=,所以R=.答案:8.如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出AB的距离,其方法在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出ACB=,CAB=,在ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC=60 m,BAC=75,BCA=45,则A,B两点间的距离为.解析:ABC=180-75-45=60,由正弦定理得=,所以AB=20(m).即A,B两点间的距离为20 m.答案:20 m9.已知ABC的周长为20,面积为10,A=60,则边a=.解析:据已知条件可得bcsin 60=10bc=40,又由余弦定理可得b2+c2-bc=b2+c2-40=a2,所以b2+c2-40=(b+c)2-2bc-40=(20-a)2-120=a2,解得a=7.答案:710.导学号 18702208在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B 的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解:(1)由余弦定理及题设得cos B=.又因为0B,所以B=.(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos(-A)=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos(A-).因为0A,所以当A=时,cos A+cos C取得最大值1.11.(2016山东临沂模拟)在锐角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A-B)=cos C.(1)若a=3,b=,求c;(2)求的取值范围.解:(1)由sin(A-B)=cos C,得sin(A-B)=sin(-C).因为ABC为锐角三角形,所以A-B+C=,又A+B+C=,两式相减,得B=.由余弦定理b2=c2+a2-2accos B,得10=c2+18-2c3cos ,即c2-6c+8=0,解得c=2或c=4;当c=2时,b2+c2-a2=10+4-18=-40,cos A0,即A为钝角(舍去),故c=4.(2)由(1)得B=,所以C=-A;所以=sin(2A-).因为ABC为锐角三角形,0C=-A,所以A,所以-2A-.所以-sin(2A-),所以-11,故的取值范围是(-1,1).能力提升练(时间:15分钟)12.导学号 18702209ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足+1,则角A的范围是(A)(A)(0,(B)(0,(C),)(D),)解析:由+1,得b(a+b)+c(a+c)(a+c)(a+b),化简,得b2+c2-a2bc,即,即cos A(0A),所以00),则a=3t,于是c2=a2+b2=9t2+25t2=49t2.即c=7t.由余弦定理得cos C=-.所以C=.16.导学号 18702212在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B),又A,B(0,),故0A-Bc,所以CB,所以cos C=,所以cosBAC=cos(-B-C)=-cos(B+C)=-(cos Bcos C-sin Bsin C)=sin Bsin C-cos Bcos C=-=.(2)法一因为=(+),所以=(+)2=(+2)