2018_2019高中数学平面向量2.2.3向量的数乘学案苏教版.docx

2.2.3向量的数乘学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题知识点一向量数乘的定义思考1实数与向量相乘结果是实数还是向量？答案向量思考2向量3a，3a与a从长度和方向上分析具有怎样的关系？答案3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相同3a的长度是a的长度的3倍，它的方向与向量a的方向相反梳理向量的数乘实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|；(2)a(a0)的方向当0或a0时，a0.实数与向量a相乘，叫做向量的数乘知识点二向量数乘的运算律思考类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？答案结合律，分配律梳理向量数乘的运算律(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.知识点三向量共线定理思考若b与非零向量a共线，是否存在满足ba？若b与向量a共线呢？答案若b与非零向量a共线，存在满足ba；若b与向量a共线，当a0，b0时，不存在满足ba.梳理(1)向量共线定理如果有一个实数，使ba(a0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a0)是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba.(2)向量的线性运算向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.1若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()提示当b0，a0时，实数不唯一2若ba，则a与b共线()提示由向量共线定理可知其正确3若a0，则a0.()提示若a0，则a0或0.类型一向量数乘的基本运算例1(1)化简：2(2a4b)4(5a2b)解2(2a4b)4(5a2b)(4a8b20a8b)(16a16b)4a4b.(2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x2ya，4x3yb，求向量x，y.解由32，得x3a2b，代入得3(3a2b)2ya，所以x3a2b，y4a3b.反思与感悟(1)向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数(2)向量也可以通过列方程和方程组求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算跟踪训练1(1)计算：(ab)3(ab)8a.解(ab)3(ab)8a(a3a8a)(b3b)10a4b.(2)若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y_.答案abc解析因为2(cb3y)b0，3yabc0，所以yabc.类型二向量共线的判定及应用例2已知非零向量e1，e2不共线(1)若ae1e2，b3e12e2，判断向量a，b是否共线；(2)若e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：A，B，D三点共线(1)解b6a，a与b共线(2)证明e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线反思与感悟(1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用ba(a0)，还要说明向量a，b有公共点跟踪训练2已知非零向量e1，e2不共线，如果e12e2，5e16e2，7e12e2，则共线的三个点是_答案A，B，D解析e12e2，5e16e27e12e22(e12e2)2.，共线，且有公共点B，A，B，D三点共线例3已知非零向量e1，e2不共线，欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定k的值解ke1e2与e1ke2共线，存在实数，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2，由于e1与e2不共线，只能有k1.反思与感悟利用向量共线定理，即b与a(a0)共线ba，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值跟踪训练3已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，则xy_.答案1解析由于A，B，P三点共线，则，在同一直线上，由向量共线定理可知，一定存在实数使得，即()，(1).x1，y，则xy1.类型三用已知向量表示其他向量例4在ABC中，a，b，若点D满足2，则_.(用a，b表示)答案ab解析示意图如图所示，由题意可得()ab.反思与感悟用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量(3)当直接表示比较困难时，可以利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程跟踪训练4如图，在ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，3a，2b，求，.解3a，2b，2b3a，又D，E为边AB的两个三等分点，ba，3aba2ab，3a3a(2b3a)ab.1已知a5e，b3e，c4e，则2a3bc_.答案23e解析2a3bc25e3(3e)4e23e.2在ABC中，M是BC的中点，则_.答案2解析如图，作出平行四边形ABEC，M是对角线的交点，故M是BC的中点，且是AE的中点，由题意知，2.3设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2 (kR)与向量ne22e1共线，则k_.答案解析m与n共线，mn，即(21)e1(k)e20，e1，e2是两个不共线的向量，k.4若2(cb3y)b0，其中a，b，c为已知向量，则向量y_.(用a，b，c表示)答案abc解析因为2(cb3y)b2yacbyb0，所以yacb，所以yabc.5如图所示，已知，用，表示.解().1实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如a，a是没有意义的2a的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原来的|倍向量表示与向量a同向的单位向量3向量共线定理是证明三点共线的重要工具即三点共线问题通常转化为向量共线问题4已知O，A，B是不共线的三点，且mn(m，nR)，A，P，B三点共线mn1.一、填空题1(a9b2c)(b2c)_.答案a10b2化简2(2a8b)4(4a2b)_.答案2a4b解析原式(4a16b16a8b)(12a24b)2a4b.3在ABC中，如果AD，BE分别为BC，AC上的中线，且a，b，那么_.(用a，b表示)答案ab解析由题意，得bb()ba，即ba，解得ab.4在ABC中，已知D是AB边上的一点，若，则_.答案解析A，B，D三点共线，1，.5设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析向量a，b不平行，a2b0，又向量ab与a2b平行，则存在唯一的实数，使ab(a2b)成立，即aba2b，则解得.6如图，AB是O的直径，点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，a，b，则_.(用a，b表示)答案ab解析连结CD，OD，如图所示点C，D是半圆弧AB上的两个三等分点，ACCD，CADDAB9030.OAOD，ADODAO30.由此可得CADADO30，ACDO.由ACCD，得CDACAD30，CDADAO，CDAO，四边形ACDO为平行四边形，ab.7已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的是_(填序号)m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，则ab；若mana，则mn.答案解析和属于数乘对向量与实数的分配律，正确；中，若m0，则不能推出ab，错误；中，若a0，则m，n没有关系，错误8在ABC中，a，b，D为ABC所在平面内一点，且3，则_.(用a，b表示)答案ab解析3，3()，即43，ab.9已知a5b，2a8b，3(ab)，则_三点共线答案A，B，D10如图，在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_.(用a，b表示)答案ba解析baba(ab)(ba)二、解答题11若非零向量a与b不共线，ka2b与3akb共线，试求实数k的值解ka2b与3akb共线，存在实数，使得ka2b(3akb)，(k3)a(2k)b0，(k3)a(k2)b.a与b不共线，k.12计算：(1)6(3a2b)9(2ab)；(2)；(3)6(abc)4(a2bc)2(2ac)解(1)原式18a12b18a9b3b.(2)原式abab0.(3)原式6a6b6c4a8b4c4a2c(6a4a4a)(8b6b)(6c4c2c)6a2b.13在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知c，d，试用c，d表示和.解如图，设a，b.M，N分别是DC，BC的中点，b，a.在ADM和ABN中，即2，得b(2cd)，2，得a(2dc)dc，