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极限理论在数学分析中地位与作用摘要极限理论是数学分析的基本理论，极限概念是极限理论的核心。作为微积分的基础，极限理论包括函数极限和数列极限。本文从连续、导数、定积分、以及级数的收敛性等方面求解极限，深入探索了极限问题所涉及的各个方面。首先从定义入手，找出函数极限与数列极限的联系，进而运用极限的性质、判定准则、柯西极限理论、迫敛性等方法求解不同类型的函数、数列极限。在极限定义的基础上,提供了又一种求解极限的方法，即无穷小量替换法求解极限。同时例举了几类特殊极限，对其求解计算，总结出一些重要规律及相关结论。这些结论奠定了极限理论在数学分析中的地位与作用，为后继的学习与研究极限提供更好的判别方法和更完整的理论体系，对数学分析具有重大意义。关键词： 极限；数列；函数；定积分；判定准则 The status and role of the limit theory in mathematical analysisABSTRACT Limit theory is a mathematical analysis of the basic theory, the concept of limit is the core of the theory of limit., This article from the continuous derivative, the definite integral, and the convergence of the series such as solving the limit, the limit problem involved in all aspects of in-depth exploration. First of all start from the definition, find the limit of a function with the series limit contact, and thus the use of the limits of nature, criteria, Cauchy limit theory, forcing convergence method for solving different types of function, sequence limit. Solving the limit on the basis of the limit defined that infinitesimal substitution method for solving the limit. While examples of the types of special limit to get the solution calculated, summed up a number of important laws and relevant conclusions. These conclusions are laid limit the status and role of theory in mathematical analysis, to better discrimination method and more complete theoretical system limit for the subsequent study and research, mathematical analysis is of great significance.Key words: The limit, ordered series of numbers, Function, Definite integral, Determine the conditions目录1 引言42 极限的思想渊源与发展史52.1 极限的思想及历史52.1.1 最早的无限分割思想62.1.2. 西方的穷竭法与中国的割圆术62.1.3. 斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化93 极限的相关理论103.1 极限概念的逐步形成103.2 极限概念的完善103.2.1函数极限123.2.2数列极限153.3 极限理论的确立163.3.1波尔查诺的工作163.3.2 柯西的极限理论173.3.3 维尔斯特拉斯的静态理论174 数学分析中极限的作用174.1 函数的连续194.2 数列的收敛性214.2.1 唯一性214.2.2 有界性224.3 导数是特殊的极限225 极限的计算245.1 利用导数的定义245.2 利用初等函数的连续性245.3 数列极限255.3.1 利用函数极限求数列极限255.3.2 利用定积分求数列极限255.4 函数极限265.4.1 利用迫敛性求函数极限265.4.2利用罗比达法则求函数极限265.4.3 利用泰勒级数展开式求函数极限275.4.4 利用中值定理求函数极限275.4.5 利用定积分的定义求函数极限285.4.6 利用等价无穷小替换求函数极限285.4.7 利用收敛级数的必要条件求函数极限285.5利用级数收敛的必要条件求极限285.6.将数列的极限化为定积分296 结论307 参考文献30致谢311 引言数学分析课程的极限理论是人类二十世纪的伟大发现，是人类智慧的丰碑。数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的，可以说，没有极限理论就没有微积分。数学分析是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛 的一门学科,是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学 分析中最重要的概念之一,数学分析中几乎所有重要的概念,如连续、导数、定 积分、重积分、曲线积 分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论,极限思想贯穿整个数学分析学科。学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念。然而,极限概念叙述冗长,概念中的符号关系复杂,不易理解。初入数学分析门扉的读者,都感觉极限概念不好捉摸,极限的精确定义不易理解。本文就极限思想的形成与发展、学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念、极限的相关理论、极限的性质、计算等方面给予阐述。2 极限的思想渊源与发展史2.1 极限的思想及历史以希腊为代表的古代西方数学，为现代数学的发展奠定了一定的基础。早在公元前六世纪,希腊的毕达哥拉斯学派即认为数学不仅是解决现实问题的有力工具，更是认识宇宙自然的钥匙。其代表人物毕达哥拉斯Pythagoras,公元前572-497）认为：“数是万物的本质，宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐的体系”。“万物皆数”是毕氏学派信仰的原则。“数”，在希腊人的概念中指的是“正整数”，甚至对于这种形式并不看作分数，而是看作一个单一的实体。即希腊人认为，比仅是一个有序对而不是一个有理数，这种关于数的离散的概念，常被应用于几何量，如长度、面积和体积。特别地，毕氏学派相信任何两条线段都是可以公度的。即：它们都是某一公共长度单位的倍数。根据这样的假设，对于整数比和比的理论是不难推广的，尤其是运用于几何学中的比例关系，其结果可以证明的。由这一概念出发，希波克拉茨（Hippocrates,约公元前470430）证明了两圆面积之比等于他们的直径平方之比。他所使用的证明方法，可能是使两圆之内接相似多边形的边数无限增加来“穷竭”两圆的面积，推出上述结果。这时，还未出现极限概念来作为本质上是无穷小的论证的依据。由于不可公度量的发现，例如正方形的边和对角线，二者不能分成长度相等的线段的整数倍。因此它们的长度之比不能等于两个整数之比。即不可公度量的发现意味着存在一些不能用数来度量的几何量。所以我们清晰的看到，在希腊，人们在数量观的概念上其本质是离散的！然而，存在不可公度的长度意味着几何量具有某种固有的、不可避免的连续的性质！正因如此，毕氏学派的整数比例理论在这里已无法应用，几何基础出现了危机。希腊学者欧多克斯（Eudoxus ,公元前408355）创造了几何量之比成比例的定义，使希腊数学从有理整数域向有理数域迈进了一大步。欧多克斯成功的关键是给出了一个适当的定义：定义 设和 是同类的一对几何量,和 是另一对几何量(不一定 与前对同类),如果当和成 比例时,则 有若给定任意两正整数 和时,则下列关系之一成立: 和或 和或 和可以看出,欧多克斯的几何量之比成比例的定义，只不过是不得不用一种繁琐的方式隐涵其有理数之 比的显然的事实。而且还可看出，当给定两个不可公度的量与时，由定义实质上已将全体有理数划分为两个不想交的集合和.对于集合，式成立，即;对于集合,(3)式成立，即.这样把全体有理数划分为两个不相交的集合与，使得的每一个元素都小于中的每一个元素的这种分割方法，即十九世纪的所谓“狄德金分割”。不过当时欧多克斯并未意识到这一点，但他却以此为基础，较严格地证明了希波克拉茨关于圆的面积的命题的结果。中西方的极限思想为了后来极限的发展奠定了一定的基础。2.1.1 最早的无限分割思想在我国古代, 战国时代的庄子.天下篇中, 有一尺之棰, 日取其半, 万世不竭的名言。意是所余部分总可一分为二,永远取不完。是公元前三世纪以前的事.还较早一点,古希腊的安提丰( Antiphon, 公元前五世纪) 提出了通过边数不断加倍的方法, 用圆的内接正多边形面积去接近圆的面积. 但当时仅仅是一种设想,并未付诸计算。然, 这归结于圆可以无限分割。当注意,无限分割是一种数学抽象, 是一个哲学概念,它被排斥于感觉经验王国之外,因为感官能力为感觉下限所限。表示: 远在两千多年以前, 人类智慧已意识到连续量无最小区间可言。2.1.2. 西方的穷竭法与中国的割圆术对安提丰的思想作出重大发展的是欧多克斯( Eudoxus, 公元前 408- 前 355) 。提出如下著名原理: 对于两个不等的量, 若从较大量减去大于其半的量, 再从所余量减去大于其半的量, 重复这一步骤, 则所余量必小于原来较小的量 ,这就是现代所谓阿基米德公设的前身。公设的现代表述是已知任二正数, 总存在自然数, 使得, 可证这两种表述是等价的.由欧多克斯提出, 欧几里德( Euclid, 约公元前330- 前275 ) 发扬光大并广为应用, 阿基米德( Archimedes, 公元前 287- 前 212) 继续作出重大贡献的这种方法( 17 世纪时被人称为穷竭法), 其理论基础就是阿基米德公设, 在论证过程中最后运用双重归谬法。下举一例以明之.为证两圆面积与它们直径的平方成正比(欧几里德, 卷 2) , 用穷竭法的证明如下: 设大小圆面积分别是和,其直径分别是和.若比例式不成立, 则存在, 使, 其中为另一个比小( 或大)的园的面积. 若,则可在面积为的圆内作一面积为的内接多边形, 使 ( 根据阿基米德公设, 可使) . 在面积为 A 的圆内作出与上述多边形相似的内接多边形, 设其面积为. 则有.因 , 故导出这不合理. 同理可证 会导致矛盾。难看出,在上面的证明过程中,除用到相似多边形的面积比等于对应线段之平方比这一性质外,就是用阿基米德公设与双重归谬法。在逻辑上是十分严密的。述问题的功绩在于证明了圆的面积,其中为常数。基米德本人运用穷竭法,从圆的内接和外切正 6 边形算起,直到内接与外切正96 边形,证明了已精确到小数点后两位。竭法的基本思路标志着极限概念的轮廓已在古希腊问世。如,设一园半径为,面积为. 当时, 其内接正 边形面积 ( 在实际计算时, 常取= 4 或= 6) . 在边数加倍的过程中,从到所增面积- ( A -) ,图1这由图 1即可看出: 阴影部分的面积大于弓形面积之半。基米德公设就是在这种启发下得到, 并成为穷竭法的理论基础。实上,在边数断加倍的过程中,会出现一个圆的内接正多边形面积序列:,.,按照阿基米德公设, 对任 0, 当 n 充分大时, 有看来,穷竭法与今天的极限法只相差那么一层障碍,一旦捅破这层障碍,就与今天的极限法一致了。古希腊数学家用穷竭法,并不象我们现在取极限那样,真正进行到无穷,得一无穷序列。们的心目中,总有一个剩余量,他们理解的无穷,是边数加倍的过程可以无休止地进行下去。们的实际工作只进行了有限步,他们并未掌握如何从有限过渡到无穷.正因为如此,为了逻辑的严谨,他们每次不得不使用繁冗的双重归谬法穷竭法的基本思路是无限接近。在公元三世纪,我国三国时期的数学家刘徽,基于庄子的无限分割思想,独立地采用了类似穷竭法的思维进行了伟大的实践( 当时欧几里德、阿基米德的思想并未传入我国)他在九章算术的注文中,提出了割圆术,其算法是:先在圆内作内接正6边形,再继续作出内接正12 边形,内接正 24 边形刘徽指出: “割之弥细,所失弥少。之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。谓“割之弥细, 所失弥少” ,这与阿基米德公设实质上是一回事。刘徽求出圆的内接正3072边形( 3072)的面积, 导出圆周率为, 化成小数是3.1416, 这比阿基米德的计算精确得多。后来, 南北朝的天文学家、数学家祖冲之( 429- 500) , 又用刘徽的割圆术把算到小数点后7位, 即3. 1415926 N时，区间长度为1.而无休止地反复取1，-1两个数，不可能同时位于长度为1的区间内.事实上，是有界的，但却发散。4.3 导数是特殊的极限物体运动的瞬时速度、曲线在某点处的切线斜率、非恒稳电流强度以及化学反应速度等等，都可以归结为是函数 的改变量与自变量的改变量的比值当时的极限，而导数就是在这个基础上下定义的。下面是刘玉琏编著的数学分析第四版上册所给的定义：设函数在有定义，在自变数的改变量是，相应函数的改变量是.若极限存在，称函数在处可导，此极限称为函数在的导数，若此极限不存在则称函数在不可导。从定义看出，有了极限才有导数，没有极限就没有导数。4.4 定积分是和的极限为了计算平面上任意形状封闭曲线围成区域的面积，我们可以将封闭区域分割成个相等的小矩形，用小矩形的面积之和近似代替封闭区域的面积。每个小矩形的面积是已知的，当不断增大时，小矩形就会不断变小，小矩形的面积之和就越来越接近封闭区域的面积，当时，每个小矩形的面积趋于零，所有小矩形的面积之和达到一个极限，这个极限就是封闭区域的面积。同样，要计算物体非等速直线运动从时刻到时刻所经过的路程时，可以将这段时间分割成个时间段，物体在各个时间段里的运动看成是匀速运动，那么物体在段时间里所走的路程之和就可以近似地代替物体从时刻到的路程。越大，这个路程之和就越精确。当时，路程之和也达到一个极限，这个极限就是物体从时刻到时刻所经过的路程。这两个例子虽然实际意义不同，但从抽象的数量关系来看，它们都是函数在区间上具有特定结构的和的极限。定积分的概念就是在“和的极限”这个基础上作出定义的。下面是刘玉琏编著的数学分析第四版上册所给的定积分定义：设函数在有定义。任给一个分法T和一组= ，有积分和. 若当时，积分和存在极限，设，且数与分法T无关，也与在的取法无关，即0，0，有，则称函数在可积，是的定积分。 这个积分可以表示为：.在这里，我们要特别注意的是只有当积分和存在极限时积分才存在，否则函数在是不可积的。 以上两例足以说明极限理论是微积分的基础，是数学分析的理论依据。5 极限的计算5.1 利用导数的定义例1 =5.2 利用初等函数的连续性设是初等函数。如果有意义，则在处连续，从而。于是，求函数在处的极限就归结为求函数值.例2 求 。解：因为与都在点连续，因此这两个函数的和也在连续。则有注意，如果是初等函数，并且，则幂指数也是初等函数。5.3 数列极限5.3.1 利用函数极限求数列极限例 3求数列极限。分析 此极限为 型, 直接利用数列的知识很难求出.可以考虑将 n 连续化,得函数极限， 再利用洛必达法则求出此函数极限值, 由极限定义可知该值即为所求数列极限值。解 先求函数极限设，取对数，得,得据函数的连续性, 有由极限定义，得.5.3.2 利用定积分求数列极限例4求数列极限.解 将数列通项变形，即，令由定积分定义知：，又故有=ln2.5.4 函数极限5.4.1 利用迫敛性求函数极限设，且在某邻域内有 则 .利用迫敛性求函数极限的关键在于构造或找出满足条件的函数和.例5求，其中为取整函数.解：由于，则当时， ；当时，由迫敛性可知以上两种情况下均有5.4.2利用罗比达法则求函数极限对于0 、和等不定式极限，需要先进行简单变化使其转化为熟知的0 /0型或 / 型不定式，再利用罗比达法则进行计算。例6求解：这是型不定式极限问题原式取对数可得=所以 =e.5.4.3 利用泰勒级数展开式求函数极限当比式的分子、分母多次求导很繁琐时，可以考虑利用泰勒公式求函数极限，具体步骤是：先求出不定式分子、分母的各部分在 x 点的泰勒展开式，然后根据需要取适当的值，整理后求出不定式的极限。例7 解：分母为，故分子的泰勒展开式中取 n = 3，即 ， 因此此例若用罗比达法则求解，则分子的导数较繁。5.4.4 利用中值定理求函数极限对于一些含有积分式子或分式的极限，可考虑利用积分中值定理或微分中值定理进行求解。例8求解：因为在上连续可积，故由积分中值定理得由于，所以5.4.5 利用定积分的定义求函数极限若函数在上可积，则对的任一分割及介点都有，其中.5.4.6 利用等价无穷小替换求函数极限在很多情况下，我们可以把题目中的无穷小量用恰当的等价无穷小来替换，从而化繁为简，化难为易。在进行等价无穷小替换时应注意，可以