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西南交通大学2006-2007学年第(一)学期考试试卷课程代码 课程名称 随机过程B 考试时间 2007.1.24 题号一二三四五六七总成绩得分一、 （14分）设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为： 试求:在时,求。解： (5分)当时， (5分) (4分)二、（14分）设离散型随机变量X服从几何分布： 试求的特征函数，并以此求其期望与方差。解： (2分) (4分) (2分) (2分) 所以： (2分) (2分)三、（14分）请写出维纳随机过程的数学定义，均值函数，自相关函数与一维特征函数。答：1、设W(t)是一个随机过程，满足：（1） (2分)（2）W(t)是增量独立的随机过程 (2分)（3）， (2分)则称W(t)为维纳过程。 2、，,， (3分) (3分) (2分)四、（14分）设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。解：（1） 与无关 （4分）（2） ， 所以 （5分）（3） 只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。（5分）五、（14分）某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数。假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程。（1） 试求到某时刻时到达商场的总人数的分布；（2） 在已知时刻以有50人到达的条件下，试求其中恰有30位妇女的概率，平均有多少个女性顾客？解：设分别为（0,t）时段内到达商场的男顾客数、女顾客数及总人数。（1） 由已知，为强度的泊松过程，为强度的泊松过程；故，为强度的泊松过程；于是， （5分）（2） （5分） 一般地， 故平均有女性顾客 人 （4分） 六、（15分）设一个坛子中装有4个球，它们或是红色的，或是黑色的。从坛子中随机地取出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次取球置换，令表示第次取球后坛中的黑球数。（1）是否构成马氏链,是否为齐次的，为什么?（2）试写出其状态空间与一步转移概率矩阵。解：的参数集为，状态集为，当X(n)的取值确定时，X(n+1)的取值完全由X(n)确定，故为马氏链，（4分） （4分）与n无关，故为齐次马氏链。 （2分）（2）一步转移概率矩阵为 （5分）七、（15分）设是独立同分布随机变量序列，其分布律为： ， （1）试给出的一步转移矩阵，并画出概率转移图；（2）令，计算概率。（1）的一步转移矩阵为 （3分）转移图为： （4分） 110.40.
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