中学生数学问题解决能力培养研究.doc

数学系数学与应用数学专业09级本科毕业论文（设计）中学生数学问题解决能力培养研究摘 要 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科,近年来，学生的“数学问题解决”能力越来越受到重视在，培养学生数学问题解决能力时, 分析其影响问题解决能力的因素，作为数学教师，在课堂数学中力求使学生成为知识的探究者、获得者，应鼓励学生对问题勤于思考，敢于质疑，善于解决问题，激发学生的创新意识。关键词 数学问题 策略 能力培养 课堂教学1、 问题与数学问题的含义数学问题主要由条件信息、运算信息、目标信息三部分组成。对于学生来说； 数学问题是运用已有的数学概念、理论或方法， 经过积极的探索、思考才能解决的问题。而这样的问题应满足下述三个特性:（1） 接受性；指学生能够接受这个问题，还可表现出兴趣。（2）障碍性；即学生当时很难看出问题的解法、程序和和答案，表现出对问题的反应和处理的习惯模式的失败。（3）探究性；学生深入地研究和进一步的思考，展开各种探究活动，寻求新的解题路径，探求新的处理方法。“问题”不仅包括教科书上的习题，也应包括那些来白实际的问题；不仅应包括“单纯练习题式的问题”，也应包括“非单纯练习题式的问题”；不仅应包括条件充分、结论确定的问题，也应括条件不充分、结论不确定的开放性问题和具有探索性的问题。“ 问题”适合于学习发现和探究的技巧，适合于进行数学的原始发现以及学习如何学。2、 影响学生解决数学问题能力的主要因素2.1 学生没有形成良好的认知结构所谓“认知结构”，是指大脑中已经组织好的整体性的信息结构或知识单元，也就是已有知识的一种整合。图式的功能是为将来的学习提供工具，使真正理解成为可，进一步形成新的认知结构。2.2 学生没有充分进行“问题空间”的建构和重建问题空间是指任务范围内的内部心理表征，包括对目标、现有状态和目标状态的差别、可以执行的那些操作等的理解。其实也是指初始状态到目标状态之间的各种中间状态及操作的整体性认识。认知心理学以为，问题的过程就其实质而言是“问题空间”的不断转换，形成合适的内在表征。如等腰三角形一边上的中线将其周长分成12 厘米和9 厘米两部分，求三角形的边长。很多学生往往受思维定势的影响，只求得一组解.2.3 作业因素适当的作业可以使学生对所学知识进行很好的巩固，增强他们的记忆，能提高问题解决的效果。作业负担过重或不留作业对问题解决都不能起到很好的促动。2.4 个人因素指参与问题解决的个人心理特征。包括已掌握的数学基础、心智技能发展水平、个性品质。如直觉、想象、抽象、概括、推理、分析、综合、元认知等多种智力因素。及关心、欲望、动机、兴趣、意志、信念等非智力因素。2.5 环境因素指主体外的因素，主要包括问题情境和噪音。3、 数学问题解决的策略3.1 帮助学生建构和形成完善的、系统的认知结构认知学理论认为，学习并非是对于外部给予知识的被动接受，而是一个主观能动性得以充分发挥、主动建构自己的认知结构的过程。特别是主体已有知识和经验在新知识获得过程中发挥重要的作用。所以，图式不仅将主体已有知识和新的知识联系起来，而且能以一般性知识和经验指导新的情境的认识。要发展学生的认知结构，在数学教学中可表现为以下几个方面：第一，努力帮助学生获得必要的经验和预备知识，由于已有的知识和经验为新的认识活动提供了必要的基础，因此在从事新的学习活动前，教师应注意帮助学生获得必要的经验和预备知识。如抽象概念的学习，就应提供学生必要的直观经验，即努力使之与学生所熟悉的题材发生直接联系，引起观念上的平衡，使之成为牢固的认知结构。 第二, 制造认知冲突，引起学生观念上的不平衡。学生的认知发展就是观念的平衡状态遭到破坏，而又不断达到新的、更高水平的平衡状态。如在新知识的引人上，设置一些问题，使学生已有的知识经验不足以解决面临的问题，却能发现自身知识的局限性，并想通过学习活动使自己的认知结构重组、扩展和分化。第三，注重知识的联系，发展学生认知结构。教学中应注意知识的纵横联系和知识的发生过程，使学生在比较中理解和掌握知识的内存联系及来龙去脉，促进新旧知识的结合，发展认知结构。第四，高度重视对于学生认知错误的诊断和纠正。学习活动总体上是一个“顺应”的过程，并不是知识的简单积累，因此如何诊断和纠正学生的认知错误对完善认知结构特别的重要性。首先，教师对学生的错误应抱有理解的态度；其次，明白错误的纠正是一个较长的过程，有时需要反复，因此认知结构具有整体性，任何已建立的“错误”不能简单地抹去；最后，学生的错误纠正是一个“自我否定” 的过程，通过反省得以实现，并不能凭一个“错”字消失。3.2 训练学生注意表征问题和重新表征表征问题有两种形式，一种是内在的心理表征，也称“问题空间” (简单地, 就是在头脑中考虑问题)。对于数学问题解决从事定量分析前，成功的解题者往往是对问题进行定性的内在表征，解决过程中常常采用更抽象的形式去取代原来“问题空间”； 不成功的解题者往往就是内在表征不足以解决问题时，就进行繁琐的计算，甚至根本不考虑这种计算是否有利于问题解决；另一种是外在表征，就是以图表、模型等表示具体问题。要发展学生数学问题解决能力，就必须训练学习内部的心理表征，即先形成“问题空间”。第一，引导学生出声地表述“问题空间”。教师给予学生充足的时间和空间，让学生：“说出你目前形成怎样的一个状态？”这个状态让你想起了什么?“ 考虑过进行新的变化吗? ”“你对这个问题如何处理? ”“等一系列答案，最后让学生说出这个问题的内部表征。经过长期的训练，可以减少学生解决问题的盲目性。3.3 开发学生的元认知数学解题中的元认知，亦是指解题者对于从事的解题活动(包括解题策略选择，整个过程组织。目前从事工作的作用等)的自我意识、自我监控和自我调节关于“成功的解题者”和“不成功的解题者”解题比较看出两者的元认知水平有较大差异。传统教学中的“题海战术”和“熟能生巧”的不良影响，使学生的元认知受到不同程度的压抑，学生解决问题一股劲往前走直到陷人僵局而不知所措, 不利于解决发展。开发学生的元认知教学中应注意两个方面，（1）是养成学生的反思习惯，多创设一些反思问句：如“你是怎么想的?”“你是怎么知道的？”“现在你正在干什么和为什么要这么干?”“你能不能换一种方式考虑?”“你的途径是不是最佳”“是否有新的途径?”“这个结论能经得住检验吗?”等设计反思问句就是开发元认知的过程。另外，注意利用波利亚怎样解题表征和解决一些实例, 并要求反思思维过程，将有助于进一步开发元认知；（2）是养成监控的习惯，解题的整个思维过程是一个有机整体, 对思维总体方面的监控、解题方法、策略、步骤和程序的控制、解题结果和目标是否一致的监控等。3.4 简单化策略 在解决问题时将复杂问题转化为简单问题, 通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的或获得某种解题的启示和依据。例如，把问题变换成等价问题或非等价问题；将待求解的问题分解成相关的辅助问题；暂时的放弃一些条件与限制。排列组合问题按照大纲要求是一部分很简单的内容，可是多数老师都认为难于掌握，把它作为中学数学的一大难点来对待，搞得非常复杂。学好排列组合，只须掌握一种思想，两个公式，那么所有问题都将迎刃而解。即分类计数和分步计数的思想(也叫做加法原理和乘法原理)，以及排列数公式和组合数公式。如果对一个具体问题去考虑是排列问题，还是组合问题，是先排列还是先组合就复杂化了。例1 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法?解：要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四人都报完才算完成，于是应按人分步，且分为四步。又每人可在三项中选一项，选法为三种，所以有种报名方法。在讨论复合函数的单调性时，常用的方法是换元法，把复合函数的问题转化为两个或几个简单函数问题。例2 求函数的单调区间。分析原函数可以看成函数与函数的复合函数,而外层函数为减函数,因此求原函数的单调增区间,只需要在原函数定义域内求内层函数的单调减区间。解：设 对而言为减函数只需要寻求的单调减区间当 时，为减函数又，即函数的定义域为(-3 , 1)综合以上可知，函数的单调增区间为1,1) 反思（1）在寻求符合函数的单调区间时，要对单调区间分别考虑。（2）求函数单调区间时，首先考虑函数的定义域。（3）数学中的综合题，一般是由一些基本题组合而成的，掌握基本题的解法是解答综合题的基础，平时的学习中要注意总结基本题的解题步骤，使思维过程程序化，解复合问题的常用方法是换元法，把复合问题转化为两个或几个简单的函数问题。3.5熟悉化策略把生疏的转化为熟悉的，把未知的转化为已知的，把非典型的转化为典型的以充分利用已知的知识及解题经验。例3 （1）求适合等式的一切值（2）求展开式中的常数项略解（1）原式（2）原问题求展开式中含的系数常数项4、 培养学生数学问题解决能力的研究4.1 设计问题情境，培养学生的求知欲望数学问题解决学习的主体是学生，学生的兴趣是否被激发和调动起来，是学习成败的决定性因素。要强调学生学习的自主性，就得引起学生的动机。而兴趣则是产生学习动机的主观原因，学生一旦有了数学解决问题的兴趣，就会积极地去实践，这对能力的培养非常重要。教师在组织课堂教学时，应创设适宜的问题情境，创设各种学生感兴趣的问题。（1）模拟生活创设情境。根据教学内容的安排和学生身心发展水平的特点，采用语言直观、实物演示、游戏等教学手段，经常性地从生活实际中引入一些实物、场景，创设课堂的生活情境，使课堂教学更接近现实生活，使学生身临其境，使抽象的数学问题具体化，激发学生的学习兴趣。（2）运用多媒体创设情境。多媒体教学手段内容充实形象，有“声”有“色”，为老师和学生创造了一个更大的时空范围，使原有的模式化教材变为“开放的”、“参与式的”、“有个性和创造性的”活教材。运用多媒体创设情境，能使抽象的概念具体化，使难理解的问题容易化；能勾起学生的学习兴趣，激发学生的学习动机。4.2 主动探索，培养学生的主体意识 知识的获得是一个主动的过程，学习者不应是信息的被动者，而应是知识获取过程的主动参与者。学生是学习的主人，因此教师应突出学生的“主体”，为学生提供充分的自主探索的时间和空间，发挥学生的潜力，鼓励学生运用已有知识主动大胆地联想、推测、探索，从不同角度去寻找解决思路，引导学生独立获取解决问题的策略和思想方法。（1）大胆猜想、尝试解题。从生活经验出发提出猜想。猜想活动本身不是一个孤立的行为，而问题情境应该置于学生熟悉的环境中，学生可以从日常生活现象中自然而然地展开思维活动，进而分析、观察，提出自己的见解。从已有知识经验基础上提出猜想。丰富的知识经验，是学生展开思路的基本条件。学生面对新问题时，教师应引导学生从原来的知识库中提取相关的信息予以整理和筛选，经过有条理的思路，提出解决问题的猜想。学生在调动原有的知识经验后，尝试解决问题，同化新知。（2）交流猜想，选择更优方案。每一个学生都是不同的个体，通过独立思考，自主探索，得到不同的解题猜想。当解决问题的思路不唯一时，就需要教师组织一定形式的数学交流，使学生能从他人处得到更多的信息，得到更多的活动经验，在这个交流的过程中教师要尽可能的请学生进行辩驳，充分发挥积极性和创造性，教师只起到引导的作用，最终选择出最佳的解决方案。4.3 培养学生解数学问题基本程序和方法数学的问题千差万别，内容、结构、要求都不相同，但是当遇到数学问题时，作为教师就必须教会学生如何分析解题。具体讲就是要求教师在教学中遇到数学问题要执行如下几点:第一，问题的提出和表征。在一定情境下，问题由教师或学生提出，问题提出后，通过理解和表征问题，提出猜想，形成假设，明确问题解决的目标,还要进一步弄清它的条件和结论，包括罗列明显的条件、挖掘隐含条件和和解题目标、弄清条件和目标的等价形式。第二，探究解决方案。弄清已知条件和结论之间的联系，寻找解答的方案，这是整个解题过程的中心环节，体现问题解决过程和方法的反复取舍和优化历程，反映探究性思维的有效性，体现问题解决的能力水平。第三，执行计划或尝试某种解决方案。当确定解法之后，要认真地加以整理，用确切的数学语言或符号语言表达数学问题，建立数学解题的数学模型并解答。第四，解题后的研究。作为习题的解答，完成上面的三个步骤就可以算完成任务，但是要培养解题还应当进行检查和讨论。检查和讨论是对已做出的习题解答过程的再认识。例5 设AD是ABC的一条中线，BCACAB 求证：AD 图1 图2按照解题程序:首先,弄清题意.对照图1,找出已经条件,注意ABC是任意三解形,AD是中线。目标是求证三角形中线与三条边之间的关系。其次，分析和拟定解题步骤。分析：与三角形边的平方相联系的知识有勾股定理、射影定理和余弦定理。余弦定理中含有角，与本题无关，可略；射影定理要有直角三角形的高线，本题较难运用；勾股定理只需引辅助线出现三角形就可以进一步讨论做辅助线AFBC，由此可由勾股定理在RtABF和RtADF中以AF为桥梁,就可以得到-(-DF)=AD-DF (1)目标要求的b没有出现,目标中没有的DF出现了。于是仍利用类似方法得到b，并可试图按方程组消元的办法消去出现的DF。在RtACF和RtADF中，以DF为桥梁，由勾股定理得到：-=AD-DF (2)拟定解题步骤：作辅助线AFBC；建立上述（1）、（2）关系式；消去DF，整理成目标形式。由于ABC是任意三角形，存在AB=AC的可能，此时ADBC,证明应考虑。完成解题计划并检验：（1）当ABAC时,设ABAC,作AFBC,交BC于F.在RtABF中,由勾股定理得: AF=AB-BF=- ，AF=AD-DF -( +DF)=AD-DF在RtAFC和RtAFD中,同理得: - =AD-DF消去DF,整理得到AD（2）当AB=AC时.ADBC,在RtABD中AD=AB-BD,即AD=-= -结论:不论ABC是什么的三角形,证明的结论都是正确。解题后的研究：由于解题分析时曾因余弦定理含有角的原因，舍去了用该定理的想法。由解题消去DF的启示，考虑可否消去解而直接运用余弦定理。引出新的解法。在ABC和ADC中，由余弦定理得：AD=AC+DC-2ACDC=()-注:此种解法较之前面的解法更简单,不用引辅助线,思路明显。再来研究习题中条件的改变即推广：习题中的条件AD是中线，在解题过程中发现：两种证明方法也适合D不是BC的中点即D是BC线上任意点情况,由此得到新的命题：在ABC中，设D是BC边上的一点，且BD：DC= ，BCACAB ,求AD分析：已经条件是BD：DC= ,BCACAB ，由= ，得到BD= 解:在ABD和ABC中由余弦定理有AD=AB+BD-2ABBD =+（）-2 =-结论:可以发现这样条规律任意三角形有一点D在任一边的位置上，且已知这个点分这边的长度比和三边的长，我们可以利用上面这条由余弦定理得的一般性式子求得结果。所以，教师在教学过程中不仅要教学生知道如何解题，还要教会学生学如何总结一道题和与类似的题的一般结论。这样对以后接触这类型的题时就有数学思维取向，有利于解题。教师在讲解例题的过程中，也不忘暴露自己在解题过程中的思维过程。“为什么要这样做”、“怎么想到的?”， 这些问题是学生最感困难的。所以尽可能地将如何看待问题、又是如何找出解决问题的办法这一思维进程展示给学生，帮助他们认识和理解知识发生和发展的必然的因果关系，从中领悟到分析、思考和解决问题的思想方法和步骤。4.4 强化技能水平，培养学生的思维能力在平时的教学中，要加强对学生各种技能的训练，强化学生的技能水平。比如：计算能力的训练，多让学生练习简便方法计算，复杂的、有难度的计算要求学生草稿，培养他们良好的计算习惯，逐步提高他们的计算能力。解题步骤、格式、书写方面，平时要统一要求，严格训练学生。在培养学生记忆力方面，多教给他们一些记忆的方法和策略，杜绝机械的抄写记忆。认真审题、解题步骤清楚、逻辑严密, 这些强化学生技能水平方面的训练，有利于小学生问题解决的顺利开展，促进学生问题解决能力的提高。（1）在教学中始终贯穿思维能力的培养。小学生问题解决能力的提高会促进思维能力的发展，同时，思维能力的发展也会使小学生问题解决能力更上一层楼。（2）加强对学生思维策略的指导。教师在实际教学中要帮助学生把解决问题的一些具体经验上升为数学思考，形成解决问题的策略，进一步提高解决问题的能力；要常指导学生通过对解决问题过程的回顾与反思，不断增强运用有关策略解决问题的自觉性；良好的思维策略能促进思维能力的不断提高，从而使学生具有更高的问题解决的能力。4.5 改变分析的角度，培养学生的发散思维解决一个数学问题，实际上是一个演绎推理的过程。演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。这里的特殊情况就是题目中的条件，而一般性原理就是常用的数学原理，所以，能否解决问题，关键在于找到适用于本题条件的数学原理，同一个问题多个角度进行分析，可以得到各种不同的解法，这有助于培养学生的发散思维。无论尝试正确与否，都是一种发散性思维的锻炼。例 6 人教A版教材必修5中有一道三角形应用的题目:如图3 A、B两点都河的对岸（不可达到），设计一种测量A、B两点距离的方法。 A B 图3分析首先，要在河的这一边选一点C构造ABC（如图4），目前能够测量的只有ACB，需要再测算出AC、BC容易想到的做法是：再在河的这一边选一点D(如图5)， ACD中可测出DC边和ADC、ACD，可以计算出AC，同理BCD中可以计算出BC,这样ABC就有两边及夹角，自然可以算出AB了，有两种做法值得一提: 图4 图5做法一：就在教材中模型的基础上稍微做修改即可(如图6)，找到D、C点，使ADC=BCD=，直接测出DC、BDC=、ACD=，则AD=DC，BC=DC ，AB= 图6点评：这种方法和教材的方法各优劣，教材上的方法虽然计算复杂一些，但咋实际测量中容易操作，而这种方法计算简洁，但是在实际测量中确定D、C两点位置时会比较麻烦，通过这种解法，可以让学很好地体会理论与实践之间的辩证关系。做法二：（如图7）在河的这一边选取的C、D两点与河对岸的A点共线。测出DC=，BCD=，ADB=这样可算出BC=，BD=，设AB=，AD=，则在ABC中， （1） 在ADB中， （2）目前只有两个未知数、有两个方程联立求解，即可求得AB的值。点评：乍一看似乎有道理，两个未知数两个方程，解出来即可，但这是一个错误的解法。如果把点A在CD延长线上移动，仍然是符合（1）(2)两个方程的，但这样一来，、就无穷多组解了，并不能求出确定的AB值。事实上，由（1）（2）消去得： （3）在BCD中，所以（3）式实际上是，是一个恒等式，所以这种方法是有问题，创造的条件不够。4.6 改变题目的条件，培养学生的应变能力解决一个数学问题，总是根据题目的条件，结合相应的数学方法，推导出结论，但题目的条件确定后，它覆盖的知识点，涉及到的数学方法是有限的。如果适当改变一下题目的条件，让它真正“活”起来，就可以覆盖更多的知识点和方法。条件发生了改变，那就意味着解题方法也要作出相应的调整，这对解题者的应变能力是一个很大的考验。所以如果在教学中对某些数学题作一些适当的改变，改变题目的背景，这有助于培养学生灵活多变的数学能力。例7 在人教A版教材选修2-2中有这样一道生活优化问题：某制造商生产并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，每出售1ml的饮料，制造商可获利0.2分且制造商能制作瓶子的最大半径为6cm。（1）瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？这个题目是一个简单的三次函数求导问题，问题并不复杂，只是在现实生活中，极少有球形瓶子的饮料。多数是近似于圆柱体的瓶子，所以这样的应用题多少显得有些呆板。对这道应用题作了一些改变，使它更接近于现实生活中的情形。某制造商生产某种瓶装饮料，瓶子可以近似看作圆柱体，瓶子的制造成本是分/。每出售1ml的饮料，制造商可获利0.4分。瓶子的最大容量限定为1000ml。若要赢利，容量要大于多少毫升？每瓶饮料最大利润是多少?分析：条件改变后，瓶子容量一定时，瓶子的形状（或表面积）并不确定，而瓶子表面积的多少直接影响到瓶子的制造成本，所以此时就多了一个环节，在一定时，先要算出何时表面积最小，以求达到制造成本最小。解：设瓶子底面半径为，高为，则由得：瓶子的表面积 令得当时，取得极小值表面积的最小值为容量一定时，当时瓶子表面积最小为，此时用料最省，应该按此方法设计瓶子，而利润： 令，得：当时，单调递减；当时，单调递增.由得：，所以当时，.当时，取得最大值（分）.点评：题目作了这样的改变后，就不能像原题那样简单地将利润表示为半径的函数，此时要抓住容积这样的一个关键环节，当一定时销售的获利就定了，此时就要让制作瓶子的成本最少，所以最终利润可以表示为的函数。4.7 改变题目的结论，培养学生对问题本质认识的研究对一个数学问题，结论是由条件来决定的，所不同的是解决方法多种多样。但这样并不说明结论就没有反作用，如过对结论在允许的范围内作一些引申，它对问题的解决方法就会有一定的约束作用。改变了结论，证明过程就要精确，更有技巧性，这无疑也是一个极好的锻炼机会。而对这一