浅谈数学教学中衔接性语言的设计.doc

浅谈数学教学中衔接性语言的设计210008 南京外国语学校 李 平 龙近来笔者有幸欣赏了诸多青年教师的公开课、示范课、观摩课、评优课，有的是章节起始课，有的是中途新授课、习题课，有的是章节复习课，甚至是试卷讲评课。其中使人受益匪浅、乃至回味无穷的优质课，都很重视课堂结构的整体性，从而“绞尽脑汁”地为课堂教学各环节间的有机衔接设计了精彩的启发性语言；而那些枯燥乏味、令人生厌的数学课堂，多体现为课堂教学各环节间缺乏必要的连接，或者衔接性的语言机械生硬，导致数学课堂失去应有的生机。因此，研究和探索课堂教学中各环节间衔接性语言的设计，理应成为课堂教学结构改革的课题之一。它对“研究性学习”的开展、教师角色的转变具有划时代的意义。本文将以等差数列的教学为例，阐述课堂教学中哪些环节间需要合理地衔接，并结合实例进行衔接性语言的设计。1 新知与旧知间衔接性语言的设计在新知与旧知间设计必要的衔接，不仅使新知成为有源之水、有本之本，为新知找到发源地（生长点），而且有利于学生形成良好的认知结构。等差数列的起始课是继数列的基本概念之后的一节新授课，为检查前课教学难点“递推数列”的突破情况并继续发展学生的观察与猜想能力，上课伊始即可布置板演练习：已知数列an的首项a1=3，以后各项由公式：nan+1-（n-1）an=4n+1给出，试写出这个数列的前5项。待学生求出前5项依次是3、5、7、9、11后，可因势利导地发问：你能观察（实为猜想）出它的一个通项公式吗？学生给出an=2n+1后教师便可为学习新知等差数列设计探究式的衔接性的语言：“这个数列中任意相邻项之间是否存在某种不变的规律？”学生在默咏：357911的过程中发现“差等”的事实。这一发现不仅使新课等差数列呼之欲出，而且为学习主体自主地给出定义埋下了伏笔。在新授课的教学中，必须设计精当的衔接性的语言，以使主体明确学习的方向，从而唤发其研究性学习的欲望。今后，根据学习的需要还可围绕“差等”激发学生走向“商等”，乃至“和等”、“积等”，类比等差数列并像其一样地进行“研究”， 不仅使学生学会知识，而且学会探求知识的方法，达到培养科学人文精神之目的。2 新知与新知间衔接性语言的设计有的课型新知（即概念、法则、公式、公理、定理、推论等）不止一个，那么在新知与新知间设计必要的简短的过渡性的语言便是研究教材、设计教法中的细功夫。上面从等差数列的定义转入通项公式的教学时，必须在其间设计衔接性语言，以展示定义与公式间的内在联系。对定义全面分析后可如此设计发现式的衔接性语言：“你能用递推公式表述（一般的）等差数列吗？”（an+1=an+d）“你能像课前板演练习那样或者重新用别的方法导出等差数列的通项公式吗？”问题并非高不可攀，但颇具挑战性，易激起学生的好胜心。其实，衔接性语言的设计中已暗示着求通项公式的一种方法（归纳猜想方法），这也正是课前设计之目的。实践证明学生不会仅满足于此，定会主动探究新途径（叠加法等）。这样的设计既揭示了新知识间的内在联系，又使公式的产生显得那样的较松与自然。3 新知与例题间衔接性语言的设计学习数学的目的在于应用，数学知识的理解、深化与拓展也只有在应用中才能得以实现。因此，新知与例题间的衔接普遍存在，是呆板地“搬出”例题、或毫无感召力地说出：“下面给出新知的应用”，还是有目的、有计划地设计衔接性的语言使整课结构环环相扣、严谨有序呢？这便是每个数学教育工作者无法回避、必须回答与思考的问题。在等差数列前n项和公式的应用中，为了使学生进一步认识数列是特殊的函数，我选择了如下：例1 若数列an的前n项和Sn=an2+bn（a、b为实常数），那么数列an是否为等差数列，为什么？在出示例1之前我设计了这样的衔接性的语言：“从函数的观点看，等差数列的前n项和Sn是主元n的不超过二次的整式函数，且不含常数项（这显然是等差数列的具有函数特质的重要性质）；反之，成立否？”逆向探索追求完美与对称，使学生懈怠的思维迅速得以集中，其效果与不顾及知识间的内在联系而直接“捧出”例题当然不一样。4 例题与例题间衔接性语言的设计选择例题目标明确是设计良好衔接性语言的必要条件，“拼盆”式的例习题教学、就题论题苍白无力的讲解，必然谈不上精当的衔接。在前述例1的基础上，为深化数学知识、巩固等差数列中的“基本量”方法、揭示函数的思想方法在数列中的应用，我又选择了如下：例2已知Sn是等差数列an的前n项和，若a1=a0，S3=S11，试求Sn的最大值及此时n的值。在例1的教学结束后，为引出例2，可设计概括性的衔接语：“公差不为零的等差数列的前n项和与常数项为零的二次函数间存在着一一对应的关系，那么其最值情况又如何呢？”这样的语言设计体现了例题间的递进性，长此以往学生便习惯于努力地从你的“衔接语”中捕捉破题的信息，进而逐步由“旁听或观众”转变为解题活动的探索者、办演者。学生经过努力不难发现暗藏于上述设计中的第一种方法配方法：即在求出基本量a1和公差d后，写出Sn的表达式，利用配方法并注意到定义域是自然数集而使问题获得通用的解法。5 方法与方法间衔接性语言的设计例题多种解（证）方法的教学既是发挥例题功能的重要形式，又是培养学生发散思维能力、挖掘创新潜能、形成探究意识的重要途径。如果多解均是老师的“无私奉献”的杰作，那么例题教学中发展思维、培养能力的重任定将难以实现。为此，在例题的各种解（证）方法间设计启发式的衔接性语言，让学生成为解题方法的发现者、教师成为解题方法的欣慰评价者，便是此种设计的总目标。“例2的方法1固然是通法，回顾其解题过程你能发现数列的单调性吗？能用此性质解本例吗？”在教师启发式衔接语的诱导下，由此发现该例的方法2：因原数列是首项为正数的递增等差数列，故其前有限项非负，这只要利用解不等式的方法求出最后一个非负项便可。“方法1中配方的目的在于寻找二次函数的对称轴，S3=S11（或二次函数f（x）满足f（3）=f（11）说明了什么？”如此设计引导性的衔接，学生必将发现第三种解法：由二次函数的图像是轴对称图形知其对称轴为，不必进行大量的推演便可发现最大值。“方法3是在方法1的基础上巧用二次函数图象的对称性而产生的简解，能否在方法2的基础上利用等差数列的某些性质产生简解呢？”此次衔接又将学生的思维从引向数列。联想丰富、思维发散的同学必将发现简解：由等差数列的“足数和性质”（即在等差数列中足数相等的两项的和相等）可推出a7+a8=0，又原数列是递减数列，故必有。至此，问题的结论一目了然。6 例题与练习间衔接性语言的设计为巩固数学基础知识、基本方法、基本思想和基本能力，熟练技法、形成观念、培养意识，课堂教学中必然要配置各类训练或测试题。在配置练习题之前教师应引导学生对例题教学中蕴含的数学思维方法进行深入总结，设计出总括性的衔接语。在前述例题1、2的基础上，教师若想配置形成性的练习题，则应先引导学生作出规律性的总结，作为例题与练习间的衔接，并以此凸现测试练习的目标。“已知Sn求an用公式，此适合于一般数列；公差不为零的等差数列其前n项和是n的二次函数且不含常数项，反之也成立；首项为正、公差为负的递减等差数列的前n项和的最大值问题，有两个通法（配方法与不等式法）以及两种简解（对称性与足数和方法）。”你能合理运用这些方法求解下列问题吗？1已知数列an的前n项和，试求此数列的通项公式；2已知等差数列an的公差为正，若，试求此数列前n项和最小时n的值；3两个等差数列an和bn前n项和分别为Sn、Tn，若试求，能求出？有重点地设计总括性的衔接，不仅可培养学生的抽象概括能力，而且为练习的求解提供总的思考方向和思维策略。本练习1、2属“模仿型”巩固练习，而练习3则属变通性思考练习，它既暗含“误解”（设Sn=2kn、Tn=k（3n-2），k为常数），又隐藏着多种解法，其中不乏创新性的简解。值得指出的是，数学课堂教学环节间衔接性语言的设计远不止于此，如练习与讲评间衔接性语言的设计、讲评与作业间衔接性语言的设计等；即使是同一个环节间也存在着知识层次、方法层次、思维层次等方面的衔接问题。因此，衔接性的语言充满课堂教学的始终，作为教师要当好“导演”、做好“促进者”、学会“欣赏”学生，就必须在遵循“趣味性、启发性、过程性、探索性、发散性、总括性”等原则的基础上，做好衔接性语言的设计工作。设计生动的“衔接性语言”使课堂教学浑然一体、一气呵成，为课堂教学