排列组合常用解题策略.doc

排列组合应用题的常用解题策略排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略。供同学们学习参考1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素“捆绑”在一起看作一个元素与其它元素进行排列，然后再对这几个元素进行全排列。（即注意“松绑”）例1（1996年全国文）6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同的排法有（ ）A、720种 B、360种 C、240种 D、120种解析：把甲、乙两人视为一人，这样6个人看作5个人，5个人的排法有种，甲乙两人还有顺序问题，所以排法种数为 故选C2. 不相邻问题插空排:元素不相邻问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的不相邻的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.（2006年重庆文）高三（一）班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（ ） （A）1800 （B）3600 （C）4320 （D）5040解析：先将4个音乐节目，1个曲艺节目排列有种，再将2个舞蹈节目插入其中的6个“空”，有种插入方法，即得不同的排法共有种，故选B3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.（2006年江苏理）今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有 种不同的方法（用数字作答）。解析：同色球不加以区分（即属相同元素排列的消序问题），先全排列，在消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有种不同的方法。故填12604.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个（某些）元素按规定排入，第二步再排另一个（一些）元素，如此继续下去，依次即可完成.例4（2000全国文理）乒乓球队的10名队员有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 .（用数字作答）解析：3名主力队员要安排在第一、三、五位置有种方法，从其余7名队员选2名安排在第二、四位置有种，共有种，故填2525.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5（2002年北京理）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（ ）A、种 B、种 C、种 D、 种解析：先从12名同学中选出4名同学分配到第一个路口，再从剩下的8名同学中选4名同学分配到第二个路口，最后的4名同学分配到第三个路口，共有种，故选A6.全员分配问题分组法: 分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.例6(2004全国III)将4名教师分配到3所中学任教，每所中学至少1名，则不同的分配方案共有（ ） A12种 B24种 C36种 D48种解析：把四名教师分成3组只有一种分法（即2、1、1型）有（因为局部涉及到平均分成两组问题，所以必须除以）种方法，再把三组教师分配到三所学校有种，故共有种方法. 故选C7.名额分配问题隔板法: 对于相同元素的分组这类典型问题，可用“隔板”法求解。例7：某学校要从高三的6个班中派9名同学参加市中学生外语口语演讲，每班至少派1人，则这9个名额的分配方案共有 种.（用数字作答）解析：将9个名额视为9个相同的小球排成一排为：，然后在9个小球的8个空位中插入5块木板，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为种. 故应填568.限制条件的分配问题分类法:例8(2005福建文，理)从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有 （ ） A300种 B240种 C144种 D96种解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：若甲乙都不选，则有种；若选甲而不选乙，则有种；若选乙而不选甲，则有种；若甲乙都选，则有所以共有不同的选择方案总数为 种. 故选 B9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例：9（2003年北京春）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 （ ） A42 B30 C20 D12解析1：对新增的2个节目分类： 不相邻：有种，相邻：有种，故不同插法的种数为 + =42种。故选A解析2：利用“分步原理”：首先在原5个节目的6个“空隙”中插入一个节目有6种，然后再在这6个节目的7个“空隙”中插入一个节目有7种，因此共有种。故选A10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式 .例10（2006年湖北文）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是 .（用数学作答）解：解析：设全集 =5名歌手的出场顺序排列，A=某名歌手不第一个出场，B=另一名歌手不最后一个出场，根据求集合元素个数的公式得排法的种数共有：= 种. 故应填7811.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。例11（2006全国I）安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1日和2日. 不同的安排方法共有 种.（用数字作答）解析：甲、乙二人安排在5月3日至5月7日值班有种，其余5人安排有种方法；所以共有 种。. 故应填240012.多排问题单排法:把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。例126个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选 .13.“至少”“至多”问题用分类法或间接排除法: 对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法例13(2005全国I)从6名男生和4名女生中，选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法 种.解析1：至少包含1名女生分为：1女2男有 种；2女1男有种；3女有种，故不同的选法共有 + + =100种, 故应填100解析2：逆向思考，至少包含1名女生的反面就是1名女生也没有，故不同的取法共有种, 故应填10014.选排问题先取后排:从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14（2006年福建文）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有（） （A）108种 （B）186种 （C）216种 （D）270种解析1：以女生为主分三类：1女2男有 种；2女1男 种；3女有种，故共有（ + + ） =186种选派方案。选. B解析2：间接法： 种选派方案。选. B15.部分合条件问题排除法:在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为所求.例15（2002年全国文理）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （ ） A8种 B12种 C16种 D20种解析：从正方体的6个面中选取3个面共有种，剔除8个角上3个相邻平面，即选. B16.可重复的排列求幂法:允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般地个不同元素排在个不同位置的排列数有种方法.例16（2007年全国II）5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ）（A）10种 （B）20种 （C）25种 （D）32种解析：完成此事共分5步，第一步；将第一位同学报名课外活动小组有2种第二步：将第二位同学报名课外活动小组也有2种，依次类推，由分步计数原理知共有种不同报名方法。故选D17.数的大小排列问题查字典法：对于数的大小顺序排列问题，可以采用“查字典”的方法，从高位到低为位依次确定。例17(2004全国II)在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有 （ ） A56个 B57个 C58个 D60个解析： 查首位： 型有 种 ； 查前两位： 型和型共有种；另外还有： 共有 种； 查前三位： 型和型共有种；另外还有：共有 种； 查前三位：只有43512一种，另外还有23154一种。故共有：种。故选C18.复杂排列组合问题构造模型法:例18马路上有编号为1，2，3，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，则满足条件的关灯方案有 种.（用数字作答）解析：把此问题当作一个排对模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯种方法,所以满足条件的关灯方案有10种.。故应填10说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题容易解决.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法:例：19（2005年湖北文）将标号为1，2，10的10个球放入标号为1，2，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为（ ） A120 B240 C360 D720解析：从10个球中取出7个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种. 故应填24020.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法:例20：正方体8个顶点可连成异面直线有 队（用数字作答）解析：因为四面体中仅有3对异面直线，可将问题分解成正方体的8个顶点可构成多少个不同的四面体，从正方体8个顶点中任取四个顶点构成的四面体有个，所以8个顶点可连成的异面直线有358=174对。故应填17421.利用对应思想转化法:对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单问题处理.例21圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 种.（用数字作答）解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦