高中数学第1章推理与证明1.1.1归纳推理学案北师大版.docx

1归纳与类比1.1归纳推理1.了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理.(重点)2.了解归纳推理在数学发展中的作用.(难点)基础初探教材整理归纳推理阅读教材P3P5，完成下列问题.1.归纳推理的定义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性，这种推理方式称为归纳推理.2.归纳推理的特征归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理.()(2)由个别到一般的推理称为归纳推理.()(3)由归纳推理所得到的结论一定是正确的.()【答案】(1)(2)(3)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型数式中的归纳推理(1)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10() 【导学号：94210000】A.28B.76C.123D.199(2)已知f(x)，设f1(x)f(x)，fn(x)fn1(fn1(x)(n1，且nN)，则f3(x)的表达式为_，猜想fn(x)(nN)的表达式为_.【精彩点拨】(1)记anbnf(n)，观察f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)之间的关系，再归纳得出结论.(2)写出前n项发现规律，归纳猜想结果.【自主解答】(1)记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.(2)f1(x)f(x)，f2(x)f1(f1(x)，f3(x)f2(f2(x)，由f1(x)，f2(x)，f3(x)的表达式，归纳fn(x).【答案】(1)C(2)f3(x)fn(x)已知等式或不等式进行归纳推理的方法：(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律；(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征；(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点；(4)运用归纳推理得出一般结论.再练一题1.经计算发现下列不等式：2，2，2，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：_.【答案】当ab20时，有1，nN)个点，每个图形总的点数记为an，则a6_，an_.图118【解析】依据图形特点可知当n6时，三角形各边上各有6个点，因此a636315.由n2，3，4，5，6时各图形的特点归纳得an3n3(n2，nN).【答案】153n3(n2，nN)三、解答题9.已知数列an的前n项和为Sn，a11，且Sn120(n2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式.【解】当n1时，S1a11；当n2时，2S13，S2；当n3时，2S2，S3；当n4时，2S3，S4.猜想：Sn(nN).10.已知f(x)，分别求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)的值，然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【解】由f(x)，得f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3).归纳猜想一般性结论为f(x)f(x1).证明如下：f(x)f(x1).能力提升1.(2016西安期末检测)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A.n1B.2nC.D.n2n1【解析】1条直线将平面分成11个区域；2条直线最多可将平面分成1(12)4个区域；3条直线最多可将平面分成1(123)7个区域；，n条直线最多可将平面分成1(123n)1个区域，选C.【答案】C2.(2016南昌调研)已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，则第57个数对是() 【导学号：94210004】A.(2，10)B.(10，2)C.(3，5)D.(5，3)【解析】由题意，发现所给数对有如下规律：(1，1)的和为2，共1个；(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个.由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n1个数对.易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10).【答案】A3.如图119，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向三角形外作正三角形，并擦去中间一段，得图119，如此继续下去，得图119，试用n表示出第n个图形的边数an_.图119【解析】观察图形可知，a13，a212，a348，故an是首项为3，公比为4的等比数列，故an34n1.【答案】34n14.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【解】(1)选择式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin c