微积分(上册)习题参考答案.doc

参考答案0. 预备知识习题0.11.（a）是 （b）否 （c）是 （d）否2.（a）否 （b）否 （c）否 （d）是 （e）否 （f）否 （g）是 （h）否 （i）是3. ,.4. ， ，.5. ，.615. 略。16. 证明：先证.若，则如果，则;如果，则，所以，也有，因此有.再证.若，则，或.如果，有，所以，又，于是如果，则有，所以，于是. 因此有.综上所述，证毕.1719. 略。20. .21. ;22. 2325. 略。 26. 不是到的映射，因为中元素4没有中的元素对应；（b）不是到的映射，因为中的元素2有两个内的元素和对应；是到的一个映射；（d）是到的映射。27. 共有8种映射28. 此映射为满射，但非单射；（b）此映射双射，其逆映射为；此映射为双射，其逆映射为 ；（d）此映射为单射，但非满射，当然不是双射。29. ， ； .30. 31.（a） （b） （c）32.33. 34. 证明：因为对，必有（因为非空）使，所以为满射.同理可证为满射。为单射的充要条件是只有一个元素；为单射的充要条件是只有一个元素。习题0.21. . 2. . 3. .4. . 5.严格单调减少. 6.严格单调增加. 7.单调减少.8.严格单调增加. 9.偶函数. 10.奇函数. 11.奇函数. 12.非奇非偶函数.13.证明：若，则有 ，所以，因此是一对一的. 的反函数为，所以，反函数为其自身。定义域为.14. .15.证明：若，则，反证，如果，即矛盾，所以，即是一对一的.由得，因此的反函数为，即为其自身，定义域为.16. . 17.略. 18.提示：按奇函（偶）数定义证明.19.证明：反证，假设为严格单调增加的偶函数，则对，有另一方面：，所以有，矛盾。20.非周期函数. 21.略22. 是。例如，在皆无界，但在有界.23.证明：对，存在，使，所以在上无界。24. . 25. ， ， .26. .27. ，.28. .29. ，.1. 数列的极限习题1.11.不能，例如取.2.不能，例如取.3.能，因为对，必存在正整数，使.4.存在一个，对任何，总存在，使.5.提示：利用数列极限定义.611. 略。 12.提示：按极限定义，可取.13.提示：利用极限定义，可取. 14.提示：按极限定义证明.15.提示：利用极限定义. 16.反之不一定成立.17.当无界时，有以下各种情况：（1）极限仍为零，例如，；（2）极限存在，但非零，例如，；（3）极限不存在，例如：或 ，18.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明.19.利用极限的定义. 20. .21.利用极限的定义. 22.根据夹逼定理证明.23.（1）1. （2）1. （3）0. （4）9. （5）0.24. （1）0. （2）. （3）0. （4）4. （5）. （6）0.（7）. （8）. （9）. （10）1.25.不一定，例如：.26.不一定，例如.27. 必发散。反证，因为若收敛，则有收敛，与已知矛盾.28.不一定，例如.29.必有，但不能推出，例如：.30.当时，为；当时，为；当时，为0.习题1.21. （1）2. （2）. （3）.2. 提示：（1）证明数列单调减少有下界.（2）利用定理1.2.8.（3）证明数列单调增加有上界. （4）证法（）：先证数列单调减少，即可证，再证数列有下界；证法（）：考察，证明，当时，.3.提示：利用极限的定义。 4.提示：证明单调增加有上界；单调减少有下界.5.（1）提示：证明，. （2）提示：利用（1）的结论.（3）提示：利用（2）的结论. （4）提示：利用（3）的结论. （5）提示：利用（3）的结论6.提示：先证明，再证明单调减少.7.（1）. （2）. （3）. （4）1 . （5）. （6）. （7）0. （8）0.习题1.31.设是中的一个数列。若存在某个，对任何正整数，都存在，使.2.收敛. 3.收敛. 4.收敛. 5.收敛. 6.提示：对任意，必存在正整数，使. 7.提示：利用定理1.3.3.8.提示：.9.提示：考察数列: ，先证明收敛，再利用柯西收敛准则。10.提示：反证，考察且.11.提示：对，.2函数的极限与连续性习题2.1113. 略。 14. 1 15. 1 16. 1 17. 1 18. 1 19. 020. 21. 22. 23. 24. 2 25. 126. 27. ，28.29. . 30. 31.0 32. 33. 034. 35. 36. 37. 38. 0 39. .40. 41.2 42（1）; （2） 43.当时，；当时，0， 当时，；当时，.44.提示：按极限定义证明.45.提示：用反证法和函数极限的定义。是可能的，例如，取，有习题2.214. 略。 5.不一定 6.是 7.不一定 8.否，例如.9.（1）是（2）不一定 10.提示：用连续的定义证明，反之不一定成立，例如.11.提示：对用极限定义对，三种情况进行证明.13. 在不连续，在可能连续，也可能不连续.14. 与在有可能连续，也有可能不连续.16.提示：按极限的定义证明. 17. 存在连续的反函数18.当时，显然连续，在处，当时函数连续.19. 在上不连续. 20. 在处连续，其他皆不连续.21.存在某个，存在，有.23. ，.24.（1）， （2）; （3），.25.取 26. 如 27.取28.提示：按极限的定义，证明在任意一点的极限不存在（或不以为极限）.29.（1）不连续 （2）连续 （3）不连续 （4）连续30.（1）为第一类（可去）间断点，为第二类间断点.（2），为第一类（跳跃）间断点.（3）为第二类间断点，为第一类（跳跃）间断点. （4）为第二类间断点，为第一类（可去）间断点.31.（1）当时，为的第一类（可去）间断点.（2）为第二类间断点. （3）为第一类（跳跃）间断点.（4）为第一类（跳跃）间断点；为第二类间断点.（5）为第一类（可去）间断点. （6）为第一类（跳跃）间断点.（7）为第二类间断点. 习题2.3115. 略。 16.（1）阶 ;（2）阶;（3）1阶; （4）3阶.17.（1）; （2）. 18.提示：按高阶无穷小的定义证明.19. 20. 1 21. 22. 23.1 24. 25. 26. 27. 28. 29.3 30. 31. 2 32. 133. 34. 35. 36. 37. 38. 39.2 40. 1 41. 42. 43. 44. 45. 46.0 47. 48. 49. 习题2.41. 略. 2.提示：考察，当充分大时的函数值符号.3. 略. 4.提示：先证明，当时，再利用零点定理.5.提示：令，考察与.6.提示：考察，证明严格单调增加.7.提示：考察.8.提示：考察，利用零点定理.9.提示：利用韦达定理，再利用零点定理：不妨设第一象限椭圆为一点弦的斜率为，弦与椭圆的交点为，考察10.提示：考察，利用零点定理.11.（1）提示：设在上的最大、最小值为，有：;（2）提示：利用（1）12.提示：用反证法，并利用任何两个不同的有理数之间存在无理数这个性质.13.提示：利用极限的保号性，再利用零点存在定理.14.提示：利用介值定理.3. 导数与微分习题3.11.（1） （2） （3） （4） （5） （6）2. ； 3. （1）连续，可导 （2）连续，不可导 （3）连续，不可导（4）连续，不可导 （5）连续，可导 （6）右连续，右导数存在 （7）连续，可导4. （1） （2） （3） （4）5. 6. 7.连续，可导 8.连续，可导 9. 10. 11. 0 12. 不一定可导，如：，在点.13.提示：（1）先证; （2）利用导数定义. 14. 0习题3.21.（1） （2） （3） （4） （5） （6）（7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） （14）（15） （16） （17）2. （1）5，2 （2） （3）（4） 3. ，切点坐标为4. 或 5.提示：，用反证法6. 否 7. 否，取 8. 否习题3.31. （1） （2） （3）（4）（5）（6） （7） （8） （9）（10） （11）（12） （13）（14） （15） （16）（17） （18）（19）（20） （21） （22）（23） （24）2.（1） （2） （3）3. （1）； （2） （3）4. （1）（2）5. 6. 7.（1） （2）（3）（4）8.（1） （2） （3）9. ；.习题3.41. （1） （2） （3） （4） （5）（6） （7） （8）2. 3. 4.（1）1 ; （2）所求长为5.当时，或，.习题3.51.（1） （2） （3） （4） （5） （6）2.（1）当时，当时，（2） （3）（4） （5）（6）3. 5. 6. 7.提示：利用8.提示：利用，其中.9.提示：，利用莱泊尼兹公式.10. .11.（2）提示：对两边关于求阶导数，用莱泊尼兹公式.12（2）提示：令，则，两边关于求二阶导数.13.（1）提示：令，则，用莱泊尼公式.（2）提示：，两边同乘以得，再两边关求阶导数，用莱泊尼兹公式。习题3.61.（1） （2） （3） （4） （5）（6）2.（1） （2） （3） （4）3.提示：利用，当较小时。 4. 0.985 5.（1） （2）7.（1）5.17 （2）0.0174533 （3）0.03491 （4）2.083338. 2.23cm 9. ， 10. kg/cm2，4 微分中值定理及导数应用习题4.11.（1），为最小值。 （2）为最大值。（3），为最大值。2.（1），；（2）；（3），；（4）.3. . 4. 提示：利用Lagrange定理. 5. 提示：用反证法.6. 提示：利用Rolle定理. 7. 提示：对在上用罗尔定理8. 提示：利用Lagrange定理. 9. 提示：在上有界.10. 提示：证明.11.（1）不能，理由见（2）; （2），. 12. . 13. （1）提示：利用“则（常数）”的结论。（2）提示：令，证明.14（1）提示：和差化积或直接用拉格朗日定理; （2）提示：利用Lagrange定理.习题4.21. 提示：利用函数单调性定义和拉格朗日定理。2.（1）单调减少. （2）单调增加. （3）单调增加. （4）单调增加.3.（1）在内单调增加，在内单调减少；（2）在或内单调减少， 在内单调增加； （3）当时，单调减少；当时，在单调增加，在单调减少；（4）在或内单调减少，在或内单调增加.4. 提示：设，证明在内必取到在上的最小值或者最大值. 5.（3）提示：令，在上用拉格朗日定理。6.（2）提示： （3）更强的结果为：习题4.31.（1）1 （2） （3） （4） （5）3 （6） （7）3 （8） （9）2 （10）2 （11）0 （12）0 （13）0 （14）（15）1 （16） （17） （18）1 （19） （20） 2.（1） （2） （3）习题4.41.（1），（2），其中位于1和之间.（3），其中位于与之间.（4），其中位于与之间.（5）.（6），其中位于0与之间.（7）, 其中在与4之间.（8），其中位于0与之间.（9）, 其中在与-1之间.2.（1）2 （2） （3） （4） （5）3. ，误差.4. 5. .6. （1）.（2）7.提示：利用在点的阶泰勒公式。8.提示：利用阶的带拉格朗日余项的泰勒公式。9.提示：利用在点的阶泰勒公式，然后将代入。10.提示：利用在点处带拉格朗日余项的一阶泰勒公式。11.提示：，使，再在上对用拉格朗日公式。12.（1）1.6484375，4.510-4。习题4.51（1）极大值 ，极小值； （2）极大值；极小值；（3）无极值； （4）极小值；（5）极大值 ，极小值 ，.（6）极小值.2. （1）, ; （2）; （3） , ; （4） ;（5）, ; （6）; （7）, ; （8）;（9）, .3（3）提示：令，利用的单调性。4. 当为偶数时，无极值；当为奇数时，有极大值.5. 6. 底半径高 = 12 7. 8. 水厂应建在甲城与乙城到岸的垂足之间，离甲城公里处。9. 矩形在第一象限的顶点坐标为，其他顶点坐标由对称性可得，此时矩形面积最大，最大值为.10. .习题4.61（1）在上向下凹，在上向上凹，拐点为;（2）在向上凹；在向下凹， 拐点为; （3）在上向下凹，在上向上凹，拐点为; （4）在 向下凹；在 向上凹，无拐点.2. 提示：先证当时，有3.（1）， （2） （3）， （4） （5），4. 略。 5. 三个拐点同位于直线上。 6. 曲率为2. 7.曲率为1.8. 在处的曲率分别为.9. 所求抛物线为，曲率圆方程为.10. 提示：.5 不定积分习题5.11（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9） （10）2. 3. 4. 5. 6. 为的原函数，其中在不连续（为第二类间断点）。7. 提示：用反证法。若为的原函数，为的第一类间断点，请考察和.习题5.21.（1） （2） （3）（4） （5） （6）（7） （8） （9） （10） （11） （12）（13） （14） （15）（16） （17） （18）（19） （20） （21）（22） （23）（24）（25） （26）（27） （28）（29） （30）（31） （32）2. 3.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17）（18） （19）（20）习题5.31.（1） （2）（3） （4）（5）（6）（7） （8） （9）（10）2. （1） （2）（3）（4） （5）（6） （7）（8） （9）（10） （11）（12） （13）（14） （15）3. （1） （2）（3） （4）（5） （6）6 定积分及其应用习题6.11. （1） （2） （3）2. （1） （2） （3）03. （1） （2）（3）（i） 或 （ii） 或 习题6.21. （1） （2） （3）2. （1）提示：（2）提示：分析函数在上的最大（小）值.3. 提示：取 4. 提示：利用积分中值定理或定积分的定义证明.5. 提示：令对在上用罗尔定理。6. 提示：证明在内至少存在两点使.习题6.31. （1） （2）（3） （4）（5） 2. （1） （2）1 （3）1 （4） （5）13. 提示：利用夹逼定理. 4. . 5. 提示：6. 提示：利用，其中为任意常数.7.（1） （2）2 （3） （4） （5）14 （6） （7）8. 提示：利用泰勒公式，位于与之间.习题6.41. （1） （2）2 （3） （4） （5）（6） （7） （8） （9） （10）（11） （12） （13） （14）（15） （16） （提示：）（17）1 （18） （提示：作变换） （19） （20）（21） （22）当为偶数时：；当为奇数时：（23）2. 3. 提示：，对作变换.4. 若是连续偶函数，不一定为奇函数. 例如：5. （提示：对作变换，用洛必达法则或导数的定义.）6. （提示：用分部积分法） 7. 提示：用分部积分法 8. .9.（1） （2）10. 提示：利用在的单调性.习题6.51.（1） （2）1 （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）2.（1） （2）3.（1） （2） （3） （4）4. 5. 4 7. 8. （1）， （2） （3） （4）（5）9. 10. 11. （1） （2）12. 13. 2560（焦）14. 0.5625 kg/m2. 15. 3.675（焦） 16. 1674.667 g （焦）17. （焦） 18. 19. （焦）20. 21. 22. ，其中为万有引力常数23. ，其中为万有引力常数习题6.61. 用矩形公式，梯形公式和抛物线公式计算的近似值分别为：0.457419671、0.452058019、0.451974579. 误差分别为：0.0054454、0.00008372、0.00000028.2. 3.141592 （可利用抛物线公式计算）3. 周长，用抛物线公式计算深其近似值为22.1035.习题6.71. （1）收敛， （2）发散 （3）收敛， （4）收敛， （5）收敛， （6）收敛，（7）收敛， （8）收敛， （9）收敛，2（10）收敛， （11）收敛， （12）发散 （13）收敛， （14）收敛， （15）收敛， （16）当时发散，当时，收敛于2. 提示：作积分变换， 3. 4*.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）发散 （5）收敛 （6）收敛（7）收敛 （8）发散 （9）收敛 （10）当且时收敛，其他发散.（11）收敛 （12）收敛 （13）当时收敛，当时发散（14）当时收敛，其他发散 （15）当时收敛，当时发散（16）当时收敛，其他发散.5.（1） （2）6.（1） （2） （3）7. （1） （2） = 7 级数习题7.11（1）， （2） （3） （4）2（1），收敛， （2），收敛，1 （3），收敛， （4）；收敛；（5），收敛，1 （6），收敛，.3. （1）级数为 ，和为1 （2）级数为 ，和为1.4. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）收敛5. （1）发散 （2）发散 （3）发散 （4）发散 （5）发散 （6）发散 （7）收敛， （8）收敛，.6. （1）提示：利用级数收敛的定义及“若收敛，则必有”之结论（2）例如（3）提示：利用与的部分和之间的关系7. 习题7.21.（1）发散 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）收敛 （6）收敛 （7）发散 （8）收敛2.（1）提示：用比较判别法（2）提示：（3）提示：用比较判别法的极限形式3.（1）收敛 （2）收敛 （3）收敛 （4）发散 （5）收敛（6）当时收敛；当时发散.4.（1）收敛 （2）收敛 （3）发散 （4）收敛 （5）发散（6）收敛 （7）收敛 （8）收敛 （9）当时收敛，当时发散； 当时：收敛，发散（10）收敛.5.（1）时收敛，时发散 （2）当时收敛，当时发散 （3）收敛 （4）当时收敛，当时发散（5）当时收敛，时发散 （6）当时收敛，当时发散 （7）当时收敛；当时：收敛，发散；当时发散（8）当时收敛，当时发散 （9）时收敛，时发散6.（3）提示： 7.（4）提示：，再利用（3）8. 提示：，再利用的单调、正值性质。习题7.31.（1）发散 （2）发散 （3）绝对收敛 （4）绝对收敛 （5）绝对收敛（6）发散 （7）条件收敛