高考数学一轮专题精讲28：数列概念及等差数列.doc

第 28 讲 数列概念及等差数列 一 【课标要求】 1数列的概念和简单表示法；通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表 示方法（列表、图像、通项公式） ，了解数列是一种特殊函数； 2通过实例，理解等差数列的概念，探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式； 3能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。体 会等差数列与一次函数的关系 二 【命题走向】 数列在历年高考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答 题。对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项 和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高 预测明年高考： 1题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生 活中的实际问题的解答题； 2知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题， 还可能涉及部分考察证明的推理题 三 【要点精讲】 1数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 n a，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首 项） ，在第二个位置的叫第 2 项，序号为n 的项叫第n项（也叫通项）记作 n a； 数列的一般形式： 1 a ， 2 a， 3 a， n a，简记作 n a。 （2）通项公式的定义：如果数列 n a的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示， 那么这个公式就叫这个数列的通项公式 例如，数列的通项公式是 n a= n（n7，nN） ，数列的通项公式是 n a= 1 n （ nN） 。 说明： n a表示数列， n a表示数列中的第n项， n a= f n表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如， n a= ( 1)n= 1,21( ) 1,2 nk kZ nk ； 不是 每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414， （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函 数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N（或它的有限子集）的函数( )f n 当自变量 n从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),fff，( )f n ，通常用 n a来 代替 f n，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项 与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列） 、常数列和摆动数列 （5）递推公式定义：如果已知数列 n a的第 1 项（或前几项） ，且任一项 n a与它的前 一项 1n a （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式 2等差数列 （1）等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等 于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字 母d表示。用递推公式表示为 1 (2) nn aad n 或 1 (1) nn aad n 。 （2）等差数列的通项公式： 1 (1) n aand； 说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d 为常数列， 0d 为递减数列。 （3）等差中项的概念： 定义：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。其中 2 ab A a，A，b成等差数列 2 ab A 。 （4）等差数列的前n和的求和公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad 。 四 【典例解析】 题型 1：数列概念 (安徽卷文）已知为等差数列，则等于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】 135 105aaa 即 3 3105a 3 35a 同理可得 4 33a 公差 43 2daa 204 (204)1aad .选 B。 【答案】B 2.根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7； （2） 2 21 2 ， 2 31 3 ， 2 41 4 ， 2 51 5 ； （3） 1 1*2 ， 1 2*3 ， 1 3*4 ， 1 4*5 。 解析：（1） n a=21n； （2） n a= 2 (1)1 1 n n ； （3） n a= ( 1) (1) n n n 。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这 对考生的归纳推理能力有较高的要求。 例 2数列 n a中，已知 2 1( ) 3 n nn anN ， （1）写出 10 a ， 1n a ， 2 n a ； （2） 2 79 3 是否是数列中的项？若是，是第几项？ 解析：（1） 2 1( ) 3 n nn anN ， 10 a 2 1010 1109 33 ， 1n a 2 2 11131 33 nnnn ， 2 n a 2 22 42 1 1 33 nn nn ； （2）令 2 79 3 2 1 3 nn ，解方程得15,16nn 或， nN，15n ， 即 2 79 3 为该数列的第 15 项。 点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属 题型 2：数列的递推公式 例 3如图,一粒子在区域 ( , )|0,0x yxy 上运动,在第一秒内它从原点运动到点 1(0,1) B,接着按图中箭头所示方向在 x 轴、y 轴及其平 行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。 （1）设粒子从原点到达点 nnn ABC、时，所经过的时间分别为 nnn a 、b 、c，试写出 0 C5 C4 C3 C2 B5 B4 B3 B2 A6A5A4 A3A2 C1B1 A1x y nnn a、b 、c的通相公式； （2）求粒子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间； （3）粒子从原点开始运动，求经过 2004 秒后，它所处的坐标 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 /wxc/ /wxc/ 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头。 解析：(1) 由图形可设 12 (1,0),(2,0),( ,0) n AAA n，当粒子从原点到达 n A时，明显有 1 3,a 21 1,aa 311 123 4,aaa 43 1,aa 533 205 4,aaa 65 1,aa 2123 (21) 4, nn aan 221 1, nn aa 211 435(21) n aan 2 41n , 2 221 14 nn aan 。 2 2121 2(21)441 nn bannn , 2 22 2 244 nn bannn 。 22 2121 (21)42(21)(21) nn cbnnnnn , 22 22 242(2 )(2 ) nn cannnnn, 即 2 n cnn。 （2）有图形知，粒子从原点运动到点(16,44)P时所需的时间是到达点 44 C 所经过得时间 44 c 再加（4416）28 秒， 所以 2 4444282008t 秒。 （3）由 2 n cnn2004，解得 18017 1 2 n ，取最大得 n=44， 经计算，得 44 c 19800， 又S6=S7，a1+a2+a6=a1+a2+a6+a7，a7=0， 由S7S8，得a8S5，即a6+a7+a8+a902（a7+a8）0， 由题设a7=0，a80，显然 C 选项是错误的。 （2）答案：C 解法一：由题意得方程组 100 2 ) 12(2 2 30 2 ) 1( 1 1 d mm ma d mm ma ， 视m为已知数，解得 2 1 2 )2(10 , 40 m m a m d ， 210 40 2 ) 13(3)2(10 3 2 ) 13(3 3 22 1 13 m mm m m md mma maS m 。 解法二：设前m项的和为b1，第m+1 到 2m项之和为b2，第 2m+1 到 3m项之和 为b3，则b1，b2，b3也成等差数列。 于是b1=30，b2=10030=70，公差d=7030=40。 b3=b2+d=70+40=110 前 3m项之和S3m=b1+b2+b3=210. 解法三：取m=1，则a1=S1=30，a2=S2S1=70，从而d=a2a1=40。 于是a3=a2+d=70+40=110.S3=a1+a2+a3=210。 点评：本题考查等差数列的基本知识，及灵活运用等差数列解决问题的能力，解法二中 是利用构造新数列研究问题，等比数列也有类似性质.解法三中，从题给选择支获得的信息 可知，对任意变化的自然数m，题给数列前 3m项的和是与m无关的不变量，在含有某种 变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影。 例 14在XOY平面上有一点列P1（a1，b1） ，P2（a2，b2） ，Pn（an，bn） ， 对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（ 10 a ）x（0a10的图象上，且点Pn、点 （n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。 （）求点Pn的纵坐标bn的表达式； （）若对每个自然数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值 范围； （） （理）设Bnb1，b2bn（nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数， 求数列Bn的最大项的项数 （文）设cnlg（bn） （nN）.若a取（）中确定的范围内的最小整数，问数列 cn前多少项的和最大?试说明理由。 解析：.解：（）由题意，ann 2 1 ，bn2000（ 10 a ） 2 1 n 。 （）函数y=2000（ 10 a ）x（0a10）递减， 对每个自然数n，有bnbn1bn2 则以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn2bn1bn， 即（ 10 a ）2（ 10 a 1）0， 解得a5（15）或a5（51） ， 5（51）a10 （） （理）5（51）a10， a=7，bn2000（ 10 7 ） 2 1 n 。 数列bn是一个递减的正数数列.对每个自然数n2，BnbnBn1。 于是当bn1 时，BnBn1，当bn1 时，BnBn1， 因此，数列Bn的最大项的项数n满足不等式bn1 且bn11。 由bn2000（ 10 7 ） 2 1 n 1，得n20.8，n=20。 （文）5（51）a10，a=7，bn2000（ 10 7 ） 2 1 n 。 于是cnlg2000（ 10 7 ） 2 1 n 3lg2（n 2 1 ）lg0.7 数列cn是一个递减的等差数列. 因此，当且仅当cn0，且cn10 时，数列cn的前n项的和最大。 由cn3lg2（n 2 1 ）lg070， 得n20.8，n=20。 点评：本题主要考查函数的解析式，函数的性质，解不等式，等差、等比数列的有关知 识，及等价转化，数形结合等数学思想方法. 五 【思维总结】 1数列的知识要点： （1）数列是特殊的函数，数列是定义在自然数集 N（或它的有限子集 1，2，3，n， ）上的函数f（n） ，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数 值：f（1） ，f（2） ，f（3） ，f（n） ，。数列的图象是由一群孤立的点构成的。 （2）对于数列的通项公式要掌握：已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项； 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列 中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中哪些部分是变 化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律， 写出通项公式；一个数列还可以用递推公式来表示；在数列an中，前n 项和Sn 与 通项公式an 的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握之。即an )2( ) 1( 1 1 nSS nS nn 。 特别要注意的是，若a1 适合由anSnSn1（n2）可得到的表达式，则an 不必表达成 分段形式，可化统一为一个式子 2等差数列的知识要点： （1）等差数列定义an1and（常数） （n N） ，这是证明一个数列是等差数列的依 据，要防止仅由前若干项，如a3a2a2a1d（常数）就说an是等差数列这样的错 误，判断一个数列是否是等差数列。还可由anan22 an1 即an2an1an1an 来判断。 （2）等差数列的通项为ana1（n1）d可整理成anan（a1d） ，当d0 时，an 是关于n 的一次式，它的图象是一条直线上，那么n 为自然数的点的集合 （3）对于A 是a、b 的等差中项，可以表示成 2 Aab。 （4）等差数列的前n 项和公式Sn 2 1n aa nna1 2 ) 1( nn d，可以整理成 Sn 2 d n2 n d a) 2 ( 1 。当d0 时是n