2018版高三数学第6章数列试题文.docx

第六章 数 列考点1 数列的概念及简单表示法1. (2014新课标全国，16)数列an满足an1，a82，则a1_.1.解析 将a82代入an1，可求得a7；再将a7代入an1，可求得a61；再将a61代入an1，可求得a52.由此可以推出数列an是一个周期数列，且周期为3，所以a1a7.答案 2.(2014江西，17)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)证明：对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列2. (1)解 由Sn，得a1S11，当n2时，anSnSn13n2，所以数列an的通项公式为：an3n2.(2)证明 要使得a1，an，am成等比数列，只需要aa1am，即(3n2)21(3m2)，即m3n24n2，而此时mN*，且mn.所以对任意的n1，都存在mN*，使得a1，an，am成等比数列3.(2014湖南，16)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和3.解 (1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn，记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n+12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n+1n2.考点2 等差数列及其前n项和1.(2015新课标全国，7)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和若S84S4，则a10()A. B. C.10 D.121.解析 由S84S4知，a5a6a7a83(a1a2a3a4)，又d1，a1，a1091.答案 B2.(2015新课标全国，5)设Sn是等差数列an的前n项和，若a1a3a53，则S5()A.5 B.7 C.9 D.112.解析 an为等差数列，a1a52a3，a1a3a53a33，得a31，S55a35.故选A.答案 A3.(2014天津，5)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A.2 B.2 C. D.3.解析 由S1a1，S22a11，S44a16成等比数列可得(2a11)2a1(4a16)，解得a1.答案 D4.(2014新课标全国，5)等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()A.n(n1) B.n(n1) C D4.解析 因为a2，a4，a8成等比数列，所以aa2a8，所以(a16)2(a12)(a114)，解得a12.所以Snna1dn(n1)故选A.答案 A5.(2014重庆，2)在等差数列an中，a12，a3a510，则a7()A.5 B.8 C.10 D.145.解析 由等差数列的性质得a1a7a3a5，因为a12，a3a510，所以a78，选B.答案 B6. (2015安徽，13)已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于_6.解析 由已知数列an是以1为首项，以为公差的等差数列S99191827.答案 277. (2015陕西，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_7.解析 由题意设首项为a1，则a12 01521 0102 020，a15.答案 58. (2014江西，13)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_8.解析 由题意，当且仅当n8时Sn有最大值，可得即解得1d.答案 9.(2016新课标全国，17)等差数列an中，a3a44，a5a76.(1)求an的通项公式；(2)设bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62.9.解 (1)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4，a15d3，解得a11，d.所以an的通项公式为an.(2)由(1)知，bn.当n1，2，3时，12，bn1；当n4，5时，23，bn2；当n6，7，8时，34，bn3；当n9，10时，40，nN*.(1)若a2，a3，a2a3成等差数列，求数列an的通项公式；(2)设双曲线x21的离心率为en，且e22，求eee.6.解(1)由已知，Sn1qSn1，Sn2qSn11，两式相减得到an2qan1，n1.又由S2qS11得到a2qa1，故an1qan对所有n1都成立.所以数列an是首项为1，公比为q的等比数列，anqn-1.由a2，a3，a2a3成等差数列，可得2a3a2a2a3，所以a32a2，q2，所以an2n-1(nN*).(2)由(1)可知，anqn-1，所以双曲线x21的离心率en.由e22解得q，所以eee(11)(1q2)1q2(n1)n1q2q2(n1)nn(3n1).7.(2015北京，16)已知等差数列an满足a1a210，a4a32.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b2a3，b3a7，问：b6与数列an的第几项相等？7.解 (1)设等差数列an的公差为d，因为a4a32，所以d2.又因为a1a210，所以2a1d10，故a14.所以an42(n1)2n2(n1，2，)(2)设等比数列bn的公比为q，因为b2a38，b3a716，所以q2，b14.所以b6426-1128.由1282n2，得n63，所以bn与数列an的第63项相等8.(2015重庆，18)已知等差数列an满足a32，前3项和S3.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn.8.解 (1)设an的公差为d，则由已知条件得a12d2，3a1d，化简得a12d2，a1d，解得a11，d，故通项公式an1，即an.(2)由(1)得b11，b4a158.设bn的公比为q，则q38，从而q2，故bn的前n项和Tn2n1.9.(2015广东，19)设数列an的前n项和为Sn，nN*.已知a11，a2，a3，且当n2时，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列an的通项公式9.(1)解 当n2时，4S45S28S3S1，即4581，解得：a4.(2)证明 因为4Sn25Sn8Sn1Sn1(n2)，所以4Sn24Sn1SnSn14Sn14Sn(n2)，即4an2an4an1(n2)，因为4a3a14164a2，所以4an2an4an1，因为，所以数列是以a2a11为首项，为公比的等比数列(3)解 由(2)知；数列是以a2a11为首项，公比为的等比数列，所以an1an，即4，所以数列是以2为首项，4为公差的等差数列，所以2(n1)44n2，即an(4n2)(2n1)，所以数列an的通项公式是an(2n1).10.(2015湖北，19)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q，已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.10.解 (1)由题意有即解得或故或(2)由d1，知an2n1，bn2n-1，故cn，于是Tn1，Tn. 得Tn23，故Tn6.11.(2015安徽，18)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数列bn的前n项和Tn.11.解 (1)由题设知a1a4a2a38，又a1a49，可解得或(舍去)由a4a1q3得公比q2，故ana1qn-12n-1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.12.(2015福建，17)在等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值12.解 (1)设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)(2112)55211532 101.13.(2015天津，18)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和13.解 (1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意q0.由已知，有消去d，整理得q42q280，又因为q0，解得q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n-1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n-1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n-2(2n1)2n-1，2Sn121322523(2n3)2n-1(2n1)2n，两式相减得Sn122232n(2n1)2n2n+13(2n1)2n(2n3)2n3，所以Sn(2n3)2n3，nN*.14.(2015山东，19)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.14.解 (1)设数列an的公差为d，令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.解得a11，d2，所以an2n1.(2)由(1)知bn2n22n-1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n+1，两式相减得，3Tn41424nn4n+1n4n+14n+1.所以Tn4n+1.15.(2015浙江，17)已知数列an和bn满足a12，b11，an12an(nN*)，b1b2b3bnbn11(nN*)(1)求an与bn；(2)记数列anbn的前n项和为Tn，求Tn.15.解 (1)由a12，an12an，得an2n(nN*)由题意知：当n1时，b1b21，故b22.当n2时，bnbn1bn，整理得，所以bnn(nN*)(2)由(1)知anbnn2n.因此Tn2222323n2n，2Tn22223324n2n+1，所以Tn2Tn222232nn2n+1.故Tn(n1)2n+12(nN*)16.(2015湖南，19)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，a22，且an23SnSn13，nN*.(1)证明：an23an；(2)求Sn.16.(1)证明 由条件，对任意nN*，有an23SnSn13，因而对任意n2，nN*，有an13Sn1Sn3.两式相减得，an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33S1S233a1(a1a2)33a1，故对一切nN*，an23an.(2)解 由(1)知，an0，所以3，所以数列a2n1是首项a11，公比为3等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列，所以a2n13n-1，a2n23n-1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n-1)2(133n-1)3(133n-1).所以S2n1S2na2n23n-1(53n-21)综上所述，Sn17.(2014安徽，18)数列an满足a11，nan1(n1)ann(n1)，nN*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn3n，求数列bn的前n项和Sn.17.(1)证明 由已知可得1，即1.所以是以1为首项，1为公差的等差数列(2)解 由(1)得1(n1)1n，所以ann2，bnn3n.Sn131232333n3n， 3Sn132233(n1)3nn3n1. 得，2Sn31323nn3n+1n3n+1.所以Sn.18.(2014新课标全国，17)已知an是递增的等差数列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和18.解 (1)方程x25x60的两根为2，3，由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d， a1.所以an的通项公式为ann1.(2)设数列的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn.两式相减得Sn.所以Sn2.19.(2014山东，19)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，记Tnb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.19.解 (1)由题意知(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.所以数列an的通项公式为an2n.(2)由题意知bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，所以可得当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n；当n为奇数时，TnTn1(bn)n(n1).所以Tn20.(2014广东，19)设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0,nN*.(1)求a1的值；(2)求数列