时间序列分析(张能福)第一、二章.doc

第一章绪论通过本章的学习，理解时间序列的概念，特别是随机时间序列的概念，掌握时间序列的建立过程，掌握确定性时序分析方法，掌握随机过程的概念，深刻理解平稳性和白噪声。第一节时间序列分析的一般问题时间序列的含义时间序列是指被观察到的以时间为序排列的数据序列。时间序列可以以表格的形式或图形的形式表现。例：上海180 指数某时间段的变化国际航运乘客资料（单位：千人）19461970 美国各季生产者耐用品支出（单位：十亿美元）1952 年1994 年我国社会消费品零售总额（单位：亿元）第二节时间序列的建立我们把获取时间序列以及对其进行检查、整理和预处理等工作，称为时间序列的建立。时间序列数据的采集相应于时间的连续性，系统在不同的时刻上的响应常常是时间t的连续函数。为了数字计算处理上的方便，往往只按照一定的时间间隔对所研究系统的响应进行记录和观察，我们称之为采样。相应地把记录和观察时间间隔称为采样间隔。通常采样采用等间隔采样。离群点（Outlier ）离群点（Outlier ）是指一个时间序列中，远离序列一般水平的极端大值和极端小值。对时间序列离群点分析的方法，有时也被称作稳健估计（Robust Estimation ），该方法最早由Box 和Anderson 于1955 年提出。1. 离群点（Outlier ）产生的原因：（1）采样误差；（2）系统各种偶然非正常因素影响。2. 离群点的数理描述：(1) 它们是既定分布中的极端点（extreme point ），它们虽与数据主体来自同一分布，但本身应以极小的概率出现；(2) 这种点与数据集的主体并非采自同一分布，而是在采集数据过程中受到其他分布的“污染”，致使现有数据集掺入不应有的“杂质”。3. 离群点（Outlier ）的类型：（1）加性离群点（Additive Outlier ），造成这种离群点的干扰，只影响该干扰发生的那一个时刻T上的序列值，而不影响该时刻以后的序列值。（2）更新离群点（Innovational Outlier ），造成离群点的干扰不仅作用于XT ，而且影响T时刻以后序列的所有观察值。（3）水平移位离群点（Level Shift Outlier ）,造成这种离群点的干扰是在某一时刻T，系统的结构发生了变化，并持续影响T时刻以后的所有行为，在数列上往往表现出T时刻前后的序列均值发生水平位移。（4）暂时变更离群点(Temporary Change Outlier), 造成这种离群点的干扰是在T时刻干扰发生时具有一定初始效应，以后随时间根据衰减因子的大小呈指数衰减。（请大家观看四种离群点的演示试验）（1）直接进行剔除；（2）对数据模型进行修正处理分析。缺损值（Missing value ）的补足依据系统运动轨迹或变化趋势，运用一定的方法对缺损值进行估计、推测，以补足缺损的数值。第三节确定性时序分析方法概述一个时间序列往往是以下几类变化形式的叠加或耦合：长期趋势变动（T）季节变动（S）循环变动（C）不规则变动（R）常见的确定性时间序列模型：() 混合模型确定性时序分析方法：1. 移动平均法二次移动平均值计算公式为：2. 指数平滑法一次指数平滑模型（Simple Exponential Smoothing,SES ）的特点：非等加权，距离越近权数越大；平滑指数为连续变量，可以通过最小均方误（mean squared error ）计算出最最佳的平滑系数；对反转平均滞后1/；预测区间比Random Walk 窄；ARIMA 模型的特例，ARIMA(0,1,1),MA 的系数为1-。二次指数平滑模型（Linear(double) Exponential Smoothing,LES ）常用于含线性趋势数据; 三次指数平滑模型（Quadratic(triple) Smoothing Modle ）常用于含曲线趋势的数据。3. 时间回归法4. 季节周期预测法(1) 乘法型季节模型上表中不同年份同一季度的季节比率很接近但并不相等，这是由于季节比率中还包含有不规则变动的影响。为了将不规则变动从季节比率中剔除，可以采用对不同年份同一季度的季节比率进行算术平均的方法，求出的每个季度季节比率就是未调整的季节指数。在乘法模型中要求季节指数的平均数等于1，也就是说季度数据的季节指数之和应为4，但在实际中，由于计算过程中小数取舍的原因，未调整季节指数常常并不满足这个要求，这时需要对未调整季节指数进行调整。调整的方法是用每个未调整季节指数除以所有未调整季节指数的均值。上例中调整后的各季度季节指数为：第四节随机时间序列分析的几个基本概念随机过程(Stochastic Process) 时间序列的概率分布和数值特征1. 时间序列的概率分布一个时间序列的概率分布可以用它有限维分布簇来描述2. 时间序列的均值函数3. 时间序列的协方差函数与自相关函数协方差函数：平稳随机过程宽平稳：若随机过程的均值（一阶矩）和协方差存在，且满足严平稳与宽平稳的关系：平稳时间序列自协方差函数和自相关函数设平稳时间序列的均值为零，即平稳序列的样本统计量样本均值：时间序列无法获得多重实现，常用时间均值代替总体均值。样本自协方差函数几类特殊的随机过程（序列）：纯随机过程：随机过程如果是由一个不相关的随机变量的序列构成的，则称其为纯随机过程。白噪声序列（White noise ）：如果时间序列满足以下性质：3. 独立同分布序列：如果时间序列第二章平稳时间序列模型(单变量）选择单变量时间序列的原因一是对相关序列间的可能关系还缺乏可靠的先验信息。单变量时间序列建模是一个有用的简化手段，并可以进行有效的短期预测；例如，对于如下最简单的宏观经济模型：这里，Ct 、It 、Yt 分别表示消费、投资与国民收入。Ct 与Yt 作为内生变量，它们的运动是由作为外生变量的投资It 的运动及随机扰动项at 的变化决定的。上述模型可作变形如下：两个方程等式右边除去第一项外的剩余部分可看成一个综合性的随机扰动项，其特征依赖于投资项It 的行为。如果It 是一个白噪声，则消费序列Ct 就成为一个1阶自回归过程AR(1) ，而收入序列Yt 就成为一个(1,1) 阶的自回归移动平均过程ARMA(1,1) 。第一节自回归模型一阶自回归模型AR(1) AR （1）与普通一元线性回归一类特殊的AR （1）序列随机游动序列一般自回归模型AR(n) 第二节移动平均模型AR(1) 模型可以写成如下形式：一阶移动平均模型MA （1）一般移动平均模型MA(m) AR 模型和MA 模型的比较：AR 模型可以写成无穷阶MA 模型的形式，体现出AR 模型对随机干扰的长效记忆性。对于不同系数的AR(n) 序列，受到随机干扰后变化方向是不同的，对于不同系数的MA(m) 序列，随机冲击并不改变其变化方向，也就是说随机冲击对于MA 模型来说并不是一个“严重问题”。第三节自回归移动平均(ARMA) 模型其中：也就是Xt 为t 无穷线性组合形式。有时，数据可能不满足上述特性，用t 有限线性组合形式描述Xt 可能更恰当。其中：为白噪声。MA(1) 模型的基本假设为：(1)Xt 仅与其前一时刻进入系统的扰动t-1 有一定的依存关系；其中：（1）Xt 仅与有关，而与（j=m+1,m+2,）无关；请思考MA 序列的平稳性。表3 大华公司A产品销量时间序列季节指数计算表（二）0.873 1.350 1.039 0.744 算术平均（未调整的季节指数）0.899 0.827 0.825 0.942 1.371 1.404 1.350 1.275 1.038 1.092 1.057 0.970 0.717 0.725 0.726 0.806 4 3 2 1 季度年份图2 大华公司A产品销量时间序列季节指数变化图利用公式在原始序列中剔除季节变动，下图为剔除季节变动后的序列与原始序列的对比图形。图3 剔除季节变动的A产品销售时间序列图二、对剔除季节变动的序列拟合趋势方程利用最小二乘法得到线性趋势方程为：三、预测先利用线性趋势方程，对下一年四个季度的趋势值进行预测。第1季度趋势预测值为：第2季度趋势预测值为：第3季度趋势预测值为：第4季度趋势预测值为：上述预测值是不含季节变动的预测值，最终的预测值还应将上述预测值乘以相应季度的季节指数。第1季度预测值为：第2季度预测值为：第3季度预测值为：第4季度预测值为：图4 A 产品来年四个季度销售量预测图随机过程是一簇随机变量Xt,tT ，其中T表示时间t的变动范围，对每个固定的时刻t而言，Xt 是一普通的随机变量，这些随机变量的全体就构成一个随机过程。当t=0,1,2, 时，即时刻t只取整数时，随机过程Xt,tT 可写成如下形式，Xt,t=0,1,2, 。此类随机过程Xt 是离散时间t的随机函数，称它为随机序列或时间序列。对于一个连续时间的随机过程的等间隔采样序列，即Xt,t=0,1,2, 就是一个离散随机序列。时间序列所有的一维分布是：，F-1(?) ，F0(?) ，F1(?),所有二维分布是：Fij(? ，?) ，i ，j=0,1,2,(ij) 一个时间序列的所有有限维分布簇的全体，称为该序列的有限维分布簇。一个时间序列的均值函数是指：其中：EXt 表示在t固定时对随机变量Xt 的求均值，它只一维分布簇中的分布函数Ft(?) 有关。其中Ft,s(X,Y) 为（Xt ，Xs ）的二维联合分布。自相关函数：时间序列的自协方差函数有以下性质：对称性：非负定性：为对称非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质且有(t,t)=1 。对任意正整数m和任意m个整数k1, k2,?km ，方阵严平稳：如果对于时间t的任意n个值和任意实数，随机过程的n维分布满足关系式：则称为严平稳过程。则称为宽平稳随机过程。严平稳不等于宽平稳；宽平稳不等于严平稳；对于严平稳序列，如果其二阶距存在，其必为宽平稳，反之则一般不成立；对于高斯序列，严平稳与宽平稳是等价的。自协方差函数：自相关函数：平稳序列的自协方差函数有以下性质：对称性：非负定性：为非负定矩阵。自相关函数同样也具有上述性质。m阶自协方差阵有界性：上式的估计是无偏的。第一式是有偏估计，第二式是无偏估计，但有效性不如第一式。（1）（2）式中，当ts 时，简称白噪声。常记为：。称此序列为白噪声序列，中的随机变量Xt,t=0,1,2, 为相互独立的随机变量，而且具有相同的分布，