2018版高三数学第8章立体几何试题文.docx

第八章 立体几何考点1 空间几何体的结构及其三视图与直观图1.(2015北京，7)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A.1 B. C. D.2第1题图第2题图1.解析 四棱锥的直观图如图所示，PC平面ABCD，PC1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA.答案 C2.(2015重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2 B. C. D.2.解析 该几何体由一个圆柱和一个从轴截面截开的“半圆锥”组成，其体积为V1221212 .答案 B3.(2015陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A.3 B.4C.24 D.34第3题图第4题图3.解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：S212212222443.答案 D4.(2015浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A8 cm3 B12 cm3 C. cm3 D. cm34.解析 由三视图可知该几何体是由棱长为2 cm的正方体与底面为边长为2 cm正方形、高为2 cm的四棱锥组成，VV正方体V四棱锥8 cm3 cm3 cm3.故选C.答案 C5.(2015福建，9)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A.82 B.112C.142 D.155.解析 该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱S表2(12)12121222112，故选B.答案 B6.(2014辽宁，7)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.8 B.8 C.8 D.826.解析 该几何体是一个正方体截去两个四分之一圆柱形成的组合体，其体积V2312228，故选C.答案 C7.(2014浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A.72 cm3 B.90 cm3 C.108 cm3D.138 cm37.解析 由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积VV四棱柱V三棱柱46343390(cm3) 答案 B8.(2014新课标全国，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱8.解析 由题知，该几何体的三视图为一个三角形，两个四边形，分析可知该几何体为三棱柱.答案 B9.(2014新课标全国，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A. B. C. D.9.解析 由三视图可知该零件是一个底面半径为2、高为4的圆柱和一个底面半径为3、高为2的圆柱的组合体，所以该组合体的体积V122432234，原来的圆柱体毛坯的体积为V32654，则切削掉部分的体积为V2543420，所以切削掉部分的体积与原来的圆柱体毛坯体积的比值为.故选C.答案 C10(2015天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.10.解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两圆锥和一圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以其体积V2121122.答案 11.(2014北京，11)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_11.解析 三视图所表示的几何体的直观图如图所示结合三视图知，PA平面ABC，PA2，ABBC，AC2，所以PB，PC2，所以该三棱锥最长棱的棱长为2.答案 2考点2 空间几何体的表面积和体积1.(2016新课标全国，4)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A.12 B.C.8 D.41.解析 由题可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4R2(2R)212，故选A.答案 A2.(2016新课标全国，7)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A.20 B.24C.28 D.322.解析 由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4，圆锥的母线长l4，所以圆锥的侧面积为S锥侧448，圆柱的侧面积S柱侧4416，所以组合体的表面积S816428，故选C.答案 C3.(2016新课标全国，10)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.1836 B.5418C.90 D.813.解析 由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，几何体的表面积S362332325418.答案 B4.(2016新课标全国，11)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB6，BC8，AA13，则V的最大值是()A.4 B.C.6 D.4.解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4，三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.答案 B5.(2016新课标全国，7)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是()A.17B.18C.20 D.285.解析 由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的后得到的组合体，其表面积是球面面积的和三个圆面积之和.易得球的半径为2，则得S42232217，故选A.答案 A6.(2016山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为()A. B.C. D.16.解析由三视图知，半球的半径R，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，V111，故选C.答案C7.(2015新课标全国，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r()A.1 B.2C.4 D.87.解析 由题意知，2r2r2r2rr2r24r24r25r21620，r2.答案 B 8.(2015新课标全国，10)已知A，B是球O的球面上两点，AOB90，C为该球面上的动点若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为()A.36 B.64 C.144 D.2568.解析 如图，要使三棱锥OABC即COAB的体积最大，当且仅当点C到平面OAB的距离，即三棱锥COAB底面OAB上的高最大，其最大值为球O的半径R，则VOABC最大VCOAB最大SOABRR2RR336，所以R6，得S球O4R2462144.选C.答案 C9.(2015安徽，9)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A.1 B.12 C.2 D.29.解析 由几何体的三视图可知空间几何体的直观图如图所示其表面积S表2212()22，故选C.答案C10.(2015新课标全国，6)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有()A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛10.解析 由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积VR2h(立方尺)所以堆放的米大约为22(斛)答案 B 11.(2015新课标全国，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B.C. D.11.解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCDA1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1.设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为.选D.答案 D12.(2015山东，9)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C.2 D.412.解析 如图，设等腰直角三角形为ABC，C90，ACCB2，则AB2.设D为AB中点，则BDADCD.所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V2()2.答案 B13.(2015湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为(材料利用率新工件的体积/原工件的体积)()A. B.C. D.13.解析 欲使正方体最大，则其上底面四个顶点需在圆锥上圆锥体积V1122.作几何体截面图，则内接正方体棱长a，正方体体积V2a3，.故选A.答案 A14.(2014新课标全国，7)正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC中点,则三棱锥AB1DC1的体积为()A.3 B. C.1 D.14.解析 由题意可知ADBC，由面面垂直的性质定理可得AD平面DB1C1，又AD2sin 60，所以ADS21，故选C.答案 C15.(2014重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.12 B.18 C.24 D.3015.解析 此几何体是由一个三棱柱截去一个三棱锥得到的，三棱柱和三棱锥的底面都是直角三角形，两直角边长分别为3和4，其面积为6，三棱柱的高为5，三棱锥的高为3，所以该几何体的体积为656324，选择C.答案 C16.(2014陕西，5)将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4 B.3 C.2 D.16.解析 由几何体的形成过程知所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S2rh2112.答案 C17.(2016浙江，9)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是_cm2，体积是_cm3.17.解析 由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体的底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如右图，其表面积S62224242422280(cm2)，体积V22244240(cm3).答案804018.(2016四川，12)已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_.18.解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知，ABC为等腰三角形，且AC2，AC边上的高为1，SABC21.由侧视图可知：三棱锥的高h1，VSABC.答案19.(2016北京，11)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_.19.解析由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S，高h1，所以四棱柱体积VSh1.答案20. (2015四川，14)在三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_20.解析 由题意知还原后的几何体是一个直放的三棱柱，三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱.，又AA1平面PMN，VAPMN1，故.答案 21(2014天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.21.解析 由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m、高为2 m的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m、高为4 m的圆柱，所以该几何体的体积是424(m3)答案 22. (2014山东，13)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为_22.解析 由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h，则622h2，解得h1，底面正六边形的中心到其边的距离为，故侧面等腰三角形底边上的高为2，故该六棱锥的侧面积为12212.答案 1223.(2015新课标全国，19)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中AB16，BC10，AA18，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1ED1F4.过点E，F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值23.解(1)交线围成的正方形EHGF如图：(2)作EMAB，垂足为M，则AMA1E4，EB112，EMAA18.因为EHGF为正方形，所以EHEFBC10.于是MH6，AH10，HB6.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为(也正确)24.(2015湖南，18)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点(1)证明：平面AEF平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45，求三棱锥FAEC的体积24.(1)证明ABC为正三角形，E为BC中点，AEBC，又B1B平面ABC，AE平面ABC，B1BAE，由B1BBCB知，AE平面B1BCC1，又由AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1.(2)解设AB中点为M，连接CM，则CMAB，由平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB知，CM面A1ABB1，CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角，CA1M45.易知CM2，在等腰RtCMA中，AMCM，在RtA1AM中，A1A.FCA1A，又SAEC4，V三棱锥FAEC.25.(2014广东，18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2.作如图2折叠：折痕EFDC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MFCF.(1)证明：CF平面MDF；(2)求三棱锥MCDE的体积25.(1)证明PD平面ABCD，AD平面ABCD，PDAD，又四边形ABCD是矩形，CDAD.PD平面PCD，CD平面PCD，且PDCDD，AD平面PCD，CF平面PCD，ADCF，又MFCF，MFADM，CF平面MDF.(2)解PD平面ABCD，PDCD，又CDAB1，PC2，PD.由(1)知CF平面MDF，CFDF.由SPCDPDCDPCDF得DF，CF.EFCD，DEDP.SCDECDDE1.AD平面PCD，即MD平面CDE，且MEPEPDED，MD，三棱锥MCDE的体积为VMCDESCDEMD.考点3 点、线、面的位置关系1.(2016新课标全国，11)平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为() A. B.C. D.1.解析如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，平面CB1D1，m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1，B1D1m，同理可得CD1n.故m、n的所成角的大小与B1D1、CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小.而B1CB1D1CD1(均为面对角线)，CD1B1，sinCD1B1，故选A.答案A2.(2016浙江，2)已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()A.ml B.mn C.nl D.mn2.解析由已知，l，l，又n，nl，C正确.故选C.答案C3.(2015广东，6)若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()Al与l1,l2都不相交Bl与l1,l2都相交Cl至多与l1,l2中的一条相交Dl至少与l1,l2中的一条相交3.解析 若l与l1，l2都不相交则ll1，ll2，l1l2，这与l1和l2异面矛盾，l至少与l1，l2中的一条相交答案 D 4.(2015湖北，5)l1,l2表示空间中的两条直线,若p：l1,l2是异面直线,q：l1,l2不相交,则()Ap是q的充分条件,但不是q的必要条件Bp是q的必要条件,但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4.解析 由l1，l2是异面直线，可得l1，l2不相交，所以pq；由l1，l2不相交，可得l1，l2是异面直线或l1l2，所以q/p.所以p是q的充分条件，但不是q的必要条件故选A.答案 A5.(2015浙江，4)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m()A.若l，则 B.若，则lmC.若l，则 D.若，则lm5.解析 选项A：l，l，A正确；选项B：，l，m，l与m位置关系不固定；选项C，l，l，或与相交；选项D：，l，m. 此时l与m位置关系不固定，故选A.答案 A6.(2015四川，18) 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示(1)请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；(2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系并证明你的结论(3)证明：直线DF平面BEG.6.(1) 解点F，G，H的位置如图所示(2)证明平面BEG平面ACH，证明如下：因为ABCDEFGH为正方体，所以BCFG，BCFG，又FGEH，FGEH，所以BCEH，BCEH，于是BCHE为平行四边形，所以BECH，又CH平面ACH，BE平面ACH，所以BE平面ACH，同理BG平面ACH，又BEBGB，所以平面BEG平面ACH.(3)证明连接FH，因为ABCDEFGH为正方体，所以DH平面EFGH，因为EG平面EFGH，所以DHEG，又EGFH，EGFHO，所以EG平面BFHD，又DF平面BFHD，所以DFEG，同理DFBG，又EGBGG，所以DF平面BEG.7.(2014陕西，17)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形7.(1)解由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDCD2，AD1，AD平面BDC，四面体体积V221.(2)证明BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形又AD平面BDC，ADBC，EFFG，四边形EFGH是矩形8.(2014新课标全国，18)如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面AEC；(2)设AP1，AD，三棱锥PABD的体积V，求A到平面PBC的距离8.(1)证明设BD与AC的交点为O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点又E为PD的中点，所以EOPB.又因为EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)解VPAABADAB，由V，可得AB.作AHPB交PB于H，由题设知BC平面PAB，所以BCAH，所以AH平面PBC.在RtPAB中， PB，所以AH，即A到平面PBC的距离为.考点4 线面平行的判定与性质1.(2014辽宁，4)已知m，n表示两条不同直线，表示平面下列说法正确的是()A.若m，n，则mn B.若m，n，则mnC.若m，mn，则n D.若m，mn，则n1.解析 若m，n，则m与n可能平行、相交或异面，故A错；B正确；若m，mn，则n或n，故C错误；若m，mn，则n与可能平行、相交或n，故D错误因此选B.答案 B2.(2016新课标全国，19)如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点.(1)证明：MN平面PAB；(2)求四面体NBCM的体积.2.(1)证明由已知得AMAD2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TNBC，TNBC2.又ADBC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MNAT.因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以MN平面PAB.(2)解因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.取BC的中点E，连接AE.由ABAC3得AEBC，AE.由AMBC得M到BC的距离为，故SBCM42.所以四面体NBCM的体积VNBCMSBCM.3.(2015北京，18)如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC，且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积3.解(1)因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB，又因为VB平面MOC，所以VB平面MOC.(2)因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB.又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB.所以平面MOC平面VAB.(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，所以AB2，OC1，所以等边三角形VAB的面积SVAB.又因为OC平面VAB.所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB，又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为.4.(2015广东，18)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PDPC4，AB6，BC3.(1)证明：BC平面PDA；(2)证明：BCPD；(3)求点C到平面PDA的距离4.解(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BCAD，因为BC平面PDA，AD平面PDA，所以BC平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BCCD，因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，BC平面ABCD，所以BC平面PDC，因为PD平面PDC，所以BCPD.(3)取CD的中点E，连接AE和PE.因为PDPC，所以PECD，在RtPED中，PE.因为平面PDC平面ABCD，平面PDC平面ABCDCD，PE平面PDC，所以PE平面ABCD，由(2)知：BC平面PDC，由(1)知：BCAD，所以AD平面PDC，因为PD平面PDC，所以ADPD.设点C到平面PDA的距离为h，因为V三棱锥CPDAV三棱锥PACD，所以SPDAhSACDPE，即h，所以点C到平面PDA的距离是.5.(2015江苏，16)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知ACBC，BCCC1.设AB1的中点为D，B1CBC1E.求证：(1)DE平面AA1C1C；(2) BC1AB1.5.证明(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，所以DEAC.又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C.(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，所以CC1平面ABC.因为AC平面ABC，所以ACCC1.又因为ACBC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BCCC1C，所以AC平面BCC1B1.又因为BC1平面BCC1B1，所以BC1AC.因为BCCC1，所以矩形BCC1B1是正方形，所以BC1B1C.因为AC，B1C平面B1AC，ACB1CC，所以BC1平面B1AC.又因为AB1平面B1AC，所以BC1AB1.6.(2015山东，18)如图，三棱台DEF-ABC中，AB2DE，G，H分别为AC，BC的中点(1)求证：BD平面FGH；(2)若CFBC，ABBC，求证：平面BCD平面EGH.6.证明(1)方法一连接DG，CD，设CDGFM，连接MH.在三棱台DEFABC中，AB2DE，G为AC的中点，可得DFGC，DFGC，所以四边形DFCG为平行四边形则M为CD的中点，又H为BC的中点，所以HMBD，又HM平面FGH，BD平面FGH，所以BD平面FGH.方法二在三棱台DEFABC中，由BC2EF，H为BC的中点，可得BHEF，BHEF，所以四边形HBEF为平行四边形，可得BEHF.在ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，所以GHAB.又GHHFH，所以平面FGH平面ABED.又因为BD平面ABED，所以BD平面FGH.(2)连接HE，因为G，H分别为AC，BC的中点，所以GHAB.由ABBC，得GHBC.又H为BC的中点，所以EFHC，EFHC，因此四边形EFCH是平行四边形，所以CFHE.又CFBC，所以HEBC.又HE，GH平面EGH，HEGHH，所以BC平面EGH.又BC平面BCD，所以平面BCD平面EGH.7.(2014四川，18)在如图所示的多面体中,四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形(1)若ACBC,证明：直线BC平面ACC1A1；(2)设D,E分别是线段BC,CC1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使直线DE平面A1MC？请证明你的结论7.(1)证明因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，所以AA1AB，AA1AC.因为AB，AC为平面ABC内两条相交直线，所以AA1平面ABC.因为直线BC平面ABC，所以AA1BC.又由已知，ACBC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条相交直线，所以BC平面ACC1A1.(2)解取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点由已知可知，O为AC1的中点连接MD，OE，则MD，OE分别为ABC，ACC1的中位线，所以，MD平行且等于AC，OE平行且等于AC，所以MD平行且等于OE.连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，则DEMO.因为直线DE平面A1MC，MO平面A1MC，所以直线DE平面A1MC.即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，使直线DE平面A1MC.8.(2014山东，18)如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，ADBC，ABBCAD，E，F分别为线段AD，PC的中点(1)求证：AP平面BEF；(2)求证：BE平面PAC.8.证明(1)设ACBEO，连接OF，EC.由于E为AD的中点，ABBCAD，ADBC，所以AEBC，AEABBC，所以四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点又F为PC的中点，所以在PAC中，可得APOF.又OF平面BEF，AP平面BEF，所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC，EDBC.所以四边形BCDE为平行四边形，所以BECD.又AP平面PCD，所以APCD，所以APBE.因为四边形ABCE为菱形，所以BEAC.又APACA，AP、AC平面PAC，所以BE平面PAC.9.(2014安徽，19)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积9.(1)证明因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，所以GHEF.(2)解连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD都在底面内，所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFHGK，所以POGK，且GK底面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2得EBABKBDB14，所以KBDBOB，即K为OB的中点再由POGK得GKPO，即G是PB的中点，且GHBC4.由已知可得OB4，PO6，所以GK3.故四边形GEFH的面积SGK318.考点5 线面垂直的判定与性质1.(2014浙江，6)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面()A.若mn，n，则m B.若m，则mC.若m，n，n，则m D.若mn，n，则m1.解析 选项A、B、D中m均可能与平面平行、垂直、斜交或在平面内，故选C.答案C2.(2016新课标全国，18)如图，已知正三棱锥PABC的侧面是直角三角形，PA6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.(1)证明：G是AB的中点；(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积.2.(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D，所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E，所以ABDE.所以AB平面PED，所以ABPG.又由已知可得PAPB，从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PBPA，PBPC，又EFPB，所以EFPA，EFPC，所以EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心.由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，所以CDCG.由题设可得PC平面PAB，DE平面PAB，所以DEPC，所以PEPG，DEPC.由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA6，可得DE2，PE2.在等腰直角三角形EFP中，可得EFPF2.所以四面体PDEF的体积V222.3.(2016新课标全国，19)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AECF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明：ACHD；(2)若AB5，AC6，AE，OD2，求五棱锥DABCFE的体积.3.(1)证明由已知得ACBD，ADCD，又由AECF得，故ACEF，由此得EFHD，折后EF与HD保持垂直关系，即EFHD，所以ACHD.(2)解由EFAC得.由AB5，AC6得DOBO4，所以OH1，DHDH3，于是OD2OH2(2)2129DH2，所以ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以OD平面ABC.又由得EF，五边形ABCFE的面积S683，所以五棱锥DABCFE的体积V2.4.(2016北京，18)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.(1)求证：DC平面PAC；(2)求证：平面PAB平面PAC；(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由.4.(1)证明PC平面ABCD，DC平面ABCD，PCDC.又ACDC，PCACC，PC平面PAC，AC平面PAC，CD平面PAC.(2)证明ABCD，CD平面PAC，AB平面PAC，又AB平面PAB，平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，EF为PAB的中位线，EFPA.又PA平面CEF，EF平面CEF，PA平面CEF.5.(2016浙江，18)如图，在三棱台ABCDEF中，平面BCFE平面ABC，ACB90，BEEFFC1，BC2，AC3.(1)求证：BF平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.5.(1)证明延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示，因为平面BCFE平面ABC，且ACBC，所以AC平面BCK，所以BFAC.又因为EFBC，BEEFFC1，BC2，所以BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BFCK.所以BF平面ACFD.(2)解因为BF平面ACK，所以BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在RtBFD中，BF，DF，得cos BDF.所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.6.(2016四川，17)如图，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由.(2)证明：平面PAB平面PBD.6.(1)解取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点，理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明由已知，PAAB，PACD.因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因为ADBC，BCAD，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.7.(2015新课标全国，18)如图，四边形ABCD为菱形，G是AC与BD的交点，BE平面ABCD.(1)证明：平面AEC平面BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥EACD的体积为，求该三棱锥的侧面积7.解(1)因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.因为BE平面ABCD，所以ACBE.所以AC平面BED，又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED.(2)设ABx，在菱形ABCD中，由ABC120，可得AGGCx，GBGD.因为AEEC，所以在Rt AEC中，可得EGx.由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BEx.由已知得，三棱锥EACD的体