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1 电动力学复习题电动力学复习题 一、一、 简答题简答题 1 分别分别写出电流的连续性方程写出电流的连续性方程的微分形式与积分形式的微分形式与积分形式，并并简单简单说明它的说明它的 物理意义。物理意义。 2 写出麦克斯韦方程组，写出麦克斯韦方程组，并对每一个方程用一句话概括其物理意义。并对每一个方程用一句话概括其物理意义。 3 麦克斯韦方程组中的麦克斯韦方程组中的电场与磁场是否对称？为什么？电场与磁场是否对称？为什么？ 4 一个空间矢量场一个空间矢量场A ，给出给出哪些条件能把它唯一确定？哪些条件能把它唯一确定？ 5 写出极化电流与极化强度、写出极化电流与极化强度、磁化电流密度与磁化强度磁化电流密度与磁化强度之间之间的关系的关系式。式。 6 简述公式简述公式 d ddd d VV w VfVS t =+ v 的物理意义。的物理意义。 7 简述介质中静电场的唯一性定理。简述介质中静电场的唯一性定理。 8 写出无界空间、上半空间以及球外空写出无界空间、上半空间以及球外空间间在第一类边值条件下在第一类边值条件下的格林函的格林函 数。数。 9 写出电偶极矩和电四极矩的写出电偶极矩和电四极矩的定义定义式。式。 10 设体系的电荷密度分布为设体系的电荷密度分布为( )x ，则该体系在外场，则该体系在外场 e 中的能量是多中的能量是多 少？少？ 11 写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上写出麦克斯韦方程组的积分形式，并写出其对应的在介质分界面上 的表达形式（即边值关系） 。的表达形式（即边值关系） 。 12 简述引入磁标势的基本条件简述引入磁标势的基本条件，并写出磁标势所满足的泊松方程，并写出磁标势所满足的泊松方程。 13 写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势写出磁偶极矩的定义式以及它所产生的矢势与标势与标势的表达式。的表达式。 14 平面电磁波中，电场平面电磁波中，电场和和磁场磁场的能量密度的能量密度各各为多少？为多少？电场能与磁场能电场能与磁场能 相等吗？相等吗？ 2 15 简述全反射现简述全反射现象。象。 16 在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？在导体内部，电荷密度随时间衰减的表达式是什么？衰减的特征时衰减的特征时 间如何定义？特征时间的表达式是什么？间如何定义？特征时间的表达式是什么？ 17 什么是什么是穿透深度穿透深度？电磁波从电磁波从介质垂直入射到介质垂直入射到导体时，导体时，穿透深度穿透深度是多是多 少少？良导体的条件是什么？良导体的条件是什么？ 18 简述趋肤效应。简述趋肤效应。 19 谐振腔内亥姆霍兹方程的谐振腔内亥姆霍兹方程的本征本征解的解的表达式是什么？表达式是什么？ 20 若电磁波在一个宽为若电磁波在一个宽为a，高为，高为b的无穷长矩形波导管中传播，其截止的无穷长矩形波导管中传播，其截止 角频率是多少？角频率是多少？ 21 写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。写出电磁场矢势与标势中的库仑规范与洛仑兹规范条件。 22 写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方写出在洛仑兹规范下的标势与矢势方程（即达朗贝尔方程） 。程（即达朗贝尔方程） 。 23 写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。写出真空中标势与矢势的达朗贝尔方程的推迟势解。 24 简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。简述对小电流分布区域在远场区的矢势进行多极展开的基本条件。 25 写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，写出电磁波动量密度的表达式，以及它与能流密度的关系式，独立独立 的的静电场静电场或或静磁场存在动量吗？静磁场存在动量吗？ 26 简述狭义相对论简述狭义相对论的两条基本假设。的两条基本假设。 27 坐标系坐标系以速度以速度v相对相对坐标系沿坐标系沿x轴轴正正向运动，写出从向运动，写出从系到系到系系 的洛仑兹变换公式。的洛仑兹变换公式。 28 坐标系坐标系以速度以速度v相对相对坐标系沿坐标系沿x轴正向运动，在轴正向运动，在系中两事件的系中两事件的 时间与空间间隔分别为时间与空间间隔分别为t和和x， 在， 在系中两事件的时间与空间间隔分别是系中两事件的时间与空间间隔分别是 多少？多少？ 29 简述相对论的时间延缓效应简述相对论的时间延缓效应和长度收缩效应和长度收缩效应。 3 30 坐标系坐标系以速度以速度v相对相对坐标系沿坐标系沿x轴正向运动， 写出相对论速度变轴正向运动， 写出相对论速度变 换公式。换公式。 二、二、 证明题证明题 1 利用公式利用公式 d dd d LS ElBS t = 证明两介质的分界面上的电场强度跃变关系式证明两介质的分界面上的电场强度跃变关系式 21 ()0 n eEE= （第（第 1 章，课堂证明）章，课堂证明） 2 证明：证明： （1）当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足 22 11 tan tan = 其中其中 1 和和 2 分别为两种介质的电容率，分别为两种介质的电容率， 1 和和 2 分别为界面两侧电分别为界面两侧电场场线与法线与法 线的夹角。线的夹角。 （2）当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电当两种导电介质内流有稳恒电流时，分界面上电场场线曲折满足线曲折满足 22 11 tan tan = 其中其中 1 和和 2 分别为两种介质的电导率。分别为两种介质的电导率。 （习题（习题 112） 3 证明自由空间中证明自由空间中，介质介质内的电场内的电场E 与磁场与磁场B 所所满足满足的方程为的方程为亥姆霍兹亥姆霍兹 方程。方程。 （第（第 4 章，课堂证明）章，课堂证明） 4 由平面电磁波的由平面电磁波的电场表达式电场表达式 0 ( ) ik x E xE e = ， 证明平面电磁波为横波。（第， 证明平面电磁波为横波。（第 4 章，课堂证明）章，课堂证明） 5 利用电磁场的边值条件利用电磁场的边值条件，证明证明平面电磁波在平面电磁波在两两绝缘绝缘介质分界面上的反介质分界面上的反 4 射与折射定律。 （第射与折射定律。 （第 4 章，课堂证明）章，课堂证明） 6 利用电磁场的边值条件利用电磁场的边值条件，证明证明平面电磁波在平面电磁波在两两绝缘介质分界面上反射绝缘介质分界面上反射 与折射时的与折射时的菲涅耳公式菲涅耳公式。 （第。 （第 4 章，课堂证明章，课堂证明） 7 证明平面电磁波的电场与磁场能量相等，并求平均能流密度矢量的表证明平面电磁波的电场与磁场能量相等，并求平均能流密度矢量的表 达式（用电场的振幅表示） 。 （第达式（用电场的振幅表示） 。 （第 4 章，课堂证明章，课堂证明） 8 设设A 和和是满足洛仑兹规范的矢势和标势，引入赫兹矢量函数是满足洛仑兹规范的矢势和标势，引入赫兹矢量函数( , )Z x t ， 若令若令Z= ，证明，证明 2 1Z A ct = 。 （习题。 （习题 55(1)） 9 动量为动量为k ，能量为，能量为的光子撞在静止的电子上，散射到与入射方向的光子撞在静止的电子上，散射到与入射方向 夹角为夹角为的方向上。证明散射光子的频率变化量为的方向上。证明散射光子的频率变化量为 2 2 0 2 sin 2m c = 亦即散亦即散射光波长变化量射光波长变化量 2 0 0 4 sin 2m c = 其中其中 2 k =为散射前光子的波长，为散射前光子的波长， 0 m为电子的静止质量。 （习题为电子的静止质量。 （习题 626） 三、三、 计算题计算题 1 有一内外半径分别为有一内外半径分别为 1 r和和 2 r的空心介质球，介质的电容率为的空心介质球，介质的电容率为，使介质，使介质 内均匀带静止自由电荷密度内均匀带静止自由电荷密度 f ，求，求 （1）空间各点的电场；）空间各点的电场； （2）极化体电荷和极化面电荷分布。）极化体电荷和极化面电荷分布。 （习题（习题 17） 2 内外半径分别为内外半径分别为 1 r和和 2 r的无穷长中空导体圆柱， 沿轴向流有稳恒均匀自的无穷长中空导体圆柱， 沿轴向流有稳恒均匀自 5 由电流由电流 f J ，导体的磁导率为，导体的磁导率为，求磁感应强度和磁化电流。 （习题，求磁感应强度和磁化电流。 （习题 18） 3 求带电量为求带电量为Q，半径为，半径为a的导体球的静电场总能量的导体球的静电场总能量。 （课堂例题。 （课堂例题 21） 4 如图所示，两同心球壳之间充以两种介如图所示，两同心球壳之间充以两种介 质，左半部分介质电容率为质，左半部分介质电容率为 1 ，右半部分介，右半部分介 质电容率为质电容率为 2 。设内球壳总带电量为。设内球壳总带电量为Q，半，半 径为径为a，外球壳接地，半径为，外球壳接地，半径为b，求介质中的，求介质中的 电势和内球壳上电势和内球壳上的电荷分布。的电荷分布。 （课堂例题（课堂例题 2 2） 5 把一无限长圆柱形导体放入均匀电场把一无限长圆柱形导体放入均匀电场 0 E 中，圆柱形导体接地，半径为中，圆柱形导体接地，半径为 b，柱外为真空，柱外为真空，且圆柱轴线与电场方向垂直，求空间电势分布。 （且圆柱轴线与电场方向垂直，求空间电势分布。 （数学物数学物 理方法之分离变量法例理方法之分离变量法例 3） 6 把半径为把半径为b的无限长圆柱形均匀各向同性电介质放入均匀电场的无限长圆柱形均匀各向同性电介质放入均匀电场 0 E 中，中， 柱外介质的介电常数为柱外介质的介电常数为 1 ， 柱体介质的介电常数为， 柱体介质的介电常数为 2 。 求空间电势分布。（数。 求空间电势分布。（数 学物理方法之分离变量法例学物理方法之分离变量法例 4） 7 把一半径为把一半径为a的金属球置于均匀静电场的金属球置于均匀静电场 0 E 中，求空间电场强度。 （数学中，求空间电场强度。 （数学 物理方法之分离变量法例物理方法之分离变量法例 5） 8 一个内径和外径分别为一个内径和外径分别为 2 R和和 3 R的导体球壳，带电荷的导体球壳，带电荷Q，同心地包围着，同心地包围着 一个半径为一个半径为 1 R的导体球（的导体球（ 12 RR处置一处置一个个电量为电量为q的点电荷。的点电荷。用分离变量法用分离变量法求空间求空间 电势分布。 （数学物理方法之分离变量法例电势分布。 （数学物理方法之分离变量法例 6） 12 接地无限大导体平板附近有一点电荷接地无限大导体平板附近有一点电荷Q，求空间电场分布。，求空间电场分布。 （课堂例（课堂例 题题 23） 13 在无穷大空间中充满介电常数为在无穷大空间中充满介电常数为 1 和和 2 的两种均匀电介质，其分界的两种均匀电介质，其分界 面为平面。设在介质面为平面。设在介质 1 中放一点电荷中放一点电荷Q，其所在位置其所在位置与分界面的垂直距离与分界面的垂直距离 为为a，求，求空间空间电势分布。电势分布。 （课堂例题（课堂例题 24） 14 真空中有一半径为真空中有一半径为 0 R的接地导体球， 距球心为的接地导体球， 距球心为 0 ()aaR处有一点电处有一点电 荷荷Q，求空间的电势分布。，求空间的电势分布。 （课堂例题（课堂例题 25） 15 真空中有一半径为真空中有一半径为 0 R的带电导体球，所带电量为的带电导体球，所带电量为 0 Q，距球心为距球心为 0 ()aaR处有一点电荷处有一点电荷Q。求球外电势。求球外电势分布分布及电荷及电荷Q所受的作用力所受的作用力。 （课（课 堂例题堂例题 26） 16 如图所示，在接地的如图所示，在接地的无限大无限大导体导体 平面上有一半径为平面上有一半径为a的半球凸起，的半球凸起， 半球的半球的 球心在导体平面上，点电荷球心在导体平面上，点电荷Q位于系统位于系统 的对称轴上，并与平面相距的对称轴上，并与平面相距()bba， 求空求空间电势。 （习题间电势。 （习题 211） 17 有一点电荷位于两个相互垂直的无限大接地导体半平面所围成的直有一点电荷位于两个相互垂直的无限大接地导体半平面所围成的直 角空间内，它到两个平面的距离分别为角空间内，它到两个平面的距离分别为a和和b，求空间电势。 （习题，求空间电势。 （习题 212） 18 均匀带电的长形旋转椭球体，半长轴为均匀带电的长形旋转椭球体，半长轴为a，半短轴为，半短轴为b，总带电量为，总带电量为 a b Q a b Q 7 Q，求电四极矩。，求电四极矩。 （课堂例题（课堂例题 29） 19 有一块磁矩为有一块磁矩为m 的小永磁体，位于一块磁导率非常大在实物的平坦的小永磁体，位于一块磁导率非常大在实物的平坦 界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力界面附近的真空中，求作用在小永磁体上的力F 。 （习题。 （习题 315） 20 一一列列平面电磁波以平面电磁波以 o 45=从真空入射到从真空入射到2 r =的介质， 电场强度垂直的介质， 电场强度垂直 于入射面。求反射系数与于入射面。求反射系数与透透射系数。射系数。已知菲涅尔公式已知菲涅尔公式 sin() sin() EE = + ， 2cos sin sin() EE = + 。 （习题（习题 42） 21 有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿z轴传播， 一个波沿轴传播， 一个波沿x方向方向 偏振， 另一个沿偏振， 另一个沿y方向偏振， 但相位比前者超前方向偏振， 但相位比前者超前/2， 求合成波的偏振。 （习， 求合成波的偏振。 （习 题题 45） 22 已知海水的已知海水的1 r =， 1 1S m =， 计算频率， 计算频率为为50Hz， 6 10 Hz和和 9 10 Hz 的三种电磁波在海水中的透入深度。 （习题的三种电磁波在海水中的透入深度。 （习题 47） 23 求三条边长分别为求三条边长分别为 1 L、 2 L、 3 L的矩形谐振腔内的电磁波的本征振荡。的矩形谐振腔内的电磁波的本征振荡。 已知谐振腔中电场满足已知谐振腔中电场满足 Helmholtz 方程方程 22 ( , , )( , , )0E x y zk E x y z+= ， 且在， 且在谐谐 振腔振腔内内0E= ，在，在谐振腔谐振腔表面上表面上电场强度和导体表面垂直。电场强度和导体表面垂直。 （第第 4 章，课章，课 堂讲解，即书本第四章堂讲解，即书本第四章第第 4 节的内容节的内容） 24 在截面为矩形，矩形两边长分别为在截面为矩形，矩形两边长分别为 1 L、 2 L的波导中的波导中传输的电磁波，传输的电磁波， 设设传播方向为传播方向为z轴正向，电场轴正向，电场E 的形式为的形式为( , , )( , ) z ik z i t E x y zE x y e = ，求求电磁电磁 波的电场谐振波模。波的电场谐振波模。 （第第 4 章，课堂讲解，即书本第四章第章，课堂讲解，即书本第四章第 5 节的内容节的内容） 25 一对无限大的平行理想导体板，相距为一对无限大的平行理想导体板，相距为b，电磁波沿平行于板面的，电磁波沿平行于板面的z 方向传播，取平行于板面且与方向传播，取平行于板面且与z轴垂直的方向为轴垂直的方向为x方向，设波在方向，设波在x方向是均方向是均 匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。 （习题匀的，求可能传播的波模和每种波模的截止频率。 （习题 414） 8 26 求波导中求波导中 10 TE波的电磁场。波的电磁场。 （课堂例题（课堂例题 43） 27 在在横截面两边长分别为横截面两边长分别为a、b的矩形波导的矩形波导中，设中，设电磁电磁波的传播模式为波的传播模式为 () ( , , , )( , ) z i k zt E x y z tE x y e = ，其中，其中 22 2222 zxy mn kkkk ab = 求求波导中波导中 11 TE波的相速度与群速度波的相速度与群速度，并说明，并说明如果波导中为真空，则相速度如果波导中为真空，则相速度 超过真空中的光速。超过真空中的光速。 （第（第 4 章，课堂讲解章，课堂讲解，取，取1mn=， 0 =， 0 =即可即可） 28 从麦克斯韦方程组出发，推导矢势与标势所满足的方程，从麦克斯韦方程组出发，推导矢势与标势所满足的方程，并在洛仑并在洛仑 兹规范下，求达朗贝尔方程的形式。兹规范下，求达朗贝尔方程的形式。 （第（第 5 章，课堂讲解章，课堂讲解） 29 设有两根相互平行的尺子，在各自静止的参考系中的长度均为设有两根相互平行的尺子，在各自静止的参考系中的长度均为 0 l， 它们以相同的速率它们以相同的速率v相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于相对于某一参考系运动，但运动方向相反，且平行于 尺子。求站在一根尺子上测量另外一根尺子的长度。 （习题尺子。求站在一根尺子上测量另外一根尺子的长度。 （习题 62） 30 静止长度为静止长度为 0 l的车厢，以速度的车厢，以速度v相对于地面运行，在车厢的后壁以速相对于地面运行，在车厢的后壁以速 度度 0 u向前推出一个小球