浙江专版高考数学第9章计数原理概率随机变量及其分布第2节排列与组合教师用书.docx

第二节排列与组合1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性质(1)0！1；An!(2)CC；CCC1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了毕业留言()A1 560条B780条C1 600条D800条A由题意，得毕业留言共A1 560条3用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24B48 C60D72D第一步，先排个位，有C种选择；第二步，排前4位，有A种选择由分步乘法计数原理，知有CA72(个)4某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为()A85B56 C49D28C法一(直接法)：甲、乙两人均入选，有CC种方法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种方法，由分类加法计数原理，共有CCCC49种选法法二(间接法)：从9人中选3人有C种方法，其中甲、乙均不入选有C种方法，满足条件的选排方法有CC843549种5A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有_种. 【导学号：51062328】605人的全排列，B站在A的右边与A站在B的右边各占一半，满足条件的不同排法共A60种排列应用题(1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192种 B216种 C240种 D288种(2)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种(1)B(2)36(1)第一类：甲在左端，有A54321120种方法；第二类：乙在最左端，有4A4432196种方法，所以共有12096216种方法(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC26336种不同的摆法规律方法1.第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类注意特殊元素(位置)优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置对于分类过多的问题，可利用间接法2对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法变式训练1在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A34种B48种 C96种D144种C程序A的顺序有A2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有AA48种结果，由分步乘法计数原理，实验编排共有24896种方法组合应用题(1)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种B63种 C65种D66种(2)定义“规范01数列”an如下：an共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数若m4，则不同的“规范01数列”共有()A18个B16个 C14个D12个(1)D(2)C(1)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，不同的取法共有CCCC66种(2)由题意知：当m4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a10，a81.不考虑限制条件“对任意k2m，a1，a2，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C20(种)，其中存在k2m，a1，a2，ak中0的个数少于1的个数的情况有：若a2a31，则有C4(种)；若a21，a30，则a41，a51，只有1种；若a20，则a3a4a51，只有1种综上，不同的“规范01数列”共有20614(种)故共有14个故选C.规律方法1.(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解2第(2)题是“新定义”问题，首先理解“规范01数列”的定义是解题的关键，注意分类讨论时要不重不漏，并重视间接法的应用变式训练2现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为_472第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC264种第二类，不含有红色卡片，不同的取法C3C22012208种由分类加法计数原理，不同的取法共264208472种排列与组合的综合应用角度1简单的排列与组合的综合问题(2017杭州质检)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有()A144个B120个 C96个D72个B当五位数的万位为4时，个位可以是0,2，此时满足条件的偶数共有CA48个；当五位数的万位为5时，个位可以是0,2,4，此时满足条件的偶数共有CA72个，所以比40 000大的偶数共有4872120个角度2分组分配问题(2017浙江名校联考)将甲、乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送的方法有() 【导学号：51062329】A240种B180种 C150种D540种C5名学生可分为2,2,1和3,1,1两组方式当5名学生分成2,2,1时，共有CCA90种方法；当5名学生分成3,1,1时，共有CA60种方法由分类加法计数原理知共有9060150种保送方法规律方法1.解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)对于排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素，再对取出的元素排列2(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”思想与方法1解有附加条件的排列、组合应用题的三种思路：(1)特殊元素、特殊位置优先原则(2)解受条件限制的组合题，通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决，分类标准应统一(3)解排列、组合的综合题一般是先选再排，先分组再分配2求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘”易错与防范1易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关2计算A时易错算为n(n1)(n2)(nm)3易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数，是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数4解组合应用题时，应注意“至少”“至多”“恰好”等词的含义5对于分配问题，一般是坚持先分组，再分配的原则，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏课时分层训练(五十三)排列与组合A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144B120C72D24D先把3把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把3人带椅子插放在4个位置，共有A24种放法2有A，B，C，D，E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次A，B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名请你分析一下，这五位学生的名次排列的种数为() 【导学号：51062330】A6B18 C20D24B由题意知，名次排列的种数为CA18.3将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的安排方法的种数为()A10B20 C30D40B将5名学生分配到甲、乙两个宿舍，每个宿舍至少安排2名学生，那么必然是一个宿舍2名，而另一个宿舍3名，共有CC220种4我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有()A18个B15个 C12个D9个B根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0,0,4)，(0,1,3)，(0,2,2)，(1,1,2)的所有排列，即共有3A3315个5(2017浙江五校联考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60的共有()A24对B30对 C48对D60对C正方体六个面的对角线共有12条，则有C66对，而相对的两个面中的对角线其夹角都不是60，则共有3C18对，而其余的都符合题意，因此满足条件的对角线共有661848对6(2017舟山二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有() 【导学号：51062331】A18种B24种 C36种D72种C1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有CCA种.1个路口1人，2个路口各2人的分配方法有CCA种，由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为CCACCA36种二、填空题7方程3A2A6A的解为_5由排列数公式可知3x(x1)(x2)2(x1)x6x(x1)x3，且xN*，3(x1)(x2)2(x1)6(x1)，即3x217x100，解得x5或x(舍去)，x5.87位身高均不等的同学排成一排照相，要求中间最高，依次往两端身高逐渐降低，共有_种排法20先排最中间位置有1种排法，再排左边3个位置，由于顺序一定，共有C种排法，再排剩下右边三个位置，共1种排法，所以排法种数为C20种9若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误种数共有_种11把g，o，o，d 4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有A种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为A12种其中正确的有一种，所以错误的共A112111种10(2016南京模拟)2017年第十三届全国运动会在天津举行，将6名志愿者分成4个组分赴全运会赛场的四个不同场馆服务，其中两个组各2人，另两个组各1人不同的分配方案有_种(用数字作答). 【导学号：51062332】1 080将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有15645种分组方法将四组分赴四个不同场馆有A种方法根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45A1 080种方法B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017金华十校联考)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A12种B24种 C48种D120种B甲、乙相邻，将甲、乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲、乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲、乙相邻且都不站在两端的排法有AACAA24(种)2(2017嘉兴质检)设集合A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1,0,1，i1,2,3,4,5，那么集合A中满足条件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素个数为()A60B90 C120D130D因为xi1,0,1，i1,2,3,4,5，且1|x1|x2|x3|x4|x5|3，所以xi中至少两个为0，至多四个为0.(1)xi(i1,2,3,4,5)中有4个0,1个1或1.A有2C10个元素(2)xi中有3个0,2个1或1，A有C2240个元素(3)xi中有2个0,3个1或1，A有C22280个元素从而，集合A中共有104080130个元素3某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有_种60法一(直接法)：若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市