高三数学复习导数在研究函数中的应用第五课时利用导数研究函数零点专题基丛点练理.docx

第五课时利用导数研究函数零点专题【选题明细表】知识点、方法题号利用函数图象研究函数零点问题4构造函数法研究函数零点问题1,2,31.(2016济南模拟)已知函数f(x)=ex+ax-a(aR且a0).(1)若函数f(x)在x=0处取得极值,求实数a的值;并求此时f(x)在-2,1上的最大值;(2)若函数f(x)不存在零点,求实数a的取值范围.解:(1)函数的定义域为R,f(x)=ex+a,由函数f(x)在x=0处取得极值,则f(0)=1+a=0,解得a=-1,即有f(x)=ex-x+1,f(x)=ex-1,当x0时,有f(x)0时,有f(x)0,f(x)递增.则x=0处f(x)取得极小值,也为最小值,且为2,又f(-2)=e-2+3,f(1)=e,f(-2)f(1),即有f(-2)为最大值e-2+3;(2)函数f(x)不存在零点,即为ex+ax-a=0无实数解,由于x=1时,e+0=0显然不成立,即有aR且a0.若x1,即有-a=,令g(x)=,则g(x)=,当x2时,g(x)0,g(x)递增,当x1和1x2时,g(x)0,g(x)递减.即有x=2处g(x)取得极小值,为e2,在x1时,g(x)0,则有0-ae2,解得-e2a0,则实数a的取值范围为(-e2,0).2.(2016郑州市第二次质量预测)已知函数f(x)=ax-1+ln x,其中a为常数.(1)当a（-,-）时,若f(x)在区间(0,e)上的最大值为-4,求a的值;(2)当a=-时,若函数g(x)=|f(x)|-存在零点,求实数b的取值范围.解:(1)由题意f(x)=a+,令f(x)=0,解得x=-,因为a（-,-）,所以0-0解得0x-,由f(x)0解得-x0,当a=-时,f(x)=-1+ln x,所以f(x)=-+=-,当0x0;当xe时,f(x)0,所以f(x)的单调增区间为(0,e),减区间为(e,+),所以f(x)max=f(e)=-1,所以|f(x)|1.令h(x)=+,则h(x)=.当0x0;当xe时,h(x)0,从而h(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+)上单调递减,所以h(x)max=h(e)=+,要使方程|f(x)|=+有实数根,只需h(x)max=h(e)=+1即可,则b2-,即b的取值范围是2-,+).3.(2016菏泽市模拟)设函数f(x)=ln x-ax2-bx.(1)当a=b=时,求函数f(x)的单调区间;(2)令F(x)=f(x)+ax2+bx+(0x3),其图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k恒成立,求实数a的取值范围.(3)当a=0,b=-1时,方程f(x)=mx在区间1,e2内有唯一实数解,求实数m的取值范围.解:(1)依题意,知f(x)的定义域为 (0,+),当a=b=时,f(x)=ln x-x2-x,f(x)=-x-=.令f(x)=0,解得x=1或x=-2(舍去),当0x0;当x1时,f(x)0,所以m=1+,要使方程f(x)=mx在区间1,e2上有唯一实数解,只需m=1+有唯一实数解,令g(x)=1+(x0),所以g(x)=,由g(x)0得0xe;g(x)e,所以g(x)在区间1,e上是增函数,在区间e,e2上是减函数.g(1)=1,g(e2)=1+,g(e)=1+,故1m1时,解得x1=,x2=.f(x)在(-,x1)和(x2,+)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,但是函数值恒大于零,极大值f(x1),极小值f(x2),并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x+时,f(x)=+,当x-时,f(x)=0.因此当f(x2)mf(x1)时,关于x的方程f(x)=m一定总有三