《弹性力学》第三章平面问题的直角坐标解答.ppt

第三章 平面问题的直角坐标解答 3-1 多项式解答 3-2 位移分量的求出 3-3 简支梁受均布载荷 3-4 楔形体受重力和液体压力 3-5 级数式解答 3-6 简支梁受任意横向载荷 习题课 1 一、应力函数取一次多项式 3-1 多项式解答 应力分量： 应力边界条件： 结论：（1）线性应力函数对应于无面力、无应力的状态。 （2）把任何平面问题的应力函数加上一个线性函 数，并不影响应力。 二、应力函数取二次多项式 1.对应于 ，应力分量 。 2 结论：应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力 （设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（a）。 2.对应于 ，应力分量 。 结论：应力函数 能解决矩形板受均布剪力问题。如 图3-1（b）。 图3-1 （a） （b） （c） 3 3.应力函数 能解决矩形板在 方向受均布拉力（设 ）或均布压力（设 ）的问题。如图3-1（c）。 三、应力函数取三次多项式 对应的应力分量： 结论：应力函数（a）能解决矩形梁受纯弯曲的问题。如图3-2 所示的矩形梁。 （a） 图 图3-2 4 具体解法如下: 如图3-2,取单位宽度的梁来考察,并命每单位宽度上力偶的矩 为 。这里 的因次是力长度/长度，即力。 在左端或右端，水平面力应当合成为力偶，而力偶的矩为 ，这就要求： 前一式总能满足，而后一式要求： 代入式（a），得 ： 5 将式（a）中的 代入，上列二式成为： 因为梁截面的惯矩是 ，所以上式可改写为： 结果与材料力学中完全相同。 注意： 对于长度 远大于深度 的梁，上面答案是有实用价值 的；对于长度 与深度 同等大小的所谓深梁，这个解答是 没有什么实用意义的。 6 3-2 位移分量的求出 以矩形梁的纯弯曲问题为例，说明如何由应力分量求出 位移分量。 一、平面应力的情况 将应力分量 代入物理方程 7 得形变分量：（a） 再将式（a）代入几何方程 ： 得 ： 前二式积分得 ： （b） （c） 其中的 和 是任意函数。将式（c）代入（b）中的第三式 8 得： 等式左边只是 的函数，而等式右边只是 的函数。因此， 只可能两边都等于同一常数 。于是有： 积分以后得： 代入式（c），得位移分量： 其中的任意常数 、 、 须由约束条件求得。 （d） 9 （一）简支梁 如图3-3（a），约束条件为 ： 由式（d）得出 ： 代入式（d），就得到简支梁的位移分量： 梁轴的挠度方程： 图3-3 （a）（b） 10 （二）悬臂梁 如图3-3（b），约束条件为 ： 由式（d）得出 ： 代入式（d），得出悬臂梁的位移分量 ： 梁轴的挠度方程： 二、平面应变的情况 只要将平面应力情况下的形变公式和位移公式中的 换为 ， 换为 即可。 11 3-3 简支梁受均布载荷 设有矩形截面的简支梁，深度为 ，长度为 ，受均布载 荷 ，体力不计，由两端的反力 维持平衡。如图3-4所示。 取单位宽度的梁来考虑，可视为平面应力问题。 图3-4 用半逆解法。假设 只是 的函数 ： 则： 对 积分，得： 解之，得： 其中， 、 是任意函数，即待定函数。 （a） （b） 12 现在考察，上述应力函数是否满足相容方程。为此，对 求四阶导数： 将以上结果代入相容方程，得 ： 相容条件要求此二次方程有无数的根(全梁内的 值都应该满 足它),所以,它的系数和自由项都必须等于零。即： 13 前面两个方程要求： 第三个方程要求： （c） （d） 将式（c）和（d）代入式（b），得应力函数： （e） 相应的应力分量为： （f） （g） （h） 14 这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果要使全部应 力边界条件都满足，除非常数 、 等于特定值，这样以 上应力分量才是正确的解答。 因为 面是梁和荷载的对称面，所以应力分布应当对称于 yz面。这样， 和 应当是 的偶函数，而 应当是 的奇函 数。于是由式（f）和（h）可见： 将上式代入应力分量表达式，三个应力分量变为： 上式中共有六个待定常数，利用应力边界条件求出。 （一）考察上下两边的边界条件 （i） 15 整理，得： 由于这四个方程是独立的，互不矛盾的，而且只包含四个未知 数，所以联立求解，得： 将上面所得常数代入应力分量表达式（i），得： （k） （l） （j） 16 （二）考察左右两边的边界条件 由于对称性，只需考虑其中的一边。考虑右边： （m） （n） 将式（j）代入式（m），得： 积分，得： 将式（j）代入式（n），得： 积分，得： 17 将式 （l）代入，上式成为： 另一方面，在梁的右边剪应力满足： 将 和 代入式（j），得： （p） 将式 （p）、（k）、（l）整理，得应力分量： （q） 18 式（q）可以改写为： 各应力分量沿铅直方向的变化大致如图3-5所示。 在 的表达式中，第一项是主要项，和材料力学中的解答 相同，第二项是弹性力学提出的修正项。对于通常的浅梁，修 正项很小，可以不计。对于较深的梁，则需注意修正项。 的最大绝对值是 ，发生在梁顶。在材料力学中，一 般不考虑这个应力分量。 和材料力学里完全一样。 19 图3-5 3-4 楔形体受重力和液体压力 设有楔形体,如图3-6a所示，左面铅直,右面与铅直面成角 ，下端无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为 ，液体 的密度为 ，试求应力分量。 问题： 20 图 图 图 图3-6 （a）（b） 取坐标轴如图所示。假设应力函数为： （二）边界条件 左面（ ）应力边界条件： 这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。 （一）应力分量 在该问题中，体力分量 ，所以应力分量的表达 式为： （a） 21 右面（ ）， ，应力边界条件 ： 将式（a）代入，得： 代入式（a），得 ： （b） 将式（b）代入，得： （c） 又： 22 代入式（c），得： 将这些系数代入式（b），得： 各应力分量沿水平方向的变化大致如图3-6b所示。 注意： 1.沿着坝轴，坝身往往具有不同的截面，而且坝身也不是无限 长的。因此，严格说来，这里不是一个平面问题。 2.对于坝身底部来说，上面的解答是不精确的。 3.在靠近坝顶处，以上解答也不适用。 23 3-5 级数式解答 用逆解法。假设应力函数为： （a） 其中 是任意常数，它的因次是长度-1，而 是 的任意函 数。将式（a）代入相容方程，得 ： （b） 解之，得： 其中 、 、 、 都是任意常数。得到应力函数的一个解答 ： 假设应力函数为： 同样可以得出应力函数的另一个解答： （c） 24 仍然是该微分方程的解答。所以可以得到三角级数式的应力 函数： 相应的应力分量： 将式（c）与（d）叠加，得： 其中 、 、 、 也都是任意常数。 （d ） 25 26 这些应力分量满足平衡微分方程和相容方程。如果能够选择其 中的待定常数 、 、 、 、 、 、 、 、 、 或再叠加以满足 平衡微分方程和相容方程的其它应力分量表达式，使其满足某 个问题的边界条件，就得出该问题的解答。 27 3-6 简支梁受任意横向载荷 问题： 设简支梁的跨度为 ，高度为 ，坐标轴如图3-7所示，上 下两边的横向载荷分别为 及 ，左右两端的反力分别为 及 。 图3-7 28 为了满足边界条件（c），取： ),3 , 2 , 1( = m l m m p a 上下两边正应力的边界条件： 上下两边剪应力的边界条件： 左右两端正应力的边界条件： 左右两端剪应力的边界条件： （a） （b） （c） （d） 29 应力分量简化为： （1） 30 代入边界条件（b）和（a），得： 由此可以得出求解系数 、 、 、 的方程。 （e） （f） （g） （h） 31 由式（e）、（f），得 ： （i） （j） 按照傅立叶级数展开法则，有： 与式（g）对比，得： 从而，得 ：（k） 32 同样由式（h），得： （ ） 求出式（k）及式（ ）右边的积分以后，可由（i）、（j）、 （k）、（ ）四式求得系数 、 、 、 ，从而由公式（1）求 得应力分量。 求出应力分量后，可由式（d）求得反力 及 ，并利用 两个反力与荷载的平衡作为校核之用。 结论： 1.用级数求解平面问题时，计算工作量很大。 2.由于梁的两端的应力边界条件不能精确满足，因而应力的解 答只适用于距两端较远之处；对于跨度与高度同等大小的梁， 这种解答是没有用处的。 33 3-7 平面问题的直角坐标解答习题课 练习1设有矩形截面的竖柱，其密度为 ，在一边侧面上受 均布剪力 ，如图1，试求应力分量。 解：1.采用半逆解法，设 。导出 使其满足双调和方程： 34 图1 o 取任意值时，上式都应成立，因而有： 式中， 中略去了常数项， 中略去了 的一次项及常数项， 因为它们对应力无影响。 （1 ） 2.含待定常数的应力分量为： （2 ） 35 3.利用边界条件确定常数，并求出应力解答： 能自然满足： 能自然满足： （3） 不能精确满足，只能近似满足： 由式（3）、（4）解出常数 和 ，进而可求得应力分量： （4） 36 （1） 中的 不能略去，因为 对剪应力有影响。 （2）在上端部，首先应使应力分量精确满足边界条件，如不 能，则可运用圣维南原理放松满足。本题 能精确满 足，因此， 在此处是精确解，而 在上端部是近似解。 （3）若设 ，则导出的应力函数 和应力分量为： 4.分析： （5） （6） （7） 37 常数确定后代入式（7），所得结果与式（5）相同。 练习2 如图2（a），三角形悬臂梁只受重力作用，梁的密度 为 ，试用纯三次式应力函数求解该梁的应力分量。 图2 （a） （b） 解： 1.设应力函数为： 不难验证其满足 。所以应力分量为： 38 2.用边界条件确定常数，进而求出应力解答： 上边界： 斜面： 解得： 39 3.分析：本题的应力函数可用量纲分析方法得到，此函数亦可 用来求解上边界受线形载荷 作用的问题，见图2（b）。 练习3 如果 为平面调和函数，它满足，问 是否可作为应力函数。 40 满足双调和方程，因此，可作为应力函数。将 代入相容条件得 解： 将代入相容条件，得： 也能作为应力函数。把 代入相容条件，得： 所以， 也可作为应力函数。 练习4 图所示矩形截面简支梁受三角形分布荷载作用，试取 应力函数为： ，求简 支梁的应力分量（体力不计）。 O y l x l h 解： 1、由满足相容方程确定系数A与B的关系： （1） 图3 2、含待定系数的应力分量为 3、由边界条件确定待定系数： 由以上式子可求得： 由此可解得： 4、应力分量为 练习5 如图所示，右端固定悬臂梁，长为l ，高为