优化方案高考数学(理)总复习(北师大版)第6章§6.6.ppt

6.6 直接证明与间接证明 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 6.6 直 接 证 明 与 间 接 证 明 双基研习面对高考 1综合法 (1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的_，最后推导出所要 证明的结论_，这种证明方法叫综合法 双基研习面对高考 基础梳理基础梳理 推理证明 成立 2分析法 (1)定义：从_出发，逐步寻求使 它成立的_，直至最后，把要证明的结 论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定 理、定义、公理等)为止，这种证明的方法叫作分 析法 要证明的结论 充分条件 思考 综合法与分析法各有何特点？ 【思考提示】 分析法的特点是：从“未知”看“ 需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是 寻求它的充分条件；综合法的特点是：从“已知” 看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际 上是寻找它的必要条件分析法与综合法各有其 特点，有些具体的待证命题，用分析法或综合法 均能证明出来，往往选择较简单的一种平时我 们常用分析法探索解题思路，然后用综合法书写 步骤 3反证法 假设原命题_，经过正确的推理，最后得 出_，由此说明假设错误，从而证明了原 命题成立，这样的证明方法叫反证法 不成立 矛盾 课前热身课前热身 1用分析法证明：欲使AB，只需C0，且a3a125 0，则则使an0，dabc(abc) 证证明：a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4 a42a2c2. 又a，b，c互不相等，上面三式中不能取“”号 a4b4c4a2b2b2c2a2c2， a2b22ab，a2c2b2c22abc2， 同理，a2b2a2c22a2bc， b2c2a2b22ab2c， 又a，b，c互不相等， a2b2b2c2a2c2abc2a2bcab2c， 由式得a4b4c4abc(abc) 分析法 分析法是中学数学证明问题的常用方法，其主要 过程是从结论出发，逐步寻求使结论成立的充分 条件，其逻辑依据是演绎推理方法 例例2 2 【思路点拨拨】 所给给条件简单简单 ，所证结论证结论 复 杂杂，一般采用分析法 【反思感悟】 分析法是一种从未知到已知(从结结 论论到题设题设 )的逻辑逻辑 推理方法具体说说，即先假设设所 要证证明命题题的结论结论 是正确的，由此逐步推出保证证 此结论结论 成立的必要的判断，而当这这些判断恰恰都 是已证证的命题题(定义义、公理、定理、法则则、公式等) 或要证证命题题的已知条件时时，命题题得证证 反证法 反证法是间接证明问题的一种常用方法，其证明问题 的一般步骤为： (1)反设：假定所要证的结论不成立(否定结论)； (2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推 理，导出矛盾与已知条件、已知的公理、定义、 定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾) (3)结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“ 反设”的谬误既然结论的反面不成立，从而肯定了 结论成立(结论成立) 例例3 3 【思路点拨拨】 命题题中有“至少”、“不都” 、“都不”、“没有”、“至多”等指示性词词 语语，在用直接法很难证难证 明时时，可以采用反证证法 【名师师点评评】 反证证法证题证题 的实质实质 是证证明它 的命题题的否定不成立，反证证法的主要依据是 逻辑逻辑 中的排中律，排中律的一般形式是：或 者是A，或者非A，即在同一讨论过讨论过 程中，A 和非A有且仅仅有一个是正确的，不能有第三种 情况出现现 变式训练2 已知a，b，c是互不相等的实数 求证：由yax22bxc，ybx22cxa和y cx22axb确定的三条抛物线至少有一条与x轴 有两个不同的交点 证明：假设题中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x轴都 没有两个不同的交点)， 由yax22bxc0， ybx22cxa0，ycx22axb0， 得1(2b)24ac0， 2(2c)24ab0， 3(2a)24bc0. 同向不等式求和得， 4b24c24a24ac4ab4bc0， 2a22b22c22ab2bc2ca0， 即(ab)2(bc)2(ca)20. abc，这与题设a，b，c互不相等矛盾， 因此假设不成立，从而命题得证 方法感悟方法感悟 方法技巧 1分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知 (如例2) 2综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知 (如例1) 3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比 较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思 路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简 捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两 法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合 法叙述出来 失误防范 1利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误 ，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而 推出矛盾结果，其推理过程是错误的 2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的 规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证 ”等分析到一个明显成立的结论P，再说明所要证 明的数学问题成立 考情分析考情分析 考向瞭望把脉高考 数学证明是每年必考的知识点之一，考查重点是利 用综合法、反证法证明问题，题型大多为解答题， 难度为中、高档主要是在知识交汇点处命题，像 数列、立体几何的平行、垂直、不等式、解析几何 等都有考查，在考查数学基本概念的同时，注重考 查等价转化、分类讨论思想以及学生的逻辑推理能 力 预测2012年高考仍将以综合法证明为主要考点 ，偶尔会出现反证法证明的题目，重点考查运 算能力与逻辑推理能力 规范解答规范解答 例例 【名师师点评评】 (1)本题题易失误误的是：不会整体 换换元，发现发现 不了解题规题规 律，致使本题题无从入手； 不会“反设设”；不知道“至多”、“至少”、 “不可能”这类题这类题 目用反证证法证证明会有“立竿见见 影”的效果 (2)反证证法是一种反设结论导设结论导 出矛盾的证证明方法， 其难难点就是如何反设结论设结论 和导导出矛盾，破解的方 法是：反设设的结论结论 就是新的已知条件，和题题目中 的其他已知条件一起进进行推理，通过对题过对题 目具体 情