浙江大学历年微积分试卷解答-导数及应用.pdf

浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答导数及应用）历年试题分类解答导数及应用 1 浙江大学微积分浙江大学微积分(1)历年期末考试试题历年期末考试试题 二二. 导数与微分导数与微分 1、 sin3 (cos )(arcsin2 ). x yxxedy =+设，求： sinlnsincos lnsincos sin sin2 2 (1)( )(cos ) ( )(cos lncostan sin ) (cos )(cos lncostan sin ). 1 (2)(cos )(cos lncostan sin )6(arcsin2 ). 14 xxx xx x x f xxe fxexxxx xxxxx dyxxxxxxdx x = = = =+ 记，则： 2、 4cos 1 tan5ln. 2 xx dy yxe x dx =+设，求： ()() coscoslncosln 24cos4cos cos sin ln 5cos sec 54(sin ln ). 2 xxxxx xxxx x xeexx x dyx xe xe xxx dxx =+ =+ 因为， 则： 3、 ln (0). x yx x =求：的值域 2 max 0 1ln (1)0. (2)0( )0( )0. 1 ( )( ) ln1 lim( )lim( )0(. x x x yxe x xefxxefx f xxefe e x f xf xy xe + + = = 设可导，且，求： 2 2 (cos )ln 2 (cos ) (cos ) 2 (cos )(cos )sinln . fxx fx ye dyfx xfx fxxx dxx = = 由于，则： 14、 设由参数式 2 2 ln(1) xtt ytt =+ = + 确定了 y 为x的函数( )yy x=，求：曲线( )yy x= 的凹、凸区间及拐点坐标 (区间用x表示，点用()xy，表示). 2 224 2 2 2 2 2 2 1 (1)2(1). 12(1)2(1) (2)01.(31ln2). 110( ) d 10( ) d ( 13)( )(3)( dxdytdytd yt t dtdttdxtdxt d y tP dx d y tyf x dx y tyf x x yf xyf x =+= + = = = = = 由可得， 令： 又， 当时，；故，当时，取极小值 且其极小值为 18、 求由方程 322 2220yyxyyx+=确定的函数( )yy x=的极值，并问此极 值是极大值还是极小值，说明理由 322 2 322 2 22 2 (1)2220 (6421)220. 0. 0 (2).(0 0) 02220 22 (3)() 6421 (6421)(22)2()(6421) (64 yyxyyxx yyxyyx yyx yxx yyyxyyx xy y yyx yyxyxyyyx yy += += = = = =+= = + + = + 方程两边同时对求导， 令可得， 解方程组：得到唯一驻点 ，. 又 2 min . 21) (0)200(0)0. x yxyy + =因此，故，当时， 有极小值 19、 求曲线arctanyx=在横坐标为 1 的点处的切线方程. 211 11 (1)arctan.arctan1. 142 1 (2)arctan1(1). 24 xx yxyyy x yxxyx = = + =+ 由于，则：， 曲线在处的切线方程为： 浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答导数及应用）历年试题分类解答导数及应用 6 20、 2 0( )(4)(2)20. x x xf xxexe=+ 若，证明： 2 22 2 2 22 2 22 22 ( )ln( ) , lnlnln 2 ln1ln ( )( )0. () 2 ( )( )().() ln24 lnln(). f xxg xxa bCauchy ba eabe ba xx xxxe xx xexeexe e baba ee = = + = 令：，；在区间上应用中值定理， 其中： 再令：，则： 故，在，上单调递减；因此， 则：，从而有， 浙江大学微积分（浙江大学微积分（1）历年试题分类解答导数及应用）历年试题分类解答导数及应用 7 22、 sin (0) ( ) (0) x ex x F x x ax = = 已知为连续函数. (1) 求：常数a； (2) 证明：( )F x 的导函数连续. 0 2 000 0 2 00 sin (1)lim1( )1. sin 1 sinsincos1 (2)(0)limlimlim 2 2cos lim1. 2 (sincos )sin (0) ( ). 1(0) si (3)lim( )lim x x x xxx xxx x x xxx x xx ex f xa x ex exxexex x F xxx ex x exexex x F x x x xe F x = + = = + = = = 由于，而为连续函数，则： 所以， 又 2 0 ncossin2cos lim1(0). 2 ( )0( )(). xxx x xxexexxex F xx F xxF x + = = = + 因此，在处连续，从而在，上连续 23、 设常数0a ，讨论曲线 yax=与2lnyx=在第一象限中交点的个数. 2 22 (1)( )2ln( ).( )0. 222 ( )0( )22ln( ) 22 (2)22ln0( )0( )0 2 ( )0 22 0( )0 f xaxxfxafxx xa fxff x xaa af xf x ae af x e af ea = = = = ， 证明：(1) ( )f x 至多有两个零点，至少有一个零点； （2）若( )f x 有两个零 点，则此两个零点必异号. (注：( )f x 的零点就是方程( )0f x =的根.) 123 13 2 11 (1)( ) ()( )0( )0( ) . ( ) (2)( )(0)(0)(0)(0) . 2 (0)0lim( )0( )0(0)0 (0 x f xRxxxRolle xxffxf x f Taylorf xffxxffx ff xxf xf + =+ = + + = + = + (1)( )() ( )( ) ()( ). ( )( ) ( )( )()( )() ( )( )( )()( )0. ( )( ) ( ). (2)( ) Lagrangef xabab f bf a abf ba f bf a F xf xxaF xabab ba F aF bf aRolleabF f bf a f ba f x = = = = = 中值定理： 设在，上连续，在，内可导， 则：，使得 令，则：在，上连续，在，内 可导，且，由定理，使得 即， 由于 0 00 0 0 ( )( )() ()( )()( )() ()( ) ( )0. abf af bxab f xf af xf aLagrangeab f xf a f xa = = 在，上不是常函数，又，则：存在，使得 ；不妨假设，由中值定理，使得 28、 证明函数( )f x 极值存在的第二充分条件定理： (1) 设( )f x 在 0 xx=处存在二阶导数， 00 ()0()0(0)fxfxAA= = ； (B) 至少存在一点 0 ()xab，使 0 ()( )f xf b； (C) 至少存在一点 0 ()xab，使 0 ()0fx=； (D) 至少存在一点 0 ()xab，使 0 1 ()( ( )( ). 2 f xf af b=+ 00 00 00 ( )( ) (1)( )lim00 ( )( ) 0()()( ). (2)()()( ). (3)(1) (2)( )() ()()max( ) xa a x b f xf a faaxa xa f xf a xabf xf a xa xabf xf b f xabab xabf xf xFerm + + = = 由于，则：，当时， ；从而，存在，使得 同样可得，存在，使得 由、 可得，在，上的最大值在 ，内取到； 即，使得，根据 0 2 0 0 ()0. (1) (2) (3). (4)( )(01)(0)1(1)1. (0)(1)0(01)( )0(01) (0)(1) ().(4). 2 atfx f xxxxff ffxf xx ff f x = = = + = 定理， 因此， 陈述、 、 都是正确的 例如，则：， 由于，且对，均有，因此，不存在， 使得故， 是错误的 32、 已知抛物线 2 yaxbxc=+ 过点(12)， ，且在该点的曲率圆方程为 22 151 ()(). 222 xy+=则：a = ，b = ，c = . 2 11 22 12 12 22 (1)22 . 222 . 151 (2)()(). 222 15 2()2()0.1. 22 5 222()04. 2 1 (2)() 2 xx