华中师范大学,量子力学A卷参考答案.pdf

华中师范大学华中师范大学 2014 2015 学年第一学期学年第一学期 期末考试试卷（期末考试试卷（A） 课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师 题型 填空题 判断题证明题简答题计算题 总分 分值 20 10 16 20 34 100 得分 得分 评阅人 一、填空题： （共10题，每题2分，共20分） 1. 若某种光的波长为，则其光子的能量为 /hc ，动量大小为 /h 。 2. 戴维逊革末实验主要表现出电子具有 波动性 。 3. 若(), x t ? 是归一化的波函数， 则() 2 , x tdx ? 表示 t时刻x附近dx体积元内发现粒子的概率 。 4. 设力学量算符 F与 G不对易，且其对易子为 , F Gik = ，则它们的不确定性关系为 2 k F G 。 5. 厄米算符在自身表象是 对角 矩阵。 6. 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云 的图像，电子云是 电子电荷在核外的概率分布 。 7. 设氢原子处于态() 2110211 1 25 , ,( )( , )( )( , ) 33 rRr YRr Y =， 求氢原子的角动量 z分量的平均值 5 /9 ? 。 8. 证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构 / 复杂塞曼效应 / 斯特恩-盖拉赫实 验 。 院（系） ： 专业： 年级： 学生姓名： 学号： - 密 - 封 - 线 - 第 1 页(共 4 页) 9. 两个角动量，角量子数分别为 12 1 1, 2 jj=，它们耦合的总角动量的角量子数J= 3/2 或 1/2 。 10. 周期性微扰下，当t 时，跃迁概率为 () 2 (0)(0) 2 nmmnmn wFEE =? ? 。式中 函数的物理意义是 跃迁过程能量守恒 。 得分 评阅人 二、判断题： （共10题，每题1分，共10分） 1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。 （ ） 2. 若 12 , n ?是 体 系 的 一 系 列 可 能 的 状 态 ， 则 这 些 态 的 线 性 叠 加 1122nn CCC=+?（其中 12 , n C CC?为复常数）也是体系的一个可 能状态。 （ ） 3. 不同定态的线性叠加还是定态。 （ ） 4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。 （ ） 5. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。 （ ） 6. 粒子在中心力场中运动，若角动量Lz是守恒量，那么Lx就不是守恒量。 （ ） 7. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(xUxU=，则粒子的束缚态波函数 一定具有确定的宇称。 （ ） 8. 费米子体系的哈密顿算符H 必须是交换反对称的， 玻色子体系的哈密顿算符H 必须是 交换对称的。 （ ） 9. 全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。 （ ） 10. 自由粒子所处的状态只能是平面波。 （ ） 得分 评阅人 三、证明题： （共2题，每题8分，共16分） 1. 用狄拉克符号证明： （1） 厄米算符的本征值是实数； （2） 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形） 。 （8分） 证明： （1）设 FF=，其本征值方程为 nnn F fff= 用本征矢的共轭矢量 n f左乘上式，得到 nnnnnnnnn fF ffffffff= 对上式取共轭，得 * * nnn fF ff= 利用厄米算符的定义 * nnnnnn fF ffFffF f=，得出式与式相等，即 * nn ff= （2）厄米算符的本征值方程记为 ij F if iF jfj= 或 ，用j左乘前式，用i左乘后式，得 ii j F ij f ifj i= jj i F ji fjfi j= 式取共轭得 i i F jf i j= 式与式相减，左边为零，得 ()0 ij ffi j= 而()0 ij ff，则0i j=，证毕。 - 密 - 封 - 线 - 第 2 页(共 4 页) 2. 证明处于1s，2p和3d态的氢原子，分别在 0 ra=， 0 4a和 0 9a的球壳内发现电子的概率 最大。 （提示：氢原子波函数( , , )( )( , ) nlmnllm rRr Y =，其中 0 10 3/2 0 2 ( ) r a Rre a =， 0 2 21 3/2 0 0 1 ( ) (2)3 r a r Rre aa =， 0 3/22 3 32 00 21 ( ) 81 15 r a r Rre aa = 。 （8分） 证明：rrdr+球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数） 2 2 2 00 2 22 2 00 22 ( )( , , )sin ( )( , ) sin ( ) nlnlm nllm nl wr drddrrdr Rrr drdYd Rr r dr = = = 得1s态，2p态和3d态的径向概率密度为 0 2 2 /22 1010 3 0 4 ( )( ) r a r wrRr re a = 0 4 /22 2121 5 0 ( )( ) 24 r a r wrRr re a = 0 6 2 /322 3232 27 0 8 ( )( ) 8115 ra r wrRr re a = 概率密度( ) nl wr的极值由一阶偏导数为零得出，即 00 2 /2 /2 10 3 00 ( )42 2()0 r ar a wr rer e raa =+= 得 0 ra=； 00 /34 21 5 00 ( )11 4()0 24 r ar a wr r er e raa =+= 得 0 4ra=； 00 2 /32 /356 32 27 00 ( )82 6()0 81153 rara wr r er e raa =+= 得 0 9ra=。证毕。 得分 评阅人 四、简答题： （共5题，每题4分，共20分） 1. 简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。 答：为了解释原子稳定性的问题和光谱的线状谱，玻尔的工作： （a）首先假设了不连续的定态，处 于定态的电子不辐射。定态由量子化条件决定。(b) 还引进了量子跃迁的概念。这一模型解决了上 述两个困难，其定态的概念依然保留在近代量子论中，为人们认识微观世界和建立量子理论打下 了基础。其缺点是，量子化条件是输入，而不是输出；保留了经典的概念，如轨道，没有成为一 个完整的量子理论体系。 2. 处于定态的体系具有哪些性质。 答： （a）定态是能量有确定值的状态； （b）处于定态的系统，几率分布与时间无关，几率流密度 与时间无关； （c）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化。总之，定态是一种力学性 质稳定的状态。 3. 隧道效应。 答： 微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象， 称为隧道效应。 它是微观粒子波动性的 体现。 4. 跃迁的选择定则及其理论依据。 答： 光照射原子时， 即使入射光中与玻尔频率对应的能量密度不为零， 跃迁也不一定发生。 还要求两能级的量子数满足1, 0, 1lllmmm = = =，这称为选择定则。其理 论依据是，在电偶极近似下跃迁概率 2 () nmmnmn wr ? 。当()0 mn 时，若 2 0 mn r= ? ，导致跃迁概率为零，跃迁是禁戒的。允许的跃迁要满足 2 0 mn r ? ，就得到选择 定则。 5. 分波法的基本思想。 答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波 展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波 的相位。 - 密 - 封 - 线 - 第 3 页(共 4 页) 得分 评阅人 五、计算题： （共3题，共34分） 1. 质量为的一维谐振子的基态波函数为 22 1 2 0( ) x xe =，其中 = ? ，求粒子出 现在经典禁区的概率。 （10分） （积分公式： 22 1 00 , 0.75 2 xx edxedx + = ） 解：谐振子的能量表达式 22 1 2 ETx=+，因经典粒子的动能必小于等于总能量，其转折点（动能 为零的点）满足 22 1 0 2 EA=+，得 2 2E x = 。 对于基态， 1 2 E=?，转折点x = ? ，经典禁区为, + ? 和。 量子谐振子出现在经典禁区的概率为 2 2 222 222 000 1 100 ( )( )2( )2 11110.75 2220.154 2 x xdxxdxxdxedx ededed + + + + += = ? ? 在经典禁区，粒子出现的概率不为零，对于基态，在经典禁区出现的概率为15.4%。 - 密 - 封 - 线 - 2. 已知在 2 L ? 和 z L的共同表象中，算符 x L和 y L的矩阵表示分别为 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 x L = ? ， 0 0 0 2 0 0 y i Lii i = ? ， 求它们的本征值和归一化的本征函数， 并将矩阵 x L 和 y L对角化，写出使矩阵对角化的么正变换矩阵U。 （12分） 解：xL的本征值方程为 11 22 33 0 1 0 1 0 1 2 0 1 0 aa aa aa = ? ， 久期方程的解为,0,=?。 将,0,=? 分别带入本征值方程，得归一化本征矢 1 1 2 2 1 ， 2 1 0 2 2 ， 1 1 2 2 1 。 同理，yL的本征值方程为 11 22 33 0 0 0 2 0 0 bbi iibb ibb = ? ，久期方程的解为,0,=?，归一化 的本征矢为 1 1 2 2 1 i ， 2 1 0 2 2 ， 1 1 2 2 1 i 。 为了将矩阵 Lx 和 Ly 对角化，需要做表象变换，变到它们自身的表象，就对角化了。表象变 换的矩阵分别为 1 1 2 1 1 2 0 2 2 1 2 1 U = ， 2 1 2 1 1 2 0 2 2 1 2 1 Uii = ()() 11 1 0 0 0 0 0 0 0 1 x LLz xx LU LU = ?， () () 22 1 0 0 0 0 0 0 0 1 y L Lz yy LU LU = ?。 第 4 页(共 4 页) 3. 已知某表象中哈密顿算符的矩阵形式 1 0 3 0 0 0 2 c Hc c = 。 （1） 设1c?，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似； （2） 求精确解，并与上面的微扰论结果比较。 （12分） 解：当1c?，可把哈密顿分解为 0 1 0 00 0 0 3 0c 0 0 0 0 20 0 c c HHH =+=+ 0 H是对角矩阵，是 0 H在自身表象的形式。所以，零级近似的能量和态矢为 (0)(0)(0) 123123 100 1,3,2;0 ,1 ,0 001 EEE = = 由无简并微扰公式， (1) , nnn EH= 2 (2) (0)(0) nl n l n nl H E EE = ，得能量的一级修正为 (1)(1)(1) 111222333 0, 0, EHEHEHc= 能量的二级修正为 222 (2)2 11312 1 (0)(0)(0)(0)(0)(0) 1 11213 |1 2 l l l HHH Ec EEEEEE =+= 222 (2)2 22321 2 (0)(0)(0)(0)(0)(0) 2 22123 |1 2 l l l HHH Ec EEEEEE =+= 222 (2) 33132 3 (0)(0)(0)(0)(0)(0) 3 33132 | 0 l l l HHH E EEEEEE =+= 得二