浙江专版高考数学第9章计数原理概率随机变量及其分布第5节古典概型教师用书.docx

第五节古典概型1基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个(2)每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A).4古典概型的概率公式P(A).1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从3，2，1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为()向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率A0B1C2D3B由古典概型的意义和特点知，只有是古典概型3小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是() 【导学号：51062346】A.B. C.D.C(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，事件总数有15种正确的开机密码只有1种，P.4如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为()A.B. C.D.C从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.5甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_由乘法计数原理，两人各选一种运动服有339种方法，其中同色的有3种情况所以所求事件的概率P.简单古典概型的概率(1)(2017舟山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A.B.C.D1(2)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_(1)B(2)(1)从袋中任取2个球共有C105种取法，其中恰好1个白球，1个红球共有CC50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为.(2)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P.规律方法1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.2确定基本事件个数的方法：(1)基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件变式训练1(1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.B.C.D.(2)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_(1)C(2)(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种所以所求事件的概率P1.(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,6)，共36种情况设事件A“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况所以由古典概型的概率公式，得P()，所以P(A)1.古典概型的概率公式的应用某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率. 【导学号：51062347】解(1)由题意，参加集训的男、女生各有6名参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为.3分因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1.6分(2)设参赛的4人中女生有人，1,2,3.则P(2)，P(3).10分由互斥事件的概率加法公式可知，P(2)P(2)P(3)，故所求事件的概率为.15分规律方法1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解2注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用变式训练2某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动参加活动的儿童需转动如图951所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：图951若xy3，则奖励玩具一个；若xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀小亮准备参加此项活动(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集S(x，y)|xN，yN,1x4,1y4一一对应因为S中元素的个数是4416，所以基本事件总数n16.3分(1)记“xy3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)所以P(A)，即小亮获得玩具的概率为.6分(2)记“xy8”为事件B，“3xy，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.15分复杂的古典概型在一次大型运动会期间，某报刊媒体要选择两名记者去进行专题采访，现有记者编号分别为1,2,3,4,5的五名男记者和编号分别为6,7,8,9的四名女记者要从这九名记者中一次随机选出两名，每名记者被选到的概率是相等的，用符号(x，y)表示事件“抽到的两名记者的编号分别为x，y，且xy”求所抽取的两名记者的编号之和小于17但不小于11或都是男记者的概率解总的基本事件有C36(个)，记事件“所抽取的记者的编号之和小于17但不小于11”为事件A，即事件A为“x，y1,2,3,4,5,6,7,8,9，且11xy17，其中xy”，可知事件A共含有15个基本事件，列举如下：(2,9)，(3,8)，(3,9)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(7,8)，(7,9)，共15个“都是男记者”记作事件B，则事件B为“xy5”，包含：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个.13分故P(A)P(B).15分规律方法1.本题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型必要时将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解2在求基本事件总数和所求事件包含的基本事件数时，要保证计数的一致性，就是在计算基本事件数时，都按排列数求，或都按组合数求变式训练3将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个为奇数的概率；(2)以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2y215的外部或圆上的概率. 【导学号：51062348】解一颗骰子先后抛掷2次，有6636个基本事件.2分(1)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，记为.又发生时，有mCC9个基本事件.4分P()，则P(B)1P().因此，两数中至少有一个奇数的概率为.6分(2)点(x，y)在圆x2y215的内部记为事件C，则表示“点(x，y)在圆x2y215上或圆的外部”.8分又事件C包含基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共有8个.10分P(C)，从而P()1P(C)1.点(x，y)在圆x2y215上或圆外部的概率为.15分思想与方法1古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个2确定基本事件的方法 (1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法3较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算易错与防范古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的课时分层训练(五十六)古典概型A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为()A.B.C.D.C设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b.则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率P.2从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为() 【导学号：51062349】A.B. C.D.B设另外三名学生分别为丙、丁、戊从5名学生中随机选出2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种情形，其中甲被选中的有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种情形，故甲被选中的概率P.3(2017绍兴模拟)一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“1”“3”“1”“4”的四张卡片随机排成一行，若卡片按从左到右的顺序排成“1314”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受到奖励的概率为()A.B.C.D.A先从4个位置中选一个排4，再从剩下的位置中选一个排3，最后剩下的2个位置排1.共有43112种不同排法又卡片排成“1314”只有1种情况，故所求事件的概率P.44位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为() 【导学号：51062350】A.B.C.D.D4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有2416(种)，其中仅在周六(周日)参加的各有1种，所求概率为1.5如图952，三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是()图952A.B.C.D.D从九个数中任取三个数的不同取法共有C84(种)，因为取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有CCC6(种)，所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1.二、填空题6在集合中任取一个元素，所取元素恰好满足方程cos x的概率是_. 【导学号：51062351】基本事件总数为10，满足方程cos x的基本事件数为2，故所求概率为P.7从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是_从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则有2,3；2,8；2,9；3,8；3,9；8,9；3,2；8,2；9,2；8,3；9,3；9,8，共12种取法，其中logab为整数的有(2,8)，(3,9)两种，故P.8在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是_记“两人都中奖”为事件A，设中一、二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)，(0,2)，共6种其中甲、乙都中奖有(1,2)，(2,1)，共2种，所以P(A).三、解答题9(2017浙江五校联考)设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛用所给编号列出所有可能的结果；设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率解(1)应从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.5分(2)从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有可能结果为A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共15种.10分编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到的所有可能结果为A1，A5，A1，A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共9种因此，事件A发生的概率P(A).15分10(2017浙江湖州检测)一个盒子里装有若干个均匀的红球和白球，每个球被取到的概率相等若从盒子里随机取一个球，取到的球是红球的概率为；若一次从盒子里随机取两个球，取到的球至少有一个是白球的概率为.(1)该盒子里的红球、白球分别为多少个？(2)若一次从盒子中随机取出3个球，求取到的白球个数不少于红球个数的概率. 【导学号：51062352】解(1)设该盒子里有红球m个，有白球n个，根据题意得4分解方程组得m4，n8，红球4个，白球8个.7分(2)设“从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球个数”为事件A，则P(A)，13分因此，从盒子中任取3个球，取到的白球个数不少于红球