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浅谈排列组合问题的几种解题策略 关键词:排列组合 解题策略排列组合问题是高考的必考内容,也是高考题中正确率最低的题目之一.究其原因,是因为其思维方式独特,解题思路新颖,如果对题意认识出现偏差的话,极易出现计数中的重复和遗漏.因此解决排列组合问题要讲究策略,本文列举了几种常见的排列组合问题的解题策略,以期对大家有所帮助. 1优限法 所谓“优限法”,即有限制条件的元素(或位置)在解题时优先考虑【例1】计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一列成列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的成列方法有A. 种 B. 种 C. 种 D. 种解:先把3种品种的画看成整体,而水彩画受限制应优先考虑不能放在头尾,故只能放在中间,有油画与国画有种放法,再考虑油画与国画本身又可以全排列,故排列的方法为,故选D.注对有限制条件的元素(或位置)一定要优先考虑 2捆绑法 所谓捆绑法就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时,可整体考虑将相邻元素视为一个”大”元素，然后再考虑”大”元素内部各元素间顺序的解题策略. 【例2】有8本不同的书；其中语文书3本，数学书2本，其它学科书3本若将这些书排成一列放在书架上，让语文书排在一起，数学书也恰好排在一起的排法共有( )种(结果用数值表示) 解：把3本语文书“捆绑”在一起看成一本大书，2本书学书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本语文书有种排法，2本书学书有种排法；根据分步计数原理共有排法=1440(种). 注运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题 3.插空法 对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题，可以用插空法.即先排好没有限制条件的元素， 2up江西教育资源网再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置即可. 【例3】用1、2、3、4、5、6、7、8组成没有重复数字的八位数，要求1与2相邻，2与4相邻，5与6相邻，而7与8不相邻.这样的八位数共有( )个(用数字作答)解：由于要求1与2相邻，2与4相邻，可将1、2、4这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排2，两边排1和4，因此大元素内部共有种排法，再把5与6也捆绑成一个大元素，其内部也有种排法，与数字3共计三个元素，先将这三个元素排好，共有种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字7和8插入即可，共有种插法，所以符合条件的八位数共有288(种)注运用插空法解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置 4.间接法 含“至多”或“至少”的排列组合问题，是需要分类的问题.可用间接法，即排除法(总体去杂),即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法 【例4】从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种 A140种 B80种 C70种 D35种解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有=70(种)，故选C注这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的问题 5.划归法对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想，将其化归为简单的、具体的问题来求解.【例5】某种产品有5件不同的正品,4件不同的次品,现在一件件地进行检测,直到4件次品全部测出为止,则最后一件次品恰好在第6次检测时被测出,这样的检测方案有多少种?解:问题划归为从9件产品中取出6件的一个排列,第6次为次品,前五位有其余3件次品,可分三步:先从4件产品中留出1件次品排在第6位,有4种方法;再从5件正品中取出2件, 有种方法;再把3件次品和取出的2件正品排在前五位有种方法.所以检测方案总数为=4800.注此题若直接去考虑的话，就会比较复杂.但如果我们将其转化为等价的其他问题，就会显得比较清楚，方法简单，结果容易理解.2up江西教育资源网6.求剩法在组合问题中，有多少种取法，就有多少种剩法，他们是一一对应的，因此，当求取法困难时，可转化为求剩法.7mT江西教育资源网【例6】 袋中有5分硬币23个，1角硬币10个，如果从袋中取出2元钱，有多少种取法？7mT江西教育资源网解：把所有的硬币全部取出来，将得到0.0523+0.1010=2.15元，所以比2元多0.15元，所以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角，所以共有=2001种取法.注此题是一个组合问题，若是直接考虑取钱的问题的话，情况比较多，也显得比较凌乱，难以理出头绪来.但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话，就会很容易解决问题.7mT江西教育资源网以上介绍了排列组合问题的几种常见解题策略，这些策略不是彼此孤立的,而是相互依存的，相互为用的.有时解决某一问题时要综合运用几种解题策略.在这些策略中所涉及到的数学思想方法，例如：分