概率论chapter01习题.pdf

汕大 数学系 林小苹 PROBABILITY P ABP A P B A= = 全概率公式全概率公式( )(|)(); ii i P AP A BP B= 定义：定义：(|)()( )P B AP AB P A= = 公式公式 ( )1( );P AP A= = 逆公式逆公式 ( )( );ABP AP B包含公式包含公式 ()( )( )()P ABP AP BP AB= =+和公式和公式 (有无序有无序,有无放回有无放回, 排列排列/组合组合) 汕大 数学系 林小苹 10. 在在11张卡片上分别写上张卡片上分别写上Probability这这11个字母，从 中任意连抽 个字母，从 中任意连抽7张，求其排列结果为张，求其排列结果为ability的概率。的概率。 7 11 117 “ A ability 随机试验是从张卡片中随机连续抽 张， 样本空间所含样本点总数为，而排列结果 为这一事件所含样 随机试验是从张卡片中随机连续抽 张， 样本空间所含样本点总数为，而排列结果 为这一事件所含样 解：解： 本点总数为本点总数为 ，41111221= = 6 4 2.40 10 1663200 p =故： =故： 作业讲解作业讲解 汕大 数学系 林小苹 11. 将将3个球随机地放入个球随机地放入4个杯子中去，求杯 子中球的最大数分别为 个杯子中去，求杯 子中球的最大数分别为1，2，3的概率。的概率。 34将 个球随机地放入 个将 个球随机地放入 个解：解：杯子中，杯子中， 作业讲解作业讲解 共有共有 (1,2,3), i Aii = =记 为事件“杯子里球的最大个数为 ”记 为事件“杯子里球的最大个数为 ” 1 A事件表示每个杯子最多放一只球，事件表示每个杯子最多放一只球， 3 4 A共有种放法，共有种放法， 33 14 3 ()/ 4 8 P AA= = =故故 3 3A事件表示 只球都放在一只杯子中，共有事件表示 只球都放在一只杯子中，共有 1 4 C 种放法，种放法， 13 34 1 ()/ 4 16 P AC=故=故 2 ()P A= = 13 319 1()()1 81616 P AP A= 或或 2 ()P A= = 2113 343 / 49/16C C C= = 2 232 43 A事件表示有一个杯子放 只球，故在 个球中任取 球放在 只杯子中的一只，而另一球放在其余 个杯子中的一只， 事件表示有一个杯子放 只球，故在 个球中任取 球放在 只杯子中的一只，而另一球放在其余 个杯子中的一只， 3 4种放法。种放法。 汕大 数学系 林小苹 18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需 电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？ 某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需 电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？ (1,2,3), i Aii =记为事件“第 次接通电话” 则拨号不超过三次接通所需电话 =记为事件“第 次接通电话” 则拨号不超过三次接通所需电话 解1：解1： 这一事件为这一事件为 1 A 作业讲解作业讲解 12 A A 123 A A A 112123 ()()()PP AP A AP A A A+故所求概率=+故所求概率= 1121 ()() (|)P AP A P AA+ +=+= 121312 () (|) (|)P A P AA P AA A , 1414313 5545435 P =+=+= 当已知最后一位数字是奇数时 所求概率为当已知最后一位数字是奇数时 所求概率为 1919813 10109109810 =+=+= 汕大 数学系 林小苹 18. 某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需 电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？ 某人忘记了电话号码的最后一个数字， 因而他随意地拨号。求他拨号不超过三次而接通所需 电话的概率。若已知最后一个数字是奇数，那么此概 率是多少？ 解2：解2： 作业讲解作业讲解 3“拨号不超过 次就接通”的“拨号不超过 次就接通”的对立事件对立事件是是3“拨号 次都未通”“拨号 次都未通” 123 1()PP A A A= 1= 121312 () (|) (|)P A P AA P AA A 10 3 8 7 9 8 10 9 1= 4323 1 5435 P = 当已知最后一位数是奇数时，所求概率 = 当已知最后一位数是奇数时，所求概率 汕大 数学系 林小苹 35. 解：解：记记Ai表示事件表示事件“在情况在情况C发生时，第发生时，第i只开关闭 合 只开关闭 合”，i1，2，n，则当，则当n2时，系统的可靠性为时，系统的可靠性为 12 1-()pP A A=或=或 pP(A1UA2)P（A1）+P(A2) P（A1A2） ） 0.96+0.96(0.96)20.9984 P（A1）P（A2）P(A1)P(A2) 12 1() ()P A P A=0.9984= = 2 10.04= 作业讲解作业讲解 0.9999如果要求系统的可靠性至少为，则如果要求系统的可靠性至少为，则 12 1()0.9999 n PP A AA=?=? 4 1(0.04)0.9999,(0.04)10, nn 即 即 30.9999.故至少要 只开关关联才能使系统的可靠性至少为故至少要 只开关关联才能使系统的可靠性至少为 86. 2 04. 0lg 4 n 汕大 数学系 林小苹 解：解：记记Hj为事件为事件“输入信道的分别是字母串输入信道的分别是字母串“AAAA， BBBB，CCCC”，i1，2，3，G为事件为事件“输出的是输出的是 ABCA”，由贝叶斯公式，由贝叶斯公式 1 (|)P HG = = 作业讲解作业讲解 ()P G 1 ()P GH 11 () (|)P HP G H 3 1 () (|) ii i P HP G H = = = = 22 1 1 () 2 p = = 22 1 1 () 2 p + + 3 1 () 2 23 ()pp+ + 1 ( 1)p 1 1 2 (31)1 p p = = + 40. 将将A,B,C三个字母之一输入信道，输出为原 字母的概率为 三个字母之一输入信道，输出为原 字母的概率为 ，而输出为其它一字母的概率都是，而输出为其它一字母的概率都是 (1 )/2. 今将字母串今将字母串AAAA,BBBB,CCCC之一输入信道之一输入信道, 输 入 输 入AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为的概率分别为p1, p2, p3(p1+p2+p3=1), 已知输出为已知输出为ABCA, 问输入的是问输入的是AAAA的概率是多少的概率是多少?（设 信道传输每个字母的工作是相互独立的） （设 信道传输每个字母的工作是相互独立的） 汕大 数学系 林小苹 Bi=“第第i次取到一等品次取到一等品”(i=1,2) 记记A=“挑出的是第挑出的是第1箱箱”， 例例例例. .有两箱同种类的零件有两箱同种类的零件. 第一箱第一箱装装 20 只，其中只，其中 5 只一等 品； 只一等 品；第二箱第二箱装装 16 只，其中只，其中 6 只一等品只一等品. 今从两箱中任挑出 一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，不放回 今从两箱中任挑出 一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，不放回 . 求 第求 第1次取到一等品的概率；次取到一等品的概率； 第第1次取到一等品的条 件下 次取到一等品的条 件下, 第第2次也取到一等品的概率次也取到一等品的概率. 解解解解: : 11 (| )( )(| )( )P BPP BAAA P A=+=+ 1 ( )P B(1) 21 (|) ?P B B = = (2) 5611 20 216 2 = =+ 5 . 16 = = 12 1 () () P BB P B = = 1 ()P B = = 5 46 511 20 19 216 15 2 5 16 + = + = 27 . 95 = = 11 3816 5 16 + = + = 1212 (| )( )(| )( )P BB AAAPAPBBP+ 汕大 数学系 林小苹 例例 在可靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用: 如图，如图，1、2、3、4、5表 示继电器触点 表 示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为假设每个触点闭合的概率为 p ,且各继电 器接点闭合与否相互独立，求 且各继电 器接点闭合与否相互独立，求 L 至至 R 是通路的概率是通路的概率. 解解解解: : 设设A 表示表示“L 至至 R 为通路为通路”, (i =1,2,5) Ai 表示表示“第第 i 个继电器通个继电器通”, (1) (2) 3(|)P A A= = 1425 ()P A AA A 24 2pp= = 3 (|)P A A = = 1245 ()()P AAAA 1245 () ()P AA P AA= = 2 2 (2)pp= 由全概率公式由全概率公式 ( )P A = = 33 33 (|) ()(|) ()P A A P AP A A P A+ + 2345 2252pppp=+=+ (1) (2) 汕大 数学系 林小苹 6. 在房间里有在房间里有10个人，分别佩戴从个人，分别佩戴从1号到号到10号纪念章， 任选 号纪念章， 任选3人记录其纪念章的号码。人记录其纪念章的号码。(1)求最小的号码为求最小的号码为5的 概率； 的 概率；(2)求最大的号码为求最大的号码为5的概率。的概率。 解：解：随机试验是观察从随机试验是观察从10人中任取人中任取3人的纪念章号码 数，样本空间 人的纪念章号码 数，样本空间S的样本点总数为