高等数学基础(原“微积分”)学习指导.doc

高等数学基础（原微积分）学习指导一、课程介绍高等数学基础（原微积分）是一门必修基础课，它主要讲授微积分学中的最基本内容。本课程的基础概念是函数。学员在学习微积分内容之前应掌握幂函数，指数函数，对数函数及三角函数的基本性质。对反三角函数的有关内容本课程要求不高。微积分的研究对象是函数，主要涉及的是初等函数，极限是微积分研究的根本方法。通过微积分学习，学员应掌握生命科学中定量研究函数单调性、极值、最大值、最小值的一般方法，理解微积分学发展的一般思想方法，掌握曲边梯形面积，旋转体体积等微元法的应用，为计算机基础、统计软件、动力学类等后续课程的学习奠定必要的基础，在未来生命科学的学习工作中逐步提高数学在广泛领域中的应用意识。本课程除了课件、视屏讲座外、课程辅导外还有纸质教材。本年级使用的纸质教材是高等教育出版社第七版高等数学二（教育部高校学生司推荐-全国各类成人高等复习考试辅导教材 专科起点升本科）。二、考试内容与试卷结构（2011年试卷结构一览表） 部 分名 称题 号题 量分 值一函数概念题单选题3题12分二极限计算题单选题4题16分三函数连续性单选题2题8分四导数计算题单选题2题8分五罗必达法则单选题1题4分六导数应用题单选题3题12分七不定积分计算单选题2题8分八定积分计算单选题3题12分九定积分应用单选题3题12分十重要结论题单选题2题8分试卷形式试卷总分：100分考试时间：_90_分钟 （以网络学院公布为准）答题方式：试卷分为试题册、答题卡，所有题型均为客观题,答案涂在答题卡上试卷题型比例： 客观题：100% 单选或多选总成绩构成 网上作业得分*30%+期末成绩*70% 满分100分单选题25题 每题得分4分 共100分 每题四个选项 选择最佳选项三、预备知识（基本初等函数图像见教材 直线抛物线椭圆方程掌握） 四、学习进度与阶段目标 第一个月（4周）涉及的课程内容： 课件光盘：第1章；视频讲座：第1讲；高等数学二： 第一章 小结 微积分辅导与考试大纲 重点学习内容： 第一章 函数 极限 函数的连续性 一般学习建议l 分阶段学习由浅入深按进度学&基本概念和基本计算容易掌握先学l 学习中重点着眼于应用立足于计算追求整体认识多作复述能力训练l 充分利用网络优势灵活把握学习时间优秀学生可多做思考讨论实践l 倡导勤学好问多思擅辩践行遇疑难问题可网上提交以寻求教师帮助第一节 函数 1概念 定义域 值域 对应准则 函数应用方面请多结合专业举例2 简单性质 单调性（用定义比用导数符号难判定）有界性 周期性3初等函数 （基本函数连续性光滑性在四则复合有限次运算仍保持）4 函数运算 四则 复合 逆（谈化）（复合运算是难点重点）（本节学习时间建议 1周时间 ）学习阶段目标 掌握基本概念 1） 函数应用：圆周长、圆面积、球体积与半径；球冠与半径和高等2） 从单调性概念出发有助于理解函数极值点或最大（小）值点概念3） 函数运算与抽象的初等函数概念建立建议作示意图理解复合运算技能掌握要求1） 六类基本初等函数定义域图象（见教材）简单性质如单调性入脑2） 具备速识初等函数能力，幂指数函数限制定义域后也为初等函数3） 知道非初等函数的特点 分段函数如：取整、 绝对值与符号函数4） 定义域关于原点对称的函数的奇偶分解及应用（定积分面积等）复述能力训练l 函数的简单性质单调性周期性奇偶性有界性周期性的含义？l 初等函数是什么？多项式函数，有理函数类是初等函数吗？ l 复述圆面积公式的推导过程思考极限在函数关系建立中的作用阶段目标 阶段1-1-1 熟悉六类基本初等函数表达式及函数图象单调区间反三角函数的有界性 阶段1-1-2 掌握函数运算 初等函数的概念与快速识别 非初等函数的例子与特点 阶段1-1-3 会求简单函数的反函数如Logistic函数， 掌握函数的奇偶分解方法 思考讨论实践l 函数关系建立的简单方法有哪些？l 你能否用计算机绘制给定初等函数的图象？l 你知道研究函数的周期性对你的工作有什么意义？ 基本内容掌握后再做作业1 1-8题 （把握不大网上提交作业时一定要慎重）第二节 极限 数列极限 函数极限 无穷小 等价无穷小 等价无穷小之差为高阶无穷小 （本节学习时间建议 2周时间 ）学习阶段目标 掌握基本概念1） 极限与无穷小直观理解1/n趋于0， 夹挤原则2） 无穷小性质到四则运算法则 特有界变量乘无穷小仍为无穷小3） 圆内接正N边形的周长与重要极限、五个等价无穷小、补充极限公式技能掌握要求1） 无穷小性质求极限有区于四则运算法则求极限和重要极限2） 熟练使用五个等价无穷小求极限 用补充极限公式求极限3） 最好了解五个等价无穷小的由来复述能力训练l 收敛的两个原则与重要极限的关系（1）夹挤原则（2）单调有界收敛原则l 无穷小性质求极限法则与四则运算法则的关系，应用中的不同点是什么？l 五个等价无穷小与重要极限的等价关系，理解熟记五个等价无穷小的意义阶段目标阶段1-2-1 极限收敛原则理解极限概念 特别夹挤原则三明治定理 等比数列求和阶段1-2-2 四则运算法则求极限 约去“0”因子求不定式极限一般有理函数的极限阶段1-2-3 等价无穷小求极限 补充公式求极限 无穷小阶的确定 等价无穷小之差思考讨论实践l 函数在某点无定义则函数在该点一定无极限吗？举例说明之。l 比较教材与学习指导介绍极限计算方法难易（五个等价无穷小或补充极限公式）l 半径为R圆内接正N边形周长的数学表示？猜想并计算该结果的极限是多少？掌握后做作业1 9-23题第三节 函数的连续性 连续点 初等函数的连续性 （不要求证明 掌握结论和应用）利用函数连续性求极限 分段函数的连续点 介值定理 最值定理 （本节学习时间建议 1周时间 ）学习阶段目标 掌握基本概念 1） 连续点的极限定义 左连续点 右连续点2） ，的意义3） 闭区间上连续函数的介值性，最值性 零点定理最值定理 4） 初等函数的连续性的含义与应用 技能掌握要求 1） 利用连续性求极限 （初等函数的判定）2） 判断函数在特定区间的连续性 （初等函数的判定）3） 分段函数在分界点处的连续性判定 （左右连续点 ） 复述能力训练l 函数在某点处极限存在与函数在该点连续的关系l 举例说明开区间上的连续函数不一定有界。l 研究连续的意义何在？l 函数的有界性与函数的连续性的关系如何？阶段目标阶段1-3-1 函数连续点的极限定义 开区间与闭区间 上的连续函数的定义 符号表示阶段1-3-2 基本初等函数的连续性 （大致了解）连续函数复合仍连续 四则运算逆阶段1-3-3 函数有界性的判定方法 （闭区间上连续函数的性质 最值定理 介值定理）思考讨论实践l 本章结论初等函数在其定义域内连续 而是初等函数，X=0是函数的间断点是否矛盾？如何理解上述结论。l 研究函数有哪些意义 （耗材最低 血药浓度 半衰期 概率 生长曲线） l 极限概念的引入与应用 （圆周率 循环小数变分数 复利计算 速率等）l 连续概念研究的意义 （连续曲线 垂直渐近线 实根数目 求极限 ）（初等函数与连续 连续与极限）l 函数的单调性与函数的可逆性（存在反函数简单情形可求解析式）如何？ 掌握后做作业1 24-30题 1.两个函数为同一函数的是( ). 提示：定义域对应关系完全相同才说函数相等2.函数在() . 提示：由此说明它们均为初等函数 预备知识内表示同一个函数. A. B.3.设则 A. B. 提示：设4. 设 则 A. B5. 设则 A. B6在上为非增加函数的是 A。， B。7在上为有界函数的是 A。，B。8。非基本初等函数是 A。，B.（提示：初等函数与基本初等函数有别）9 A。2，B。0，10 A。0，B。2。11 A。0，B. 1.25。12. A. 0.25 B. 0.5 （提示：分子用求和公式见预备知识）13设 则 A。0，B。不存在14 A。1，B。0， （提示：此处x小于零趋于0）15 A。0， B。2，16 A。e， B。. (提示：补充极限公式)17. A。0， B。218. A。0， B。0.5 19. A。0， B。ln3. 提示：等价无穷小20设, 则 A。k=2，B。k=-2 (提示：补充极限公式)21. 当时,变量为无穷小的是. A B 22.下列极限正确的是 A B23. 下列极限正确的是 A. B24.设 在上连续,则a=( ) A.0 B. 125. 方程. A.至少有一个实根 B无实根。 提示：介值定理如果知道单调性还可断定实根数目26.设 A a=1.b=1 B a=-1.b=1 （提示：先左右除以X取极限）27. A. 0.5 B. 0.75. 提示：右因式先通分后约去所谓“0”因子最后极限28. 方程 A.必有实根 B 无实根29.在上连续的是 A B30. 在上连续的是 A B作业完成确认答案后再在网上提交 （作业影响总成绩 提交操作需谨慎） 第二个月（ 5周 ） 涉及课程内容：网络课件：第2章 视频讲座：第1讲后部分 第2讲前部分 高等数学二第1章及课件光盘相应内容微积分辅导与考试大纲重点学习内容： 第二章 一元函数微分学 导数与微分 罗必达法则 导数应用 （本节学习时间建议 2周）第一节 导数与微分 函数增量 自变量改变量学习阶段目标 掌握基本概念1） 导数与微分 （各有几何意义：切线斜率，切线函数增量）2） 求导基本公式 （导数的极限定义 几乎可由五个等价无穷小推出）3） 四则运算法则 （导数定义，弄清乘法法则的由来即可）4） 复合求导 （难点 例的两种算法 ）5） 二阶导数 （简单计算 重点要求 意义 凹凸性 加速度）技能掌握要求1） 重点 公式求导法 （初等函数）2） 分段函数在分界点处导数的计算 （导数的极限定义初等函数特定点处）3） 重点 复合求导法（链锁法则）4） 求切线方程等应用 复述能力训练l 函数的连续性与可导性的关系如何？ （连续与光滑）l 初等函数单调性的判定法方法是什么？如何确定其单调区间？l 如何判断驻点是否是极值点？ 阶段目标阶段2-1-1 弄清导数的极限定义和几何意义后切线方程的求法水到渠成。阶段2-1-2 导数计算的基本公式及四则运算法则的熟练掌握（熟背会用）阶段 2-1-3 链锁法则（复合函数求导 复合函数微分 凑微分）的熟练掌握。思考讨论实践 2-1l 闭区间上连续函数的最大（小）值的求解的步骤？l 结合个人专业试举例说明求最大（小）值的应用 掌握后完成作业2 网上提交 1-10 （作业影响总成绩 提交操作需谨慎）第二节：罗必达法则 求不定式极限 （本节学习时间建议 1周）学习阶段目标 掌握基本概念1）。不定式 基本形式 2）。其它形式不定式 可转化基本形式3）。充分条件：罗必达法则。（但不必要 见思考讨论实践）技能掌握要求1） 掌握罗必达法则的条件与结论2） 函数之比的极限转化成导数之比的极限复述能力训练l 初等函数的连续性光滑性的基础与重要极限的关系如何？l 导函数相同的两个函数是否一定是同一函数？请举例说明阶段目标阶段2-2-1 会用罗必达法则计算两个基本型的不定式极限（注意条件）。阶段2-2-2 用等价无穷小充分化简后再用罗必达法则求不定式极限。阶段2-2-3 多种方法综合运用，多种形式不定式转化基本形式不定式的计算。（稍难）思考讨论实践2-2l 求不定式极限-分子分母约去“0”因子法与罗必达法比较哪个简单？l 等价无穷小替换常可大大化简不定式极限的计算但要避免在加减运算中使用。例 （等价无穷小之差是高阶无穷小，未必就是0）l 罗必达法则的条件是充分的但不必要例题 （此极限根据无穷小的性质得到并非罗必达法则）掌握后完成作业2 网上提交 11-20 第三节：导数的应用 （本节学习时间建议 2周） 学习阶段目标掌握基本概念1）。*拉格郎日中值定理定理2）。定理推论1 定理推论2 定理推论3 3）。*歌西定理条件结论导出（罗必达法则） 技能掌握要求 1）。导数符号判定函数的单调性 2）。求驻点（导数为0的点）会判定是否是极大（小）值点 3）。闭区间上连续函数的最大（小）值的求法*复述能力训练l 单调性的判定法1）导数符号判定法 2）定义判定法（）何时用何法？l 驻点是否是极值点有哪些判定法？比较它们的优缺点，怎样情形适宜用何法？阶段目标阶段3-1 掌握确定初等函数的单调区间的方法。知道极值点与单调性的关系。阶段3-2 掌握利用一阶导数在驻点左右符号变化情况判定驻点是否是极（大小）值点。阶段3-3 掌握确定初等函数凹凸区间的拐点的方法。思考讨论实践2-3-3掌握后完成作业2 网上提交 21-30 微积分作业2 导数计算与应用 A. B.2 A. B. 3 A. B. 4 A. B. 5。 A. B. 6 A. B. 7 A. B. 8 提示：9. 则 A. 2 B. -2 提示：极限定义10设则 A. B. 提示： 对幂指数函数作特定恒等变换 参见第一章 第一节11 A.1 B.212 A.0 B.1/613 A.0 B.214 A:0.5 B:-0.5 提示：通分分母等价替换罗必达15 A.0 B. 16 A. B. 0。 提示 ，。17 A.1 B. 2 提示：等价无穷小之差为高阶无穷小18 A.1 B. 0.519 A.5/12 B. 0.520. .曲线过（0，1）点的切线方程为（ ）A: B: 21的单调上升区间为 （ ）22. 的单调上升区间为 A.，B.23则y=f(x)有（ ） 提示：导数符号判定函数的单调性A:极大值点x=2，无极小值点；B: 极小值点x=2，无极大值点。24.极大值是（ ） A。24; B。8. 25的极值是（ ）A:极大值1;B:极小值1.26水平直线与曲线相切则切点坐标（ ）A:(0,1); B: (0，1) 27.曲线的拐点坐标（ ）A:1 B:(1,-1) 28. 有水平渐近线的函数是 A。 B 29有垂直渐近线的函数是 A。 B 30曲线的水平渐近线为（ ）A:y=0; B: y =1;31下列成对概念中，关联性最弱的是A函数的单调性-函数导数的符号 B函数的变化率-位移函数的速率 C函数的连续性-函数的奇偶性32下列成对概念中，关联性最强的是 A函数的连续性-函数的可导性 B函数在某点取极值-函数在该点导数为0。 C函数的在某点可微-函数在该点可导。33下列判断正确的是A函数的最大值一定是极大值。 B函数在某点取极大值则函数在该点的导数一定为0。 C函数的极值点可能是不可导点。第三个月（5周）涉及的课程内容：网络课件：第3章视频讲座：第2讲 后部分高等数学二 第3章及小结 微积分辅导与考试大纲重点学习内容：第二章 一元函数积分学 不定积分 定积分 定积分应用第一节 不定积分 （本节学习时间建议 2周） 学习阶段目标掌握基本概念 1） 原函数及性质不定积分概念 （上节定理推论）2） 基本不定积分公式-直接积分 （恒等式分解被积函数 目标可用公式积分）3） 换元法（第一换元法 ） （复合求导运算的逆运算 复合微分逆运算）4） 分部积分法 被积函数适合类型技能掌握要求1）。不定积分公式的验证法（求导）2）。基本不定积分公式及推广形式（见教材）3）。换元法（难点 换元后转化成基本不定积分推广形式）4）。分部积分法（要求较低）复述能力训练l 不定积分基本公式与导数基本公式是否可以建立1-1对应关系？缺何故？l 原函数的几何意义连续函数曲线下的变动面积函数是否是该曲线函数的原函数？ 阶段目标阶段3-1-1 知道导数公式与基本不定积分公式的内在联系，自然能熟记基本公式。阶段3-1-2 从凑微分到链锁法则的逆运算法则-掌握换元法（第一）阶段3-1-3 乘积求导法则的逆运算法则-分部积分的熟练掌握。思考讨论实践l 多项式函数的原函数是多项式，有理函数的原函数却未必还是有理函数请举例。l 奇函数的原函数总是偶函数，但偶函数的原函数却未必总是奇函数请举例说明。掌握后完成作业3 网上提交 1-13第二节 定积分 定义 几何意义 *性质 牛顿莱布尼兹公式 （学习时间建议 2周）学习阶段目标掌握基本概念1） 不依赖分割，不依赖取点。2）几何意义：曲边梯形面积的代数和。3）定积分的性质（见教材P107页 线性性 可加性 变限积分的微分 积分中值定理）4）牛顿-莱布尼兹公式： 牛顿-莱布尼兹公式-微积分基本定理技能掌握要求1） 掌握用牛-莱公式计算定积分。2） 利用几何意义计算定积分 。3） 换元法分部积分法计算定积分。复述能力训练l 对于任意可积函数等式，为什么？l 公式有哪些重要应用？l 为什么奇函数在对称区间-a.a上的积分一定为0？与上式有关。阶段目标阶段3-2-1 定积分计算的掌握包括微积分算法与几何算法。阶段3-2-2 牛-莱公式-换元法-掌握口诀：换元换限同步。阶段3-2-3 熟悉分部积分法的适用范围及导出的常用公式正确应用思考讨论实践3-2l 为什么？一般表达式是什么？1）； 2）；3）； 4）；（几个常用公式）掌握后完成作业3 网上提交 14-20（作业影响总成绩 提交操作需谨慎）第三节 定积分应用 曲边梯形面积 抛物线弓形面积 旋转体体积 微元法 （本节学习时间建议 2周）学习阶段目标掌握基本概念1） 微元法求具有可加性的弧长面积体积等几何量质量力矩等物理量2） 简单函数曲线所围图形面积总可转化为若干曲边梯形面积的和差3） 曲边梯形绕X轴或绕Y轴旋转（暂不要求）其旋转体积的计算技能掌握要求1） 利用抛物线弓形面积计算结果（阿基米德）计算定积分 2） 简单曲线所围图形的面积转化为曲边梯形的面积的和差-定积分例 例 复述能力训练l 与斜弦抛物线弓形面积转化平弦抛物线弓形面积 l 不作积分求与X轴所谓图形绕X轴旋转体积阶段目标阶段3-3-1 正确选用公式将面积体积等量的计算转化为定积分并会简化计算定积分阶段3-3-2 理解微元法思想理解公式由来从而理解圆形球形面积体积的多种计算法阶段3-3-3 数学期望与力矩积分 （教材扩充内容）思考讨论实践3-3l 设试验证阿基米德关于抛物线弓形面积公式的正确性（用牛-莱公式）。阿基米德公式 抛物线弓形面积等于内接最大三角形面积的4/3倍。掌握后完成作业3 网上提交 21-30微积分作业3 积分学计算与应用1. A B2. A B 3. A. B. 5. A. B. 6. A. B. 7. + A. B. 8. A. B. 9. A. B. 10. A. B. 11. A. B. 12. A. B. 13. A. B. 14. A. B. 15. A.2 B. 116. A. B. A. 2 B.117. A. B.提示 方法1 降幂 （其它恒等式见预备知识）方法2 用积分公式 ，18.定积分结果正确的是 A B19. A. 0 B. 120. A. 0 B. 1/3 提示 奇偶分解21.由直线及抛物线所围成平面区域的面积是A.1/2 B.1/622.由抛物线与及所围成平面区域的面积 A.1/3 B.1/623.半径为R高为H的圆锥体积 A. B.24.半径为R的圆球体积是 A. B. 25. 由与X轴围成的图形绕X轴旋转体体积是 A. B. 26.定积分值表示 A 圆锥的体积 B圆台的体积27. 定积分值表示 A.圆球的体积 B.半球的体积28. 定积分值 表示 A.圆的面积 B.半圆的面积29. 定积分值 表示 A.圆的面积 B.半圆的面积30. 定积分值表示 A.圆的面积 B.半圆的面积31. 提示：复述3-2 2式32. 提示：（1）牛-莱 （2）作换元，再牛-莱（2）阿基米德抛物线弓形面积公式33. 不等于（ ） 提示：复述3-2 2式 34. A B C 提示：复述3-2 2式提示：6题： （其它三角恒等式公式见预备知识） 16题1）用积分可加性分段积分去掉绝对值 2）几何意义作此题更为简单。25题：用17题结果；26题 提示：复述3-2 2式: 想想如何用？补充知识： 统计学中的随机变量的理论总体均数被称为-数学期望记为E(X)。积分表示为其中且满足称为随机变量的密度函数。思考题 设，验证：。满足该性质的函数几何上有什么特点? 34题中，a,b各是多少。第四个月（复习2周 机动2周）复习节 微积分三章综合 （本节学习时间建议2周）学习阶段目标掌握基本概念 极限 微分 导数 积分技能掌握要求 计算公式汇总 技巧总结复述能力训练 l 微积分应用范围概述 变限函数的微分微（积分）l 微分与积分有何联系？谈谈你对微元法的认识 微元法对微元的求和-积（微分）l 参见思考讨论实践题学习建议 l 集中记时自测百题作业提高实力切忌记答案不思考l 熟悉重要结论以加强对微积分应用主线的全面理解l 阅读每章小结争取对微积分学有一个整体上的把握 l 遇到问题在课程辅导教材例题常见问题中寻求答案 l 建议优秀学员扩大自己阅读面读读 实用技术攻略阶段目标 阶段 1 读懂网上作业，经努力，交流，答疑有能力完成并提交大部分作业。阶段2 网上作业总复习时自测仍能高分通过，并理解原理。考试大纲重读。阶段3 融会贯通从应用入手理清基本概念与重要结论的内在联系。网上提交深刻问题。思考讨论实践l 初等函数在其定义域内连续 （课件光盘 基本初等函数连续）l 闭区间上的连续函数一定有界 （证明 略 知道结论即可 ）l 有界变量乘无穷小是无穷小 （夹挤原则理解）l 可导函数就是可微函数，反之亦然。（证明稍复杂 课件有但不要求 ） l 函数在其可微点处连续。 （从可微定义理解 课件光盘 ）l 函数在其连续点处未必可微。即连续未必可微。（ 在x=0 处连续但不可微）l 函数的单调性可以通过导函数的符号加以判定。 （微分中值定理 光盘 ）l 闭区间上连续函数的最大值点未必是函数的极值点。 （边界点或极值点 ）l 函数可微的极值点一定是驻点。（导数为零的点-驻点）（光盘 ）l 微积分的基本定理是牛顿莱布尼兹公式。 （变限求导 ）l 球冠的面积公式是 l 微元法是微积分应用的核心。l 椭圆的面积是 l 理解闭区间上连续函数的有界性与介值定理（零点定理）的重要意义。l 牛顿莱布尼兹公式条件结论及其证明。（光盘）教学文件说明一览表学习指导课程辅导考试大纲教学大纲读者对象学员学员考生教师主要内容进度阶段目标教学重点讲解考试题型结构教