2010-2011学年第一学期线性代数期末考试.doc

2010-2011学年第一学期线性代数期末考试一（12分）回答问题：1. 矩阵等价于矩阵的定义是：2. 矩阵相似于矩阵的定义是：3. 实矩阵是正交矩阵的定义，或者充要条件是：4. 实矩阵是对称正定矩阵的定义，或者充要条件是：二（24分）填空：1. 设矩阵对应特征值的3个线性无关的特征向量为，常数满足什么条件时，也是的特征向量2. 将3阶行列式的第1列的2倍加到第2列得到的行列式记为，再对换的第2行与第3行得到的行列式记为，那么和及的数值关系是什么？3. 设矩阵的特征值互不相同，且，则4. 设为2阶方阵，2维列向量组线性无关，且满足，则的全体特征值是5. 设矩阵的各行元素之和是3，且，则的伴随矩阵的各行元素之和是6. 设线性方程组有唯一解，划分，其中为矩阵，为矩阵，则齐次方程组的基础解系中含解向量的个数的范围是三（10分）计算行列式提示：的第一行四（16分）已知可由，线性表示，求数及全体表示式五（16分）已知为实对称矩阵，二次型在正交变换下的标准型为，且的第3列为1) 求矩阵及；2) 求方程的解六（14分）在向量空间中，基（I）与基（II）满足，1) 求由基（I）改变为基（II）的过渡矩阵；2) 求在基（I）下的坐标七（8分）设为维列向量组，令1) 证明；2) 如果线性相关，证明例2 已知3阶方阵A=(a1,a2,a3), det(A)=2, 3阶方阵B=(a1-a2+2a3,a2+a3,a2-a3), 求det(B). 例3 已知3阶方阵A的行列式det(A)=2, 求det(A-1-2A*) 例4 求例1中的第一行代数余子式之和.例1 22方阵X 满足 AXB=2AX+C, 其中A, B, C是已知二阶方阵，求X; (A+E)-1(A2-2A+3E) 例2 三阶方阵P,A, A=(a1,a2,a3), 如果AP=(2a1,a1+a2,a3-a1) ,则P=_ 例3 设A是mn的矩阵，且mn，则det(AAT)=_ 例4 设A 是列满秩矩阵，证明:det(ATA)0 例5 设A是实对称矩阵，证明：对于x0,都有xTAx/xTxmax l(A) 例6 求f=x2+y2+z2-2xy-2yz-2xz在满足x2+y2+z2=1的条件下的最大值与最小值。例7 设A是3阶方阵，rankA=1, det(A+3E)=0,问A 是否可对交化?说明理由.例8 证明：若n阶方阵A满足A2=A,则 rank(A-E)+rankA=n，且A可对角化。例9 设A为n阶方阵，证明：例1 设A是n阶方阵，x 是n维列向量，若存在一正整数k使得 Ak-1x0，Akx=0，证明 向量组x, Ax, ,Ak-1x线性无关.例2 设A是三阶方阵，l1,l2是A的两个互异特征值，x1与x2是对应的特征向量，又Ax3= x2+ l2 x3, 证明向量组x1, x2, x3线性无关。例3 设向量空间 V=(x1,x2,xn)|x1-2x2=0, x2+x3-x4=0, x1-x2+x3-x4=0,则dimV=_例4 设A,B分别是mn与np 矩阵，且AB=0，证明rankA+rankBn例5 设矩阵A,B 都是n阶方阵，证明：若rankA+rankBn, 则Ax=0与