全国通用高考数学复习导数与函数的切线及函数零点问题训练文.docx

专题一 函数与导数、不等式 第4讲 导数与函数的切线及函数零点问题训练 文一、选择题1.曲线yxex1在点(0，1)处的切线方程是()A.xy10 B.2xy10C.xy10 D.x2y20解析yexxex(x1)ex，y|x01，所求切线方程为：xy10.答案A2.(2016昆明诊断)曲线ye2x1在点(0，2)处的切线与直线y0和yx围成的三角形的面积为()A. B. C. D.1解析因为y2e2x，曲线在点(0，2)处的切线斜率k2，切线方程为y2x2，该直线与直线y0和yx围成的三角形如图所示，其中直线y2x2与yx的交点为A，所以三角形面积S1.答案A3.(2016洛阳模拟)曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为()A.2 B.2 C. D.解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，所以a2，故选A.答案A4.已知yf(x)为R上的可导函数，当x0时，f(x)0，若g(x)f(x)，则函数g(x)的零点个数为()A.1 B.2 C.0 D.0或2解析令h(x)xf(x)，因为当x0时，0，所以0，因此当x0时，h(x)0，当x0时，h(x)0，又h(0)0，易知当x0时，h(x)0，又g(x)，所以g(x)0，故函数g(x)的零点个数为0.答案C5.(2016山东卷)若函数yf(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是()A.ysin x B.yln xC.yex D.yx3解析对函数ysin x求导，得ycos x，当x0时，该点处切线l1的斜率k11，当x时，该点处切线l2的斜率k21，k1k21，l1l2；对函数yln x求导，得y恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yex求导，得yex恒大于0，斜率之积不可能为1；对函数yx3，得y3x2恒大于等于0，斜率之积不可能为1.故选A.答案A二、填空题6.(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)，即y2x1，此切线与曲线yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.答案87.函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_.解析f(x)x22x3(x1)(x3)，函数f(x)在(，1)和(3，)上是增函数，在(1，3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100，f(x)极大值f(1)0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案38.(2016西安模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4，0)三、解答题9.(2016武汉模拟)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.10.(2016北京卷)设函数f(x)x3ax2bxc.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)设ab4，若函数f(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(3)求证：a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.(1)解由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，切线斜率kf(0)b.又f(0)c，所以切点坐标为(0，c).所以所求切线方程为ycb(x0)，即bxyc0.(2)解由ab4得f(x)x34x24xcf(x)3x28x4(3x2)(x2)令f(x)0，得(3x2)(x2)0，解得x2或x，f(x)，f(x)随x的变化情况如下：x(，2)2f(x)00f(x)cc所以，当c0且c0时，存在x1(，2)，x2，x3，使得f(x1)f(x2)f(x3)0.由f(x)的单调性知，当且仅当c时，函数f(x)x34x24xc有三个不同零点.(3)证明当4a212b0时，即a23b0，f(x)3x22axb0，x(，)，此时函数f(x)在区间(，)上单调递增，所以f(x)不可能有三个不同零点.当4a212b0时，f(x)3x22axb只有一个零点，记作x0.当x(，x0)时，f(x)0，f(x)在区间(，x0)上单调递增；当x(x0，)时，f(x)0，f(x)在区间(x0，)上单调递增.所以f(x)不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f(x)有三个不同零点，则必有4a212b0，故a23b0是f(x)有三个不同零点的必要条件.当ab4，c0时，a23b0，f(x)x34x24xx(x2)2只有两个不同零点，所以a23b0不是f(x)有三个不同零点的充分条件.因此a23b0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.11.设函数f(x)(xa)ln x，g(x). 已知曲线yf(x) 在点(1，f(1)处的切线与直线2xy0平行.(1)求a的值；(2)是否存在自然数k，使得方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；(3)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小值)，求m(x)的最大值.解(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln x1，所以a1.(2)k1时，方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根.设h(x)f(x)g(x)(x1)ln x，当x(0，1时，h(x)0.又h(2)3ln 2ln 8110，所以存在x0(1，2)，使得h(x0)0.因为h(x)ln x1，所以当x(1，2)时，h(x)10，当x2，)时，h(x)0，所以当x(1，)时，h(x)单调递增，所以k1时，方程f(x)g(x)在(k，k1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)g(x)在(1，2)内存在唯一的根x0.且x(0，x0)时，f(x)g(x)，x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x)当x(0，x0时，若x(0