线性代数讲义-03线性方程组.doc

第三章 线性方程组第一节 线性方程组与矩阵的行等价一 线性方程组 以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.定义3.1 多元一次方程组称为线性方程组. 方程组有个方程, 个未知数(), 而(;)是未知数的系数, ()是常数项. 如果(), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.数组是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数, 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解. 定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解. 按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性. 通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解. 例3.1 解线性方程组.解 从上向下消元, 得同解方程组. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组. 再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解, , .解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零常数乘以一个方程;(3) 将一个方程的倍加到另一个方程上去.注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的. 定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解. 证 先证明只进行一次初等变换. 首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解. 最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解. 二 矩阵的行等价用矩阵乘法, 可以将线性方程组写作,称为线性方程组的矩阵表示. 其中矩阵称为方程组的系数矩阵, 列矩阵称为未知数(矩阵), 列矩阵称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作. 如果数组是线性方程组的解, 令列矩阵, 则有矩阵等式. 列矩阵是方程组的解的矩阵表示. 将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵, 称为线性方程组的增广矩阵. 线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念. 定义3.4 设是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵的行初等变换.(1) 交换的两行;(2) 用非零常数乘以的一行;(3) 将的一行的倍加到另一行上去.定义3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵变成矩阵, 则称矩阵与行等价. 记作.仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果. 性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质.(1) 反身性: ;(2) 对称性: 如果, 则;(3) 传递性: 如果, 则.当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号.用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作: 定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解. 通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行. 定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1) 非零行在上, 零行在下;(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方. 例3.2 用行初等变换化简矩阵. 解 做行初等变换, 得. 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得.最后, 每行除以其首元素, 得. 定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1) 每个非零行的首元素等于1;(2) 包含首元素的列的其它元素都是0. 在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理. 定理3.3 对于任意矩阵, 存在一个行最简阵, 使得与行等价. 如果矩阵与行阶梯形阵行等价，则称是的行阶梯形阵. 如果与行最简阵行等价, 则称为矩阵的行等价标准形. 其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决. 习题3-11. 写出线性方程组的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.2. 设线性方程组的增广矩阵为, 写出该线性方程组, 并用消元法求解. 3. 求下列矩阵的行等价标准形.（1）; (2) ;(3) ; (4) . 4. 求的值, 使得矩阵的行等价标准形恰有两个非零行. 第二节 矩阵的秩一 矩阵的秩的定义 定义3.8 设矩阵, 从中任意选取行,列(), 位于这些行与列的交叉点上的个元素按照原来的相对位置构成的阶行列式称为的一个阶子式. 例如, 位于矩阵的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为.一个矩阵有个阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而阶方阵的行列式是它的唯一的阶子式. 定义3.9 如果矩阵中有一个阶子式不等于零, 而所有阶子式都等于零, 则称矩阵的秩等于. 记作.如果矩阵的所有阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数. 约定 对于零矩阵, 约定.由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:(1) 设是非零矩阵, 则; (2) 设是矩阵, 则; (3) 阶方阵可逆的充分必要条件为. 于是, 可逆阵又称为满秩阵. 例3.3 设, 求它的秩. 解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, . 例3.4 求对角阵的秩. 解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数. 例3.5 设矩阵的秩等于, 从删除一行得到矩阵, 问的秩可能取哪些值? 如果给添加一行呢?解 因为矩阵的子式也是矩阵的子式, 所以的秩不大于的秩.已知, 不妨设的阶子式不等于0. 如果也是的子式, 则. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在的未被删除的行中, 至少有一个阶子式不等于0. 于是. 仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于, 或者. 性质3.2 设是矩阵, 是数, 则(1) 转置: ;(2) 数乘: 如果, 则. 证 只证(2). 考虑矩阵的一个阶子式, 根据矩阵的性质2.6, 矩阵的相应的子式等于. 已知, 因此的充分必要条件为. 设, 则有一个阶子式不等于0, 而所有阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵具有相同的性质. 因此, . 二 行初等变换 用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大. 定理3.4 设矩阵与行等价, 则.证 设一次行初等变换将矩阵变成矩阵，且, 则的所有阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵的所有阶子式也都等于0. (1) 矩阵的一行乘以非零常数. 此时的一个阶子式或者就是的相同位置的阶子式, 或者是的相同位置的阶子式的一行乘以非零常数. 于是, 的所有阶子式都等于0.(2) 交换矩阵的两行. 考虑的一个阶子式, 则有一个阶子式与的差别至多是行的顺序不同. 于是, 的所有阶子式都等于0. (3) 将的第行的倍加到第行. 如果的一个阶子式不包含的第行, 它就是的相同位置的子式. 如果的一个阶子式包含的第行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为, 其中就是的相同位置的子式. 如果不包含的第行, 则可以由的某个阶子式经交换行得到. 如果包含的第行, 则有两个相同的行. 于是, 的所有阶子式都等于0. 总之, . 另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵变成矩阵. 从而还有. 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有. 最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩. 推论3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.证 设矩阵的行等价标准形中恰有个非零行, 则所有阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前行构成阶单位阵. 于是. 根据定理3.4, 有. 例3.6 求矩阵的秩. 解 用行初等变换, 得 .矩阵的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, . 例3.7 设分块矩阵, 求证: . 证 设矩阵的行等价标准形分别为和, 分别对和所在的行做行初等变换, 得,其中和分别是和的行等价标准形. 将所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是的行等价标准形. 于是, 的行等价标准形中非零行的个数恰等于与的行等价标准形中非零行的个数之和.用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.习题3-21. 设矩阵，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式.2. 设矩阵的秩等于, 任取的行构成矩阵, 求证: . *3. 设是矩阵，求证：的充分必要条件为: 存在非零矩阵与非零矩阵，使得. 4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.(1) ; (2) ;(3) ; (4) .5. 求的值, 使得方阵的秩等于2.第三节 齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的矩阵表示为. 此时方程组与其系数矩阵互相唯一确定. 齐次线性方程组总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有非零解;(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质3.3 如果列矩阵与是齐次线性方程组的两个特解, 则对于任意的数, 列矩阵也是方程组的解. 证 将代入方程组, 得.由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明. 例1求齐次线性方程组的通解. 解 首先写出方程组的系数矩阵. . 然后做行初等变换, 由矩阵产生行阶梯形阵. 继续做行初等变换, 得到矩阵的行等价标准形. 从行等价标准形得到同解方程组. 将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移到方程组的右边, 得到.任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解. 实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设是方程组的任意的特解, 上面求解时与可以任意取值, 自然包含取值与. 由于是方程组的解, 必须满足方程组.因此,. 于是, 这个特解可以由上面的方法产生. 令, 得到齐次线性方程组的通解, , , 其中是任意常数. 在通解中令, 得到齐次线性方程组的一个特解. 反之, 令, 得到另一个特解. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: , 其中是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解与， 因此, 称为齐次线性方程组的基础解系. 注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有个自由未知数, 则方程组的基础解系包含个特解. 定理3.5 设是矩阵, 则齐次线性方程组的基础解系中所包含的特解的个数等于. 证 根据推论3.1, 系数矩阵的秩等于行等价标准形中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数与系数矩阵的秩的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.推论3.2 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数. 证 根据定理3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.推论3.3 设是阶方阵，求证：齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为: 行列式. 证 根据推论3.2, 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为. 由矩阵的秩的定义, 的充分必要条件为. 例3.9 设是阶方阵, 且, 求证: 存在阶方阵, 满足, 且.证 考虑齐次线性方程组, 根据定理3.5, 它的个特解组成基础解系. 即有, .构造分块阶方阵, 即的前列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在的前列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此. 另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有.习题3-3 1. 求下列齐次线性方程组的通解. (1); (2); (3); （4）.2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解. 3. 当满足什么条件时, 齐次线性方程组只有零解? 4. 求的值, 使得齐次线性方程组有非零解. 并求其基础解系. 5. 设, 求证: 次多项式至多有个两两不同的零点.第四节 非齐次线性方程组的通解解非齐次线性方程组的基本问题是:(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;(2) 如果有解, 求出全部解(通解). 定义3.10 将非齐次线性方程组中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组称为方程组的导出组. 性质3.4 设列矩阵与是线性方程组的两个特解, 则它们的差是它的导出组的解. 证 将代入导出组的左边, 得.推论3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.证 首先, 设列矩阵是方程组的特解, 列矩阵是其导出组的特解, 则有,即列矩阵是方程组的解.其次, 设列矩阵是方程组的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵是导出组的解. 移项, 得, 即方程组的任意的特解可以表示为它的取定的特解与导出组的解的和.综合两方面, 即得本推论.注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决. 在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明. 例3.10 求非齐次线性方程组的通解.解 首先写出方程组的增广矩阵. 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵. 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形. 从行等价标准形得到同解方程组. 将自由未知数移到右边, 得. 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的值, 即得非齐次方程组的一个特解.根据推论3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系, , .于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为, 其中是任意常数.例3.11 解非齐次线性方程组. 解 这个方程组的增广矩阵为.通过行初等变换, 得到行阶梯形阵. 在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: . 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论. 定理3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩. 证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩. 推论3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩. 证 综合定理3.6和推论3.2即可. 例3.12 当取何值时, 非齐次线性方程组有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求通解.解 对增广矩阵做行初等变换, 得 根据定理3.6, 当时无解. 当时, 非齐次线性方程组的特解为, 导出组的基础解系为, ，通解为, 其中是任意常数.当时有唯一解. 例3.13 设是阶方阵, 且. 将分块, 其中是的最后一列, 求证: 线性方程组无解.证 线性方程组的增广矩阵就是, 由, 增广矩阵的秩等于. 而线性方程组的系数矩阵只有列, 它的秩不大于. 根据定理3.6, 线性方程组无解. 推论3.6 设是阶方阵, 则线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 行列式.证 充分性. 设, 则方阵的秩等于其列数. 又方程组的增广矩阵只有行, 于是, 由例3.5, 有.根据推论3.5, 方程组有唯一解. 必要性. 设方程组有唯一解, 根据推论3.5, 方阵的秩等于其列数. 于是, 行列式. 条件保证方阵可逆. 用的逆阵左乘, 得. 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有,其中方阵是的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第行的元素, 得, .根据定理1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵代替系数行列式的第列所得的行列式, 按照第列的展开式. 将这个行列式记作, 又将改写作, 则上式为, .这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则. 习题3-41. 设列矩阵()是非齐次线性方程组的特解, 数()满足, 求证: 列矩阵也是方程组的特解. 2. 求下列非齐次线性方程组的通解. (1) ; (2) ; (3) ; (4) , 其中. 3. 求证: 线性方程组无解.4. 求的值, 使得线性方程组有解, 并求其通解. 5. 当满足什么条件时, 线性方程组有解? 并求其通解. 6. 当取何值时, 线性方程组有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.*7. 设是阶方阵, 是矩阵, 且分块方阵满足, 求证: 非齐次线性方程组有解.第五节 初等方阵与初等变换一 初等方阵定义3.11 对单位阵做行初等变换所得方阵称为初等方阵. 三种行初等变换产生三种初等方阵:(1) 交换的第行与第行所得方阵记作;(2) 用非零常数乘以的第行所得方阵记作;(3) 将的第行的倍加到第行所得方阵记作.三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有, , . 定理3.7 对矩阵做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵. 注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的. 推论3.7 任意矩阵可以表示成, 其中是初等方阵, 是的行等价标准形. 证 对做行初等变换, 可得其行等价标准形. 这个过程相当于用一系列初等方阵左乘矩阵. 即有. 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得. 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示. 推论3.8 方阵可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积. 例3.14 设都是矩阵, 求证: 与行等价的充分必要条件为存在阶可逆阵, 使得.二 矩阵方程 矩阵方程, 其中是阶可逆阵, 是矩阵, 而是未知矩阵. 已知是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得矩阵方程的解. 对于可逆阵, 存在初等方阵, 使得. 用同样的初等方阵左乘矩阵方程, 得这个等式说明, 对可逆阵与矩阵做相同的行初等变换, 当将变成单位阵时, 矩阵变成矩阵方程的解. 例3.15 设方阵, 解矩阵方程. 解 做分块矩阵: 左边部分是, 右边部分是. 做行初等变换, 得 .于是，. 如果矩阵方程中的方阵可逆, 方阵是单位阵, 则用这个方法得到的矩阵方程的解就是的逆阵. 由此得到计算逆阵的简单方法. 例3.16 求方阵的逆阵.解 用初等变换法. 于是 .如果与是列矩阵, 用这里的方法可以得到线性方程组的解. 而且这种解法正是前面的消元法. 性质3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩. 证 设是矩阵, 是矩阵, . 先证明.根据推论3.7, 有, 其中的行等价标准形恰有个非零行. 用矩阵右乘此式, 得. 根据矩阵乘法定义, 矩阵至多有个非零行. 根据定理3.4, 有. 转置可证明另一部分. 例3.17 设是可逆阵,则.证1 记矩阵. 由性质3.5, 有. 用逆阵左乘, 得 , 从而有.上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明. 证2 已知是可逆阵，根据推论3.8, 有. 再根据定理3.4, 有.三 初等变换 与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换. 定义3.12 设是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵的列初等变换. (1) 交换的两列;(2) 用非零常数乘以的一列;(3) 将的一列的倍加到另一列上去,与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形. 性质3.6 列初等变换与列等价具有下述性质. (1) 列初等变换不改变矩阵的秩; (2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;(3) 矩阵的列等价是等价关系; (4) 矩阵与列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵, 使得. 与用行初等变换解矩阵方程类似, 可以用列初等变换解矩阵方程. 例3.18设, , 解矩阵方程. 解 做分块矩阵, 上边是, 下边是. 然后做列初等变换. 当将变成单位阵时, 变成矩阵方程的解. 如果用表示列等价, 则有.于是.例3.19 设分块矩阵, 求证: .证 设矩阵的列等价标准形分别为, 则与分别有与个非零列. 从而分块矩阵有个非零列. 另一方面, 如果在矩阵中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵. 于是, 有.定义3.13 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. 如果经过初等变换可以将矩阵变成矩阵, 则称与等价. 由于矩阵的行等价与列等价都是等价关系, 矩阵的等价也是等价关系. 定理3.8 设矩阵的秩等于, 则与形如的分块矩阵等价, 其中是阶单位阵. 证 先做行初等变换, 将矩阵变成行等价标准形. 再做列初等变换: 用各非零行的首元素消去其右方的非零元素. 最后, 将中间的零列移到非零列的右边, 而不改变非零列的顺序. 经过这些初等变换所得到的矩阵的左上角是一个单位阵, 其他元素等于0. 因为初等变换不改变矩阵的秩, 所以位于左上角的单位阵的阶等于. 这种形式的矩阵称为矩阵的等价标准形.仿照矩阵的初等变换，可以定义分块矩阵的初等变换. 分块矩阵的初等变换, 相当于对矩阵的若干行(或列)同时做初等变换.例如,设都是矩阵,则分块矩阵的初等变换相当于将这个矩阵的第行加到第一行, 第行加到第二行, 等等. 因此, 分块矩阵的初等变换也