高校自主招生物理模拟测试一及参考答案.pdf

1 / 12 2015 年 985 高校自主招生模拟测试（一） 物理 一、 （20 分）康普顿因发现康普顿效应，于 1927 年获得诺贝尔物理学奖。当 X 射线或射线 被碳、石蜡等轻原子物质散射后，其波长会变长，这一现象称为康普顿效应。设为入射射 线与散射射线方向的夹角，则波长变化量满足 = c(1 ).其中c为一个可以通过 实验测出的常数。 （1） 康普顿散射实际上是光子与散射介质中自由电子的相互作用过程。试通过合理假设 和定量分析，从理论上给出 k 的表达式； （2） 通过康普顿散射效应可以得出哪些结论？ （3） 若已知 X 光子的能量为 0.6MeV，在康普顿散射之后，波长变化了 20%，求反冲电子 的能量。 （电子的静止质量为9.11 1031kg，带电量为1.60 1019C，普朗特常数 为6.626 1034J s） 二、 （15 分）正确使用高压锅（见图 1）的办法是：将已加上密封锅盖的高压锅加热，当锅 内水沸腾时，加上一定重量的高压阀，此时可以认为锅内空气已全部排除，只有水的饱和蒸 汽。继续加热，水温将继续升高，到高压阀被蒸汽顶起时，锅内温度即达到预期温度。某一 高压锅的预期温度为 120， 如果某人在使用此锅时， 未按上述程序， 而在水温被加热至 90 时就加上高压阀（可以认为此时锅内水汽为饱和汽） ，问当继续加热到高压阀开始被顶起而 冒汽时， 锅内温度为多少？ （已知： 大气压强 0 P= 1.013 5 10 帕； 90时水的饱和汽压 w P（90） = 7.010 4 10帕；120时水的饱和汽压 w P（120）= 1.985 5 10 帕；在 90到 120之间水 的饱和汽压 w P和温度 t（）的函数关系 w P（t）如图 1 所示。 ） 图 1 2 / 12 三、 （10 分）有一水平放置的平行平面玻璃板H，厚 3.0 cm，折射率1.5n 。在其下表面 下2.0 cm处有一小物S； 在玻璃扳上方有一薄凸透镜L， 其焦距30cmf ，透镜的主轴与玻璃板面垂直；S位于 透镜的主轴上，如图所示。若透镜上方的观察者顺着主 轴方向观察到S的像就在S处， 问透镜与玻璃板上表面的 距离为多少? 四、 （15 分）近年来我国北方地区沙尘暴天气较严重。现把沙尘上扬后的情况简化为如下情 景：v为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动） 这时风对沙尘的作用力 相当于空气不动而沙尘以速度v竖直向下运动时所受的阻力此阻力可用下式表达 2 fAv 其中为一系数，A为沙尘颗粒的截面积，为空气密度 （1）若沙粒的密度 33 S 2.8 10 kg m ，沙尘颗粒为球形，半径 4 2.5 10mr ，地球 表面处空气密度 3 0 1.25kg m ，0.45，试估算在地面附近，上述v的最小值 （2） 假定空气密度随高度h的变化关系为 0(1 )Ch， 其中 0 为0h 处的空气密度， C为一常量， 41 1.18 10mC ，试估算当 1 9.0m sv 时扬沙的最大高度 （不考虑重 力加速度随高度的变化） 1 v 3 / 12 五、 （15 分）出于国家安全需要，我国目前正在研制导弹防御系统，用于拦截来袭导弹。现 从赤道上的 C 点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点 N，要求发射所用的能量最少。假 定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体，R6400 km。已知质量为 m 的物体在地球 引力作用下作椭圆运动时，其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为 2 Mm EG a 式中 M 为地球质量，G 为引力常量。 （1） 假定地球没有自转， 求最小发射速度的大小和方向 （用 速度方向与地心 O 到发射点 C 的连线之间的夹角表示） 。 （2） 若考虑地球的自转， 则最小发射速度的大小为多少？ （3） 试导出 2 Mm EG a 。 六、 （15 分）如图所示，定滑轮 B、C 与动滑轮 D 组成 一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不 计。在动滑轮 D 上，悬挂有砝码托盘 A，跨过滑轮组的 不可伸长的轻线的两端各挂有砝码 2 和 3。 一根用轻线 （图中穿过弹簧的那条坚直线）拴住的压缩轻弹簧竖 直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端 放有砝码 1（两者未粘连）。已加三个砝码和砝码托盘 的质量都是 m，弹簧的劲度系数为 k，压缩量为 l0，整 个系统处在静止状态。现突然烧断栓住弹簧的轻线， 弹簧便伸长，并推动砝码 1 向上运动，直到砝码 1 与 弹簧分离。假设砝码 1 在以后的运动过程中不会与托 盘的顶部相碰。求砝码 1 从与弹簧分离至再次接触经 历的时间。 4 / 12 七、（ 15 分）如图所示，在半径为a的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度 大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放 置一绝缘材料制成的边长为1.6La的刚性等边三角形框架DEF，其中心O位于圆柱的 轴线上DE边上S点（ 1 4 DSL）处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图预 18-7 中截面内且垂直于DE边向下发射粒子的电量皆为q（0），质量皆为m，但速度 v有各种不同的数值若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰 撞时速度方向垂直于被碰的边试问： 1带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点？ 2. 这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少？ 5 / 12 参考答案 一、 （1）假设自由电子的初速度为 0，应用相对论质量、能量、动量关系，有 式中 m0、m 为电子的静质量和质量， 0 2 1( ) m m v c .将上式第二式写成分量式 00 coscos hh mv cc ，sinsin h mv c 解以上联立方程组，消去，即得 22 0 0 2 sin2sin 22 c h m c ，式中 （2）康普顿散射， （1）进一步证实了光子论，证明了光子能量、动量表示式的正确性，光 确实具有波粒两象性. （2） 另外证明在光电相互作用的过程中严格遵守能量、 动量守恒定律. 在基元相互作用过程中，能量、动量守恒. （3）0.61MeV，具体求解过程略，参见第一问结论。 6 / 12 三、物体S通过平行玻璃板及透镜成三次像才能被观察到。设透镜的主轴与玻璃板下表面和 上表面的交点分别为A和B，S作为物，通过玻璃板H的下表面折射成像于点 1 S处，由图 预解17-3，根据折射定律，有sinsinninr 。式中 1.0n是空气的折射率，对傍轴光线， i、r很小，sintanii，sintanrr，则 1 ADAD n SAS A 式中SA为物距， 1 S A为像距，有 1 S AnSA （1） 将 1 S作为物， 再通过玻璃板H的上表面折射成像于点 2 S处， 这时物距为 11 S BS AAB 同 样根据折射定律可得像距 1 2 S B S B n （2） 将 2 S作为物，通过透镜L成像，设透镜与H上表面的距离为x，则物距 2 uxS B根据 题意知最后所成像的像距()vxSAAB，代入透镜成像公式，有 2 111 fxS BxSAAB （3） 由（1）、（2）、（3）式代入数据可求得 1.0cmx （4） 即L应置于距玻璃板H上表面 1.0 cm 处。 四、（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即 7 / 12 2 01 Avmg 式中m为沙尘颗粒的质量，而 2 Ar 3 s 4 3 mr 得 1 0 s 4 3 gr v 代入数据得 1 1 4.0m sv （2）用 h 、h分别表示 1 9.0m sv 时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有 0h (1)Ch 此时式应为 2 hAv mg 由、可解得 2 0 s 41 1 3 rg h Cv 代入数据得 3 6.8 10 mh 五、导弹发射后，在地球引力作用下，将沿椭圆轨道运动，如果导弹能打到 N 点，则此椭 圆一定位于过地心 O、北极点 N 和赤道上的发射点 C 组成的平面（此平面是 C 点所在的 子午面）内，因此导弹的发射速度（初速度 v ）必须也在此平面内，地心 O 是椭圆的一 个焦点。根据对称性，注意到椭圆上的 C、N 两点到焦点 O 的距离相等，故所考察椭圆的 长轴是过 O 点垂直 CN 的的直线，即图上的直线 AB，椭圆的另一焦点必在 AB 上。已知 质量为 m 的物体在质量为 M 的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统 的能量 E（无穷远作为引力势能的零点）与椭圆 半长轴 a 的关系为 2 GMm E a （1） 要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴 a 最短。根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点 到椭圆上任一点的距离之和为 2a， 现 C 点到一 个焦点 O 的距离是定值，等于地球的半径是 R， 只要位于长轴上的另一焦点到 C 的距离最小， 该椭圆的半长轴就最小。显然，当另一焦点位于 C 到 AB 的垂线的垂足处时， C 到该焦点的距离 必最小。由几何关系可知 8 / 12 2 2 2 aRR （2） 设发射时导弹的速度为 v，则有 2 1 2 Mm EmvG R （3） 解（1） 、 （2） 、 （3）式得 2 ( 21) GM v R （4） 因 2 Mm Gmg R （5） 比较（4） 、 （5）两式得 2( 21)vRg （6） 代入有关数据得 v7.2 km/s （7） 速度的方向在 C 点与椭圆轨道相切，根据解析几何知识，从椭圆上一点的切线的垂直线， 平分两焦点到该点连线的夹角 OCP，从图中可看出，速度方向与 OC 的夹角 1 904567.5 2 （8） 2. 由于地球绕通过 ON 的轴自转，在赤道上 C 点相对地心的速度为 2 C R v T （9） 式中 R 是地球的半径，T 为地球自转的周期，T243600 s86400 s，故 0.46km/s C v （10） C 点速度的方向垂直于子午面 （图中纸面） 。 位于赤道上 C 点的导弹发射前也有与子午面垂 直的速度 vC，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足（7） 、 （8）两式的要求，导 弹相当于地面（ C 点）的发射速度应有一大小等于 vC，方向与 vC 相反的分速度，以使导 弹在此方向相当于地心的速度为零，导弹的速度的大小为 22 C vvv （11） 代入有关数据得 v7.4 km/s （12） 它在赤道面内的分速度与 vC 相反，它在子午面内的分速度满足（7） 、 （8）两式。 3. 质量为 m 的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故 对于近地点和远地点有下列关系式 22 12 12 11 22 GMmGMm mvmv rr （13） 1 12 2 11 22 rvr v （14） 9 / 12 式中 v1、 v2 分别为物体在远地点和近地点的速度， r1、 r2 为远地点和近地点到地心的距离。 将（14）式中的 v1 代入（13）式，经整理得 2 22 2212 11 2 1 1() 2 r GMm mvrr rrr （15） 注意到 r1r22a （16） 得 2 1 2 2 1 22 rGMm mv ar （17） 因 2 2 2 1 2 GMm Emv r （18） 有（16） 、 （17） 、 （18）式得 2 GMm E a （19） 六、设从烧断线到砝码 1 与弹簧分离经历的时间为t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘 的受力情况如图 1 所示：图中，F 表示t 时间内任意时刻弹簧的弹力，T 表示该时刻跨过 滑轮组的轻绳中的张力，mg 为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力。因 D 的质量忽略不计，有 T02T （1） 在时间t 内任一时刻，法码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝 码2、3与托盘速度的大小是相同的。设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1， 砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有 1mgF IImv （2） 2mgT IImv （3） 2mgT IImv （4） 0 2mgFT IIImv （5） 式中IF、Img、IT、IT0分别代表力F、mg、T、T0在t 时间内冲量的大小。注意到式（1），有 IT02IT （6） 由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得 21 1 3 vv （7） 在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动。以 l1表示在t 时间内弹簧上端向上运动的距离， l2表示其下端向下运动的距离。 由于在弹 簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的13，故有 21 1 3 ll （8） 10 / 12 另有 120 lll （9） 在弹簧伸长过程中， 机械能守恒， 弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加， 即有 222 012122 111 32 222 klmvmvmg lmg lmg l （10） 由（7）、（8）、（9）、（10）式得 22 100 31 22 vklmgl m （11） 砝码1与弹簧分开后， 砝码作上抛运动， 上升到最大高度经历时间为t1，有 v1gt1 （12） 砝码2、 3和托盘的受力情况如图2所示， 以a 表示加速度的大小，有 mgTma （13） mgTma （14） T0mgma （15） T02T （16） 由（14）、（15）和（16）式得 1 3 ag （17） 托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有 v2at2 （18） 由（7）、（12）、（17）和（18）式，得 1 12 v tt g （19） 即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等。由 对称性可知， 当砝码回到分离位置时， 托盘亦回到分离位置， 即再经历t1， 砝码与弹簧相遇。 题中要求的时间 1 2tt 总 （20） 由（11）、（12）、（20）式得 2 00 231 22 tkl gm mgl 总 七、带电粒子（以下简称粒子）从S点垂直于DE边以速度v射出后，在洛伦兹力作用下做 匀速圆周运动，其圆心一定位于DE边上，其半径R可由下式 2 mv qvB R 求得，为 图 2 11 / 12 mv R qB （1） 1. 要求此粒子每次与DEF的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S点，则R和v应 满足以下条件： （）与边垂直的条件 由于碰撞时速度v与边垂直， 粒子运动轨迹圆的圆心一定位于的边上， 粒子绕过顶 点D、E、F时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即D、E、F）上粒子从S点 开始向右作圆周运动，其轨迹为一系列半径为R的半圆，在SE边上最后一次的碰撞点与E 点的距离应为R，所以SE的长度应是R的奇数倍。粒子从FD边绕过D点转回到S点时， 情况类似，即DS的长度也应是轨道半径的奇数倍取 1 DSR，则当DS的长度被奇数除 所得的R也满足要求，即 (21) n DS RR n n1，2，3， 因此为使粒子与各边发生垂直碰撞，R必须满足下面的条件 12 1, 2, 3, 21 45(21) n La RRn nn （2） 此时 3(63)1, 2, 3, n SEDSnRn SE为 n R的奇数倍的条件自然满足只要粒子绕过E点与EF边相碰，由对称关系可知，以 后的碰撞都能与的边垂直 （）粒子能绕过顶点与的