高中数学第一册(上)第三章“数列”.docVIP

高中数学第一册（上）第三章“数列”一、教材分析-数列在教纲、考纲的地位1、数列在教材中的地位与作用 新教学大纲把数列的教学目标定位在“理解数列的概念、掌握等差数列、等比数列通项公式及前n项和公式，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”，数列是以正整数为自变量的一种特殊函数。在高中数学中，数列是重点学习内容之一，它具有相对其他内容的独立性，又具有一定的综合性和灵活性，并且，数列还是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一，是进一步学习高等数学的基础，在一定程度上可以衡量一个学生进一步深造和发展的潜力，所以成为高考中的一个重点内容。2、数列与其它知识的联系数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫。 课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用 由于不少关于恒等变形、解方程(组)以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力。 3、本章的重点是数列的通项公式、等差数列和等比数列的性质及求和。4、本章的难点有：（1）、数列是学习离散量的开始，如何使学生理解数列与函数的联系；（2）、应用数列知识建立实际问题的数列模型以及如何区分实际问题中所蕴含的数列的类型。二、教学中应注意的几个问题 (一)把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的“一步到位”的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对“高考” 的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担 事实上，学习是一个不断深化的过程 作为在高一(上)学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高， 最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次 为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方， 例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧.(二)有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识在高中没有系统深入学习的机会 而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要 本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力。 (三)适当加强本章内容与函数的联系适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步。 比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方面 ：（1）数列概念与函数概念的联系相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前n个数组成的有限子集)的函数，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数，从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围。但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值，基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质。数列的通项公式实际上是相应函数的解析表达式，而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值n，就可以通过递推公式确定相应的f(n)，这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式。（2）等差数列与一次函数、二次函数的联系 从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项a 是关于项数n的一次函数式，于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列。例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列。 此外，首项为 、公差为d的等差数列前n项和的公式可以写为：即当 时，是n的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前n项和的问题。 如可以根据二次函数的图象了解函数的增减变化、极值等情况 。（3）等比数列与指数型函数的联系 由于首项为 、公比为q的等比数列的通项公式可以写成 它与指数函数有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列。 (四)注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比)、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差(等比)中项，以及具体问题中成等差(等比)数列的三个数的设法等。因此，可以在两者之间架起一座联想类比的桥梁。 (五)注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力。 事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。 应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过。（六）注意通解通法的使用本章内容中,涉及多种数学思想方法,如函数思想、方程思想、递归思想、合理猜想等，教学中要突出思想方法在解题中的作用，技巧的熟练掌握应建立在学生体会理解的基础上,不要以特殊的技巧冲淡通性通法的领悟.如3.3节习题第5题: “一个等差数列的第6项是5,第3项与第8项的和也是5,求这个数列的前9项的和.”.由，根据等差数列的性质可得由,得=0, 所以,得出=0.这一解法,利用了等差数列具有的性质.掌握了这一性质,能迅速求解本题.但这仅仅是一种解题的技巧,这些技巧的形成要建立在学生对等差数列深刻认识的基础上,不然随着时间的推移学生就容易淡忘,因此，从让学生掌握通性通法考虑，下列解法就显得更加具有普适性，因而也就更加重要：设数列的首项为,公差为.由题意得 从这个二元一次方程组可解得数列的首项与公差,进而可求出前9项的和.这一解法较前一解法复杂些，但它使用了“方程思想”，这是通性通法，更能反映数学问题的本质.而前一解法则带有特殊性,有较强的技巧性.一味让学生死记硬背一些方法技巧不利于学生数学能力的提高.三、本章教学特点（一）、注意启发学生思维1、在问题的提出和概念的引入方面 (1)、在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义，可以培养学生从特殊到一般的归纳推理(2)、在等比数列求和一节中将一个有关国际象棋棋盘的古代传说作为引入的例子，制造悬念，引起思考。在推导结论时，如在等差数列前n项和的公式推导时，是先提出问题：“1+2+3+100 = ?”，并指出著名数学家高斯10岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现等差数列的一个对称性质。从而得到等差数列求和的方法。（二）、注意数学思想方法的渗透1、函数思想 12、 方程（方程组）的思想已知数列满足某些条件，求这个数列等。 3、递推思想 在数列的递推公式里有所体现 应使学生明白当数列通项公式不明显时，有时也可以利用递推关系式来描述，而另一方面也应清楚;有时利用递推关系式是能够推导数列的通项公式的。对于递推公式的表达式还可以用计算机的算法语言表达成流程图，使数学和计算机学科有机的整合起来。4、猜想证明 归纳的思想综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力。事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例)来检验所提出的猜想。 譬如，等差数列有许多的性质非常重要，这些性质不但要让学生知道记住，还应尽可能让学生会自己独立推导证明这些结论，探究的过程更重于结论。不妨可以从特殊的数列着手，观察发现规律，归纳猜想出一般结论，进而严密论证。在等差等比数列中这些素材是非常多的。5、注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征类比思想 （三）、注重实际应用 1、数列在分期付款中的应用 2、数列在储蓄问题中的应用 3、数列在细胞分裂中的应用4、数列在环境保护中的应用5、数列在浓度问题中的应用 让学生真正感受到数学源自生活，服务于生活的事实，真正体会数学的工具价值，并逐渐培养善于从身边发现问题，并借助所学知识解决问题的探究意识，借此增强学生学习数学的兴趣。 （四）、几个研究性问题斐波那契数列 等比数列求和公式的推导方法组合贷款购房中的数学问题数表中的数列问题四、 教学建议近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。因此我们建议在教学时，要注意以下三点：1、 注意课本，要对课本中的典型例题、习题、总复习题进行总结、归纳、使学生熟练掌握等差、等比数列的概念与性质，掌握特殊化与一般化的思想方法。会从n=1；2-归纳、递推an,Sn;会从整体出发求出n=1;2-时an,Sn。特别注意特殊值法在解小题时的应用技巧，加强运算能力的训练。2、数列是特殊的函数，用函数的观念方法处理数列题，有时简便易行，要求学生对等差数列、等比数列与函数的结合题型要做到心中有数，对数形结合、分类讨论、解不等式、求函数最值等方法要熟悉。2006高考数列部分试题1、（2006年福建卷）在等差数列中，已知则等于 （B）（A）40（B）42（C）43（D）452、（2006年广东卷）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是A.5 B.4 C. 3 D.23、（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则 ； （答案用n表示） .4、 ( 2006年重庆卷)在等差数列an中，若aa+ab=12,SN是数列an的前n项和，则SN的值为 (B)（A）48 (B)54 (C)60 (D)665、( 2006年重庆卷)在数列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_.6、（2006年全国卷II）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则 (A)（A） （B） （C） （D）7、（2006年全国卷II）函数f(x)的最小值为 ( C )（A）190 （B）171 （C）90 （D）458、（2006年天津卷）已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（C）A55 B70C85D1009、（2006年湖北卷）若互不相等的实数、成等差数列，、成等比数列，且，则=（D） A.4 B.2 C.-2 D.-410、（2006年全国卷I）设是公差为正数的等差数列，若，则A B C D11、（2006年江西卷）已知等差数列an的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200（ A ）A100 B. 101 C.200 D.20112、（2006年辽宁卷）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于(A) (B) (C) (D)13、（2006年北京卷）设，则等于 (D)（A）（B）（C） （D）14、（ 2006年浙江卷）设S为等差数列a,的前n项和，若S-10, S=-5,则公差为-1（用数字作答）.15、（ 2006年浙江卷）已知函数f(x)=x+ x，数列x(x0)的第一项x1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在处的切线与经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.求证：当n时，()x （）16、(2006年山东卷）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（3） 记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1.17、（2006年北京卷）在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”.（）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（）若“绝对差数列”中，数列满足，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；（）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.18、（2006年上海卷）已知有穷数列共有2项（整数2），首项2设该数列的前项和为，且2（1，2，21），其中常数1（1）求证：数列是等比数列；（2）若2，数列满足（1，2，2），求数列的通项公式；满足不等式|4（3）若（2）中的数列，求的值六.例题选讲【例1】 求出下列各数列的一个通项公式【例2】 数列an中，a11，对所有的n2，都有a1a2a3ann2(1)求a3a5；【例3】 已知数an=(a21)(n32n)(a=1)是递增数列，试确定a的取值范围【例4】 已知数列an中，Sn是它的前n项和，并且Sn+1=4an2(nN*)，a1=1(1)设bn=an+12an(nN*)，求证：数列bn是等比数列；【例5】 已知Sn是数列an的前n项和，Snpn(pR，nN*)，那么数列an A是等比数列B当p0时是等比数列C当p0，p1时是等比数列D不是等比数列【例6】等比数列中，（1）已知求通项公式；(2)已知a3a4a58，求a2a3a4a5a6的值【例7】 求数列的通项公式：(1)an中，a12，an+13an2(2)an中，a1=2，a25，且an+23an+12an0【例8】 已知等差数列an的公差和等比数列bn的公比都是d，又知d1，且a4=b4，a10=b10：(1)求a1与d的值； (2)b16是不是an中的项？【例9】 实数a，b，5a，7，3b，c组成等差数列，且ab5a73bc2500，则a，b，c的值分别为 A1，3，5B1，3，7C1，3，99D1，3，9【例10】 已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列|an|的前n项和Tn【例11】 在等差数列an中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和【例12】 等差数列an、bn的前n项和分别为Sn和Tn，若 【例13】 解答下列各题：(1)已知：等差数列an中a23，a617，求a9；(2)在19与89中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求Sn的最大值【例14】 在等差数列an中，已知a125，S9S17，问数列前多少项和最大，并求出最大值【例15】 已知下面各数列an的前n项和Sn的公式，求数列的通项公式(1)Sn2n23n(2)Snn21(3)Sn2n3(4)Sn(1)n+1n【例16】 求下列数列的前n项和Sn：(4) 1，3x，5x2，(2n1)xn-1，(x1)选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最 强有力的选校工具！产品介绍：1.大学搜索：介绍