关于实数完备性的基本定理.doc

目 录摘要1关键词1Abstract1Key Words1前言11 预备知识11.1关于确界的定义11.2 极限的定义21.3 区间套的定义21.4 聚点的定义31.5 有限覆盖的定义32 关于实数完备性的基本定理32.1 确界定理32.2 单调有界定理42.3 区间套定理42.4 聚点定理和致密性定理52.5 有限覆盖定理52.6 柯西收敛准则5结语6参考文献6关于实数完备性的基本定理摘要：本文主要讨论了关于实数完备性的基本定理，包括确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理和致密性定理、柯西收敛准则,并举出相关实例以说明.关键词：实数；完备性Basic Theorems of Real Number Completeness Abstract: This paper mainly discusses the basic theorems on completeness of real, including theorem of supremum, monotone bounded theorem, theorem of nested interval, finite covering theorem, theorem of accumulation point and compact theorem, Cauthy convergence criterion, and some related examples to illustrate.Key Words: Real number; Completeness前言数学分析的基础是实数理论.实数系最重要的特征是完备性和连续性，有了实数的完备性和连续性，才能讨论极限，连续，微分和积分.正是在讨论函数的各种极限运算的合法性的过程中，人们逐渐建立起严密的数学分析理论体系.数学分析初于对实数完备性在理论体系上的严格化和精确化，从而确立了在整个自然科学中的基础地位，并运用于自然科学的各个领域.实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的六个基本定理是批次等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，他们从不同的角度刻画了实数系的完备性，在理论上具有重要价值.1 预备知识1.1关于确界的定义 设S为R中的一个数集.若存在数M(L)，使得对一切都有，则称S为有上界（下界）的数集，数M(L)称为S的一个上界（下界）.若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集.若S不是有界集，则称S为无界集. 设S是R中的一个数集.若数满足：(i) 对一切，有，即是S的上界；(ii) 对任何，存在，使得，即又是S的最小上界，则称数为数集S的上确界，记作设S是R中的一个数集.若数满足：(i) 对一切，有，即是S的下界；(ii) 对任何，存在，使得，即又是S的最大下界，则称数为数集S的下确界，记作上确界与下确界统称为确界.1.2 极限的定义 设为数列, 为定数.若对任给的正数，总存在正整数N，使得当时有 则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作，或， 读作“当n趋于无穷大时，的极限等于或趋于”.1.3 区间套的定义 设闭区间列具有如下性质： (i) ,n=1,2,； (ii) , 则称为闭区间套，或简称区间套.1.4 聚点的定义 设S为数轴上的点集，为定点（它可以属于S，也可以不属于S）.若的任何邻域上都含有S中无穷多个点，则称为点集S的一个聚点. 对于点集S，若点的任何邻域上都含有S中异于的点，即，则称为S的一个聚点. 若存在各项互异的收敛数列，则其极限称为S的一个聚点.1.5 有限覆盖的定义 设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S.若H中开区间的个数是无限（有限）的，则称H为S的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.2 关于实数完备性的基本定理2.1 确界定理 设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界. 推广的确界原理：任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）. 例1 设A,B为非空数集，满足：对一切和有.证明：数集A有上确界，数集B有下确界，且 证 由假设，数集B中任一数y都是数集A的上界，A中任一数x都是B的下界，故由确界原理推知数集A有上确界，数集B有下确界. 对任何，y是数集A的一个上界，而由上确界的定义知，是数集A的最小上界，故有.而此式又表明数是数集B的一个下界，故由下确界定义证得.2.2 单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限.例2 设.证明:收敛.证 显然是递增数列.因为当时， =+ + 0,使得当nN时有 注：区间套定理中要求各个区间都是闭区间，才能保证定理的结论成立.例3 证明：若在上连续，则在上有界.证 假设在上无界，利用二分法总可找到一个闭区间无界得且满足：(1) ; (2) ; (3) 在上无界， 由区间套定理有且.因为，所以在处连续.于是，一方面由连续函数的局部有限性定理得使在上有界；另一方面由推论得，因此在上有界，则与条件(3)矛盾，故得证.2.4 聚点定理和致密性定理 聚点定理：实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. 致密性定理：任何有界数列必定有收敛的子列.2.5 有限覆盖定理 设H为闭区间的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖. 注：(1)该结论只对闭区间成立，而对开区间则不一定成立. (2)若将订立中的H改为其他类型的区间集，则结论不一定成立. (3) 开区间集，闭区间，该结论才能成立. 例4 S=,H是否覆盖S？ 解1 ，当时，尽管，但不属于H的任何开区间，因此H不覆盖S. 解2 H不覆盖S.2.6 柯西收敛准则 数列收敛的充要条件是：对任给的，存在正整数N，使得当n,mN时有. 这个定理从根本上完全解决了数列极限的存在性问题.柯西收敛准则的条件称为柯西条件，它表明：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈是接近，以至充分后面的任何两项之差的绝对值可小于预先给定的任意小正数.结语： 关于实数完备性的六大基本定理是彼此等价的，因此对同一个有关问题都有效. 但是又由于各个基本定理的内容和角度都不一样，因此所作出的证明可以很不相同. 即使同一个基本定理，也可能有不同的方法，即使方法相同还可以有不同的细节. 我们认为，其中的新发现是无穷尽的，发现的精彩是无穷尽的. “数学的理论是美妙的，引人入胜；数学的方法是精巧的，丰富多彩！”让我们悉心于数学研究，尽情的享受数学之美吧！参考文献：1 华东师范大学数学系.数学分析(第四版)M.北京:高等教育出版社,2010.2 华东师范大