2016_2017学年高中数学第1章常用逻辑用语章末分层突破学案苏教版.docx

第1章 常用逻辑用语章末分层突破自我校对逆命题 逆否命题 必要条件pq 或 全称命题 存在量词四种命题及其相互关系命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”；否命题为“若綈p，则綈q”逆否命题为“若綈q，则綈p”.书写四种命题应注意：(1)分清命题的条件与结论，注意大前提不能当作条件来对待.(2)要注意条件和结论的否定形式.写出命题：“若(y1)20，则x2且y1”的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假.【精彩点拨】 四种命题的概念写出其他命题命题真假的判断【规范解答】原命题：若(y1)20，则x2且y1，是真命题.逆命题：若x2且y1，则(y1)20，是真命题.否命题：若(y1)20，则x2或y1，是真命题.逆否命题：若x2或y1，则(y1)20，是真命题.再练一题1.命题“对于正数a，若a1，则lg a0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为_.【解析】原命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题；否命题“对于正数a，若a1，则lg a0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lg a0，则a1”是真命题.【答案】4充分条件、必要条件与充要条件判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件.(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立，那么：若AB，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；若AB且BA，即AB时，则p是q的充要条件.(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件.(1)(2015安徽高考改编)设p：x3，q：1x3，则p是q成立的_条件.(2)(2015浙江高考改编)设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的_条件. 【导学号：24830018】【精彩点拨】(1)可用命题判断法(定义法)或集合判断法解决；(2)采用特殊值判断.【规范解答】(1)方法一：p：x3，q：1x3，qp，但 pq，p是q成立的必要不充分条件.方法二：设Ax|x3，Bx|1x3，因为BA，但AB，所以p是q成立的必要不充分条件.(2)本题采用特殊值法：当a3，b1时，ab0，但ab0，故是不充分条件；当时a3，b1时，ab0，但ab0，故是不必要条件.所以“ab0”是“ab0”的即不充分也不必要条件.【答案】(1)必要不充分(2)既不充分也不必要再练一题2.设点P(x，y)，则“x2且y1”是“点P在直线l：xy10上”的_条件.【解析】当x2且y1时，满足方程xy10, 即点P(2，1)在直线l上.点P(0,1)在直线l上，但不满足x2且y1，“x2且y1”是“点P(x，y)在直线l上”的充分而不必要条件.【答案】充分而不必要条件全称命题与存在性命题1.求一个命题否定的方法：(1)确定命题是全称命题还是存在性命题；(2)转换量词，全称量词的否定对应存在量词，存在量词的否定对应全称量词.(3)否定结论.(4)当题目中量词不明显或简略时，可以先改写命题，添加必要的量词，凸显命题的特征.(5)要理解并熟记常用关键词的否定形式.2.全称命题与存在性命题真假判断的方法(1)对于全称命题“xM，p(x)”：要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明 p(x)成立；要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使 p(x0)不成立即可.(通常举反例)(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)p：末位数字为9的整数能被3整除；(2)p：有的素数是偶数；(3)p：至少有一个实数x，使x210；(4)p：x，yR，x2y22x4y50.【精彩点拨】首先更换量词，然后否定结论，即可写出命题的否定，再由相关的数学知识判断其真假.【规范解答】(1)綈p：存在一个末位数字为9的整数不能被3整除.綈p为真命题.(2)綈p：所有的素数都不是偶数.因为2是素数也是偶数，故綈p为假命题.(3)綈p：对任意的实数x，都有x210.綈p为真命题.(4)綈p：x0，y0R，xy2x04y050.綈p为真命题.再练一题3.(2016盐城高二检测)在下列四个命题：xR，x2x30；xQ，x2x1是有理数；，R，使sin()sin sin ；x0，y0Z，使3x02y010.其中真命题的个数是_.【解析】中x2x320，故为真命题；中xQ，x2x1一定是有理数，故也为真命题；中当，时，sin()0，sin sin 0，故为真命题；中当x04，y01时，3x02y010成立，故为真命题.【答案】4求解含逻辑联结词命题中参数的取值范围解决此类问题的方法，一般是先假设题目所涉及的两个命题p，q分别为真，求出其中参数的取值范围，然后当他们为假时取其补集，最后根据p，q的真假情况确定参数的取值范围.当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不能同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的取值范围.已知c0.设p：函数ycx在R上单调递减；q：不等式x|x2c|1的解集为R.如果p或q为真，p且q为假，求c的取值范围.【精彩点拨】 题设条件p、q有一真求c的范围【规范解答】对于命题p：函数ycx在R上单调递减0c1；对于命题q：不等式x|x2c|1的解集为R.即函数yx|x2c|在R上恒大于1.因为x|x2c|所以函数yx|x2c|在R上的最小值为2c，所以2c1，即c.由p或q为真，p且q为假知p，q中一真一假.若p真q假，则解得0c.若p假q真，则解得c1.综上，c的取值范围是1， ).再练一题4.(2016潍坊高二检测)已知命题p：xR，mx210，命题q：xR，x2mx10，若pq为真命题，则实数m的取值范围是_. 【解析】pq为真命题，命题p和命题q均为真命题，若p真，则m0，若q真，则m240，2m2.pq为真，由知2m0.【答案】(2,0)转化与化归思想所谓转化与化归思想是指在研究和解决问题时，采用某种手段将问题通过变换、转化，进而使问题得到解决的一种解题策略.一般是将复杂的问题进行变换，转化为简单的问题，将较难的问题通过变换，转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题.在本章内容中，转化思想主要体现在四种命题间的相互关系与集合之间关系的等价转化、原命题与其逆否命题之间的等价转化等，即以充要条件为基础，把同一种数学意义的内容从一种数学语言形式等价转化为另一种数学语言形式，从而使复杂问题简单化、具体化.(2016苏州高二检测)设命题p：(4x3)21，命题q：x2(2a1)xa(a1)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【精彩点拨】 綈p是綈q的必要不充分条件p是q的充分不必要条件确定含参数a的不等式【规范解答】设Ax|(4x3)21，Bx|x2(2a1)xa(a1)0，易知A，Bx|axa1.由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，或故所求实数a的取值范围是.再练一题5.设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0，q：实数x满足x2x60或x22x80，且綈p是綈q的必要不充分条件，求a的取值范围.【解】方法一：设Ax|x24ax3a20x|3axa，Bx|x2x60或x22x80x| x2x60x| x22x80x|2x3x|x4或x2x|x4或x2.綈p是綈q的必要不充分条件.綈q 綈p，且綈p綈q，即x|綈q x|綈p.又x|綈qRBx|4x2，x|綈pRAx|x3a或xa，或 即a0或a4.故所求实数a的取值范围是(，4.方法二：由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，所以或即a0或a4.故所求实数a的取值范围是(，4.1.(2015山东高考改编)设mR，命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是_.【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，所以命题“若m0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是“若方程x2xm0没有实根，则m0”.【答案】若方程x2xm0没有实根，则m02.(2015湖北高考改编)命题“x0(0，)，ln x0x01”的否定是_. 【导学号：24830019】【解析】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为x(0，)，ln xx1.【答案】x(0，)，ln xx13.(2016天津高考改编)设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的_条件.【解析】当x1，y2时，xy，但x|y|不成立；若x|y|，因为|y|y，所以xy.所以xy是x|y|的必要而不充分条件.【答案】必要而不充分4.(2015山东高考)若“x，tan xm”是真命题，则实数m的最小值为_.【解析】由题意，原命题等价于tan xm在区间上恒成立，即ytan x在上的最大值小于或等于m，又ytan x在上的最大值为1，所以m1，即m的最小值为1.【答案】15.(2014湖南高考改编)已知命题p：若xy，则xy，命题q：若xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命题是_.【解析】依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题.由真值表可知pq为假，pq为真，p(綈q)为真，(綈p)q为假.【答案】章末综合测评(一)常用逻辑用语(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.命题“有些负数满足不等式(1x)(19x) 0”用“”或“”可表述为_.【解析】“有些负数”表示存在量词用“”来描述.【答案】x0，使不等式(1x)(19x) 02.(2016赣州高二检测)命题p的否定是“对所有正数x，x1”，则命题p可写为_.【解析】因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可.【答案】x0(0，)，x013.在命题“若mn，则m2n2”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数是_.【解析】原命题为假命题，则逆否命题也为假命题，逆命题也是假命题，则否命题也是假命题.故假命题的个数为3.【答案】34.“m”是“一元二次方程x2xm0有实数解”的_条件.【解析】x2xm0有实数解等价于14m0，即m，因为mm，反之不成立.故“m0；xR，x20.其中假命题是_.【解析】因为xR，sin x10；所以是真命题对于，根据二次函数图象可知，xR，x20，所以是真命题.【答案】6.设nN*，一元二次方程x24xn0有整数根的充要条件是n_. 【导学号：24830020】【解析】由164n0得n4，又nN*，故n1,2,3,4，验证可知n3,4，符合题意；反之，当n3,4时，可以推出一元二次方程有整数根.【答案】3或47.若“x2,5或x(，1)(4，)”是假命题，则x的取值范围是_.【解析】根据题意得解得1x2，故x1,2).【答案】1,2)8.给出以下判断：命题“负数的平方是正数”不是全称命题；命题“xN，x3x2”的否定是“x0N，使xx”；“b0”是“函数f(x)ax2bxc为偶函数”的充要条件；“正四棱锥的底面是正方形”的逆命题为真命题.其中真命题的序号是_.【解析】是假命题，是真命题.【答案】 9.(2016浙江高考改编)命题“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是_. 【导学号：24830021】【解析】由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式为“xR，nN*，使得nx2”.【答案】xR，nN*，使得nx210.(2016昆明高二检测)若命题“xR，ax2ax20”是真命题，则实数a的取值范围是_.【解析】当a0时，不等式显然成立；当a0时，由题意知得8ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是_.【解析】原命题的否命题为“若ab，则a2b2”假命题.原命题的逆命题为：“x，y互为相反数，则xy0”真命题.原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”真命题.【答案】12.若xm1是x22x30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_.【解析】由已知，易得x|x22x30x|xm1，又x|x22x30x|x3，或0m2.【答案】0,213.(2016南京高二检测)已知命题p：x0R，x02lg x0；命题q：xR，x2x10.给出下列结论：命题“pq”是真命题；命题“p(綈q)”是假命题；命题“(綈 p)q”是真命题；命题“p(綈q)”是假命题.其中所有正确结论的序号为_. 【解析】对于命题p，取x010，则有102lg 10，即81，故命题p为真命题；对于命题q，方程x2x10，1410，故方程无解，即xR，x2x10，所以命题q为真命题.综上“pq”是真命题，“p(綈q)”是假命题，“(綈p)q”是真命题，“p(綈q)”是真命题，即正确的结论为.【答案】14.下列结论：若命题p：x0R，tan x02；命题q：xR，x2x0.则命题“p(綈q)”是假命题；已知直线l1：ax3y10，l2：xby10，则l1l2的充要条件是3；“设a，bR，若ab2，则a2b24”的否命题为：“设a，bR，若ab4”的否命题为：“设a，bR，若ab2，则a2b24”正确.【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分14分)写出命题“若a0，则方程x2xa0有实根”的逆命题，否命题和逆否命题，并判断它们的真假.【解】逆命题：“若方程x2xa0有实根，则a0”.否命题：“若a0，则方程x2xa0无实根.”逆否命题：“若方程x2xa0无实根，则a0”.其中，原命题的逆命题和否命题是假命题，逆否命题是真命题.16.(本小题满分14分)判断下列语句是全称命题还是存在性命题，并判断真假.(1)有一个实数，tan 无意义；(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(3)圆内接四边形，其对角互补；(4)指数函数都是单调函数.【解】(1)存在性命题.，tan 不存在，所以存在性命题“有一个实数，tan 无意义”是真命题.(2)含有全称量词，所以该命题是全称命题.又任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，所以，全称命题“所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径”是真命题.(3)“圆内接四边形，其对角互补”的实质是“所有的圆内接四边形，其对角都互补”，所以该命题是全称命题且为真命题.(4)虽然不含全称量词，其实“指数函数都是单调函数”中省略了“所有的”，所以该命题是全称命题且为真命题.17.(本小题满分14分)已知函数f(x)x2|xa|b(xR)，求证：函数f(x)是偶函数的充要条件为a0.【证明】充分性：定义域关于原点对称.a0，f(x)x2|x|b，f(x)(x)2|x|bx2|x|b，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数.必要性：因为f(x)是偶函数，则对任意x有f(x)f(x)，得(x)2|xa|bx2|xa|b，即|xa|xa|，所以a0.综上所述，原