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高中数学选修2-2资料第一章 导数及其应用第一节 导数的定义知识点一 导数的概念定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作要点诠释：增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。的意义：与0之间距离要多近有多近，即可以小于给定的任意小的正数。时，y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数。即存在一个常数与无限接近。导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率。知识点二 求导数的方法求导数值的一般步骤：求函数的增量：；求平均变化率：；求极限，得导数：。也可称为三步法求导数。【例1】已知函数在处可导，则：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）【例2】求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）【变式1】求下列函数导数：（1）y3x2xcosx（2）y（3）ylgx-ex（4）y=tanx.【变式2】求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）【例3】求下列函数的导数：（1）（2）（3）【变式3】求下列函数的导数：（1）（2） y （3）.【例4】已知，则_.【例5】（逆用求导公式）设，是上的可导函数，且，则当时，比较与的大小.【变式4】是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，若，比较与的大小.【变式5】是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意的正数，若，比较与的大小.第二节 导数的几何意义1导数的几何意义 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的_，即kf(x0)函数yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为_2导数的物理意义 物体的运动方程ss(t)在tt0处的导数，就是物体在t0时刻的_3.由导数的几何意义，求切线的斜率，即是求切点处所对应的导数因此，求曲线在某点处的切线方程，可以先求函数在该点的导数，即为曲线在该点的切线的斜率，再用直线的点斜式形式，写出切线的方程，其步骤为：(1)求出函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-y0f(x0)(x-x0)4求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线平行于y轴(垂直于x轴此时导数不存在)时，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为xx0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解注意：若在点(x0，f(x0)处切线l的倾斜角为，此时切线垂直于x轴，导数不存在，不能用上述方法求切线的方程，可根据切线的定义直接得切线方程为xx0.5.导数几何意义应用的三个方面导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解【例1】已知曲线yx3上一点P，求：(1) 点P处的切线的斜率；(2)点P处的切线方程【变式1】已知：曲线上一点，求：点处的切线方程。【例2】求曲线经过点的切线方程.【变式2】已知：函数，经过点作函数图象的切线，求：切线的方程。【变式3】已知直线l1为曲线yx2x-2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积【例3】1.函数f(x)的图象在点(1，-2)处的切线方程为()A2x-y-40B2xy0Cx-y-30Dxy102.曲线ye-2x1在点(0,2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为_【变式4】1.与直线2x-y40平行的抛物线yx2的切线方程是()A2x-y30B2x-y-30C2x-y10D2x-y-102.已知函数f(x)xlnx，若直线l过点(0，-1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy-10Bx-y-10Cxy10Dx-y10【例3】已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)()A-e B-1 C1 De【变式5】设曲线yax-ln (x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1 C2 D3【变式6】若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2x-y10，则点P的坐标为_【例4】若对于曲线f(x)-ex-x(e为自然对数的底数)的任意切线l1，总存在曲线g(x)ax2cosx的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为_【例5】已知函数f(x)ax33x2-6ax-11，g(x)3x26x12和直线m：ykx9，且f(-1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由【变式7】已知aR，函数f(x)=x33x2+3ax3a+3，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程.【变式8】已知函数，.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值.第三节 导数的应用利用导数研究函数的单调性 利用导数判断函数单调性的基本方法设函数在区间（a，b）内可导，（1）如果恒有，则函数在（a，b）内为增函数；（2）如果恒有，则函数在（a，b）内为减函数；（3）如果恒有，则函数在（a，b）内为常数函数。要点诠释：（1）若函数在区间（a，b）内单调递增，则，若函数在（a，b）内单调递减，则。（2）或恒成立，求参数值的范围的方法分离参数法：或。题型一 求函数的单调区间【例1】思维辨析(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性()(3)f(x)在(a，b)上单调递增与(a，b)是f(x)的单调递增区间是相同的说法()【例2】确定函数的单调区间.【例3】【变式1】求下列函数的单调区间：（1）（2）【例4】已知函数，求函数的单调区间并说明其单调性。【变式2】求函数（aR）的单调区间。【变式3】（a0且a1）。题型二 函数单调性的证明【例5】当时，求证：函数是单调递减函数.【变式4】当时，求证：函数是单调递减函数.题型三 含参的函数单调性的讨论（高考重要考点）【例6】，求函数的单调性.【变式5】求函数的单调性.【变式6】（2015西宁校级模拟）已知函数，若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围.【例7】（2015宿州三模）已知，g（x）=x3+ax2-x+2如果函数g（x）的单调递减区间为(，1)，求函数g（x）的解析式.【变式7】已知实数a0，函数f(x)a(x-2)22lnx.(1)当a1时，讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)在区间1，4上是增函数，求实数a的取值范围【变式8】已知函数,讨论函数的单调性.题型四 函数与导函数的图像【例8】设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）yxOyxOyxOyxOABCD【例9】已知函数yf(x)的图象如图所示，则其导函数yf(x)的图象可能是()【变式9】()如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面判断正确的是()A在(-2，1)上f(x)是增函数 B在(1，3)上f(x)是减函数C当x2时，f(x)取极大值 D当x4时，f(x)取极大值【变式10】设f(x)是函数f(x)的导函数，yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象有可能是()1.函数的极值一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.2.函数的最值函数的最大值与最小值定理：若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.要点诠释：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；函数的极值可以有多个，但最值只有一个。3.函数极值与最值的简单应用（1）不等式恒成立，求参数范围问题。一些含参不等式，一般形如，若能隔离参数，即可化为：的形式。若其恒成立，则可转化成，从而转化为求函数的最值问题。若不能隔离参数，就是求含参函数 的最小值 ，使。所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论。（2）证不等式问题。 当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可。所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题。（3）两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可。所以此类问题可转化为求函数的极值问题。题型一 求函数的极值【例1】思维辨析(1)导数为零的点不一定是极值点()(2)三次函数在R上必有极大值和极小值()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值()(6)函数f(x)xsinx有无数个极值点()【例2】下列函数的极值。（1）；（2）【变式1】下列函数的极值。（1）；（2）【例3】讨论函数（）的单调性并求极值【变式2】求下列函数的极值：（1）；（2）【例4】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1-x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)【变式3】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（）A1个 B2个 C3个 D4个【例5】()已知函数f(x)-lnx-，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【变式4】设f(x)a(x-5)26lnx，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2.(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值【例6】设aR，函数f(x)x2e1-x-a(x-1)当a1时，求f(x)在内的极大值；【例7】设函数，则（ ） A为的极大值点 B为的极小值点 C为的极大值点 D.为的极小值点【例8】若函数f(x)x3-3x在(a,6-a2)上有最小值，则实数a的取值范围是()A(-，1) B-，1)C-2,1) D(-2,1)【变式5】设函数f(x)(x-1)kcosx(kN*)，则()A当k2013时，f(x)在x1处取得极小值B当k2013时，f(x)在x1处取得极大值C当k2014时，f(x)在x1处取得极小值D当k2014时，f(x)在x1处取得极大值题型二 函数极值的逆向应用【例1】已知函数在点x0处取得极大值5，其导函数的 图象经过点（1，0），（2，0），如图所示。求：（1）x0的值；（2）a，b，c的值。【变式1】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求a,b的值.【例2】已知函数，当且仅当x=-1，x=1时取得极值，且极大值比极小值大4。 （1）求a、b的值； （2）求的极大值和极小值。【变式2】函数f(x)ax3bx在x1处有极值-2，则a，b的值分别为()A1，-3 B1,3 C-1,3 D-1，-3题型三 导数法研究函数的最值问题【例1】求函数在区间-1，2上的最大值与最小值。【变式1】求函数y=x4-2x2+5在区间-2，2上的最大值与最小值。【例2】求函数，x0，2的最值。【变式2】求函数，x-3，2的最值。【例3】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x）有极值.（1）求a,b,c的值； （2）求y=f(x）在-3，1上的最大值和最小值.【变式3】设函数。（1）当a=1时，求的单调区间；（2）若中（0，1上的最大值为，求a的值。【例4】已知函数f(x)ax22，g(x)x3bx.若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值【变式4】设函数f(x)alnxbx2(x0)，若函数yf(x)的图象在x1处与直线y相切(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值【变式5】()已知函数f(x)x21，其中a0.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线y1平行，求a的值；(2)求函数f(x)在区间1，2上的最小值题型三 利用导数研究函数的零点问题【例1】已知函数，（1） 若函数在为增函数，求的取值范围；（2）讨论方程解的个数，并说明理由.【例2】若问是否存在实数m，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【变式2】已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与直线yex有唯一公共点【例3】已知f(x)ax2(aR)，g(x)2lnx.(1)讨论函数F(x)f(x)g(x)的单调性；(2)若方程f(x)g(x)在区间，e上有两个不相等的实数解，求a的取值范围【变式3】已知函数（1）求的单调区间；（2）若在处取得极值，直线y=my与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围题型四 导数法证明不等式【例1】已知函数f(x)ex，当x0，1时，求证：(1)f(x)1x；(2)(1x)f(x)1x.【