高二水平考试讲座：利用递推关系求数列通项公式的五种重要类型和方法.docx

课题利用递推关系求数列通项公式的方法教学目标1.掌握等差数列、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式；2.掌握数列通项公式的求法重点难点利用递推关系求数列通项公式的方法授课内容：一、课前检测1.在数列an中,已知前n项的和Sn = 4n2-n,那么a100等于( ).A.810 B.805 C.800 D.795 解D2等差数列中,则的值为( )A130 B260 C156D168 解 A3.已知等差数列中,则的值为( ) A. 15 B.33 C.55 D. 99 解 C 4.若等比数列满足,则公比为( )A.2 B.4 C.8 D.16 解 B 5.已知各项不为0的等差数列满足,数列是等比数列,且,则等于 ( )(A)16 (B)8 (C)4 (D)2 解 A 6.已知等差数列,等比数列,则该等差数列的公差为( )A.3或 B.3或 C.3 D. 解 C 二、考点知识等差数列与等比数列的有关知识比较一览表等 差 数 列等 比 数 列定 义 一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比 递推关系 （） （） （） （） （） （）通项公式 （） （） （）（）求和公式 （） ()() () (，)主要性质若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.若、分别为两等差数列，则为等差数列.若p+q=s+r, p、q、s、rN*,则.若、为两等比数列，则为等比数列.三、精讲巧练利用递推关系求数列通项的几种常见类型及解法1.形如型（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.（2）若f(n)为n的函数时，用累加法. （.重点掌握）方法如下： 由 得： 时，=即：.例 1. 已知数列an满足,证明证明：由已知得： = .变式练习.1.已知数列的首项为1，且写出数列的通项公式. 答案：2.已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案： 小结：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。2.形如型（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 由得 时，=f(n)f(n-1). 例2数列中, 求此数列的通项公式.解: 把这n-1个式子两边分别相乘可得即故的通项公式为.令n=1,2,3,4,5得a1=1,变式练习练习1.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，），则它的通项公式是=_.解：已知等式可化为：()(n+1), 即时，=.练习2.已知,求数列an的通项公式.解：因为所以故又因为,即，所以由上式可知,所以,故由累乘法得 =所以-1.评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.3形如,其中)型（1）若A=1时，数列为等差数列;（2）若B=0时，数列为等比数列;（3）若时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.方法如下：设,（.重点掌握）得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以A为公比的等比数列，所以 即：.规律：将递推关系化为,构造成公比为A的等比数列从而求得通项公式例3已知数列中，求通项.分析：两边直接加上,构造新的等比数列。解：由得,所以数列构成以为首项，以为公比的等比数列所以,即 . 4.形如型 .(1)若(其中k,b是常数，且)方法指导：相减法,通过构造数列转化为类型3与1 (2)若(其中q是常数，且n0,1) （.重点掌握）若p=1时，即：，利用累加法若时，即：，方法指导：有三种思路：i. 两边同除以.即： ,令，则,然后如类型，累加求通项.ii.两边同除以 . 即： ,令,则可化为.然后转化为类型3来解，iii.待定系数法：设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.例4.在数列中，求通项.解：， 时，两式相减得 .令,则利用类型3的方法知 即 再由累加法可得. 亦可联立 解出.变式练习1. 在数列中，,求通项.解：原递推式可化为比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为所以是一个等比数列，首项,公比为. 即：故.例5.设为常数，且证明对任意1，；证法1：两边同除以（-2）,得令,则=.证法2：由得 .设，则b. 即：,所以是以为首项，为公比的等比数列.则=,即：,故 .评注：本题的关键是两边同除以3，进而转化为类型3，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.证法3：用待定系数法设, 即:,比较系数得：,所以 所以,所以数列是公比为2，首项为的等比数列. 即 .5.形如（ ） 型方法： 取倒数法.例6. 已知数列中，求通项公式。 解：取倒数： 变式练习1已知数列an满足条件a1=1,an+1=，求数列的通项公式.四、小结类型1与3是最基本类型，要认真理解与掌握，类型4与5一般都是转化为类型1或3五、课外练习1.数列的前项和,则 A. 11 B. 15 C. 17 D.20 解A 2.数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，的一个通项公式是 ( )(A) (B) (C) (D) 解D3.在数列中， 证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.【证明】.化简，得 Sn-1Sn= 2 Sn Sn-1两边同除以. Sn Sn-1，得 数列是以为首项，2为公差的等差数列. 4.数列的前n项和为，且满足（I）求与的关系式，并求的通项公式；（II）求和（I）（II）5. 已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证（I），而，得的等差数列，（