高中数学章末质量评估3.docx

第三章空间向量与立体几何一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()22；2233；.ABCD解析：中，原式2，不符合题意；中，原式2()()0；中，原式，不符合题意；中，原式()()0.故选C.答案：C2已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1l2，则()Ax6，y15Bx3，yCx3，y15Dx6，y解析：l1l2，ab，则，x6，y.答案：D3在下列四个命题中，真命题为()A已知三向量a，b，c，则空间任意一个向量p总可以唯一地写成pxaybzcB若a，b，c三向量两两不共线，则空间任意一个向量p总可以写成pxaybzcC若a，b，c不共面，则空间任意一个向量p总可以唯一地写成pxaybzcD若a，b，c三向量两两不共线，则xaybzc0的充要条件是xyz0解析：对于空间作为基底的三向量a，b，c必须要有限制，即不共面，故C正确答案：C4若两点A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于()A19BC.D.解析：(1x,2x3，3x3)，则| .故当x时，|取最小值答案：C5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则与的夹角为()A30B45C60D90解析：(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，3，cos，60.答案：C6已知向量，则平面AMN的一个法向量是()A(3，2,4)B(3,2，4)C(3，2，4)D(3,2，4)解析：设平面AMN的法向量n(x，y，z)，则即令z4，则n(3，2,4)，由于(3,2，4)(3，2,4)，可知选项D符合答案：D7已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()A(1,1,1)B(1，1，1)或(1,1,1)C(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)解析：设a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3,2)，则解得a(1,1,1)或(1，1，1)答案：B8已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()A.a2 B.a2C.a2Da2解析：如下图，()，()(a2cos 60a2cos 60)a2.答案：C9已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为()A. B.C.D.解析：建系如图，则S(0,0,3)，A(0,0,0)，B(，1,0)，C(0,2,0)(，1,0)，(，1，3)，(0,2，3)设面SBC的法向量为n(x，y，z)则令y3，则z2，x，n(，3,2)设AB与面SBC所成的角为，则sin .答案：D10直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A90B60C45D30解析：建系如图，设AB1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，A(0,0,0)(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60.答案：B11在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A. B.C.D.解析：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为1，则(1,0,1)，.设平面A1DE的法向量n1(x，y，z)，则解得令z1，n1.平面ABCD的一个法向量为n2(0,0,1)，cosn1，n2.答案：B12如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为()A. B.C.D.解析：连接A1D，则O，C1(0，1,1)易知平面ABC1D1的一个法向量n(1,0,1)，与之同向的单位向量为n0，d|n0|.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分请把正确答案填在题中横线上)13如图所示，在几何体ABCD中，AB面BCD，BCCD，且ABBC1，CD2，点E为CD中点，则AE的长为_解析：，|1|，且0.又2()2，23，AE的长为.答案：14正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD夹角的正弦值是_解析：如图，以DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B(1，1,0)，C1(0,1,1)，易证是平面A1BD的一个法向量(1,1,1)，(1,0,1)cos，.所以BC1与平面A1BD夹角的正弦值为.答案：15已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c共面，则_.解析：由已知可发现a与b不共线，由共面向量定理可知，要使a，b，c共面，则必存在实数x，y，使得cxayb，即，解得.答案：16如图，在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为ABC的重心，E是BD上一点，BE3ED，以，为基底，则_.解析：().答案：三、解答题(本大题共6小题，共74分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)四棱锥POABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设a，b，c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，.解析：()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.18(本小题满分12分)如图，在空间直角坐标系中，直三棱柱ABCA1B1C1的底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，在线段AA1上是否存在点F，使CF平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由解析：假设存在F点，使CF平面B1DF，不妨设AFb，则F(a,0，b)，(a，a，b)，(a,0，b3a)，.a2a200，恒成立由2a2b(b3a)b23ab2a20，得ba或b2a.当AFa或AF2a时，CF平面B1DF.19(本小题满分12分)三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB，O1OB60，AOB90且OBOO12，OA.求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值解析：以O为原点，分别以直线OA，OB为x轴、y轴，过O点且与平面AOB垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，(，1，)，(，1，)设A1B与AO1所成的角为，则cos .故异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.20(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，ADBC，BAD90，ACBD，BC1，ADAA13.(1)证明：ACB1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值解析：(1)证明：易知，AB，AD，AA1两两垂直如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系设ABt，则相关各点的坐标为A(0,0,0)，B(t,0,0)，B1(t，0,3)，C(t,1,0)，C1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)从而(t,3，3)，(t,1,0)，(t,3,0)因为ACBD，所以t2300.解得t或t(舍去)于是(，3，3)，(，1,0)因为3300，所以，即ACB1D.(2)由(1)知，(0,3,3)，(，1,0)，(0,1,0)设n(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量，则即令x1，则n(1，)设直线B1C1与平面ACD1所成角为，则sin |cosn，|.即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.21(本小题满分12分)在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2，M，N分别为AB，SB的中点(1)证明：ACSB；(2)求二面角NCMB的余弦值解析：(1)证明：取AC中点O，连接SO，BO，由于SASC，SOAC.又ABC为正三角形，BOAC.又BOSOO，且BO，SO在平面SBO上，AC平面SBO，ACSB.(2)平面SAC平面ABC，SOAC，SO平面ABC，SOOB.以点O为原点，OA，OB，OS所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2，0)，S(0，0，2)，C(2,0,0)M(1，0)，N(0，)，(1,0，)，(3，0)设平面MNC的法向量为n(x，y，z)，则即取z1，得n(，1)又(0,0,2)是平面BCM的法向量，易知所求二面角为锐角，cos ，二面角NCMB的余弦值为.22(本小题满分14分)如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1ACCBAB.(1)求证：BC1平面A1CD.(2)求二面角DA1CE的正弦值解析：(1)证明：连接AC1，交A1C于点F，则F为AC1的中点又D是AB的中点，连接DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2)由ACCBA